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(教师独具内容)
课程标准：1.理解子集、真子集的概念，能识别给定集合的子集.2.理解两个
集合包含与相等的含义，能用子集的观点解释两个集合的相等关系．
教学重点：1.子集、真子集定义的理解.2.写出给定集合的子集.3.两个集合之
间关系的判定.4.用子集观点解释两个集合的相等关系．
教学难点：1.两个集合之间关系的判定.2.一些关系符号(⊆，⊇，，，∈，
∉)的准确使用.3.具体问题中易忽视空集的情况.
【知识导学】
知识点一 子集
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素 □ 都是 集合B中
的元素，就称集合 A为集合B的 □ 子集 ，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于
B”(或“B包含A”)．
注意：(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关
系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．
(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，
因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B
也不是A的子集．
(3)子集有下列两个性质：
①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；
②传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
知识点二 Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种
图称为 □ Ven n 图．因此，A⊆B可用 □ Ven n 图表示为
知识点三 集合相等一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何
一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B □ 相等 ，记作A＝B.
也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
很明显，若两个集合相等，则它们的元素完全相同；若集合 A与B中有不相
同的元素，则这两个集合不相等，可记为A≠B.
知识点四 真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的 □ 真子
集(proper subset)，记作 □ A B (或BA)．
从真子集的定义可以看出，要想证明 A是B的真子集，需要两步：一是证明
□ A ⊆ B (即A中的任何元素都属于B)，二是证明 □ A ≠ B (即B中的元素不是都属
于A，或者说B中至少有一个元素不属于A)．
知识点五 空集
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做 □ 空集 ，记为 □ ∅ ，并规定： □ 空
集是任何集合的子集．
在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：
(1)空集 □ 只有一个 子集，即 □ 它本身 ；
(2)空集是 □ 任何非空 集合的真子集．
【新知拓展】
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 x∈A，能推出
x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．
(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”．因为若
A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，AB 首先要满足 A⊆B，其次至少有一个 x∈B，但
x∉A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要
求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有(2n－
1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
3．0，{0}，∅，{∅}的关系
∅与0 ∅与{0} ∅与{∅}
都表示无
相同点 都是集合 都是集合
的意思
∅是集合； ∅中不含任何元 ∅不含任何元素；{∅}
不同点
0是实数 素；{0}含一个元素 含一个元素，该元素是0 ∅
∅{∅}或
关系 0∉∅ ∅{0}
∅∈{∅}
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若A⊆B，则B中至少有一个元素不属于A.( )
(2)若A⊆B，则要么AB，要么A＝B.( )
(3)空集没有真子集．( )
(4)若A⊆B，则B不会是空集．( )
(5)若A＝B，则必有A⊆B.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)用适当的符号(⊆，⊇，，，＝)填空：
N*________N，R________Q，
{x|x2＝1}________{－1,1}，
{(x，y)|x＋y＝1}________.
(2)给出下列集合：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是菱
形}，D＝{x|x是正方形}，它们的关系可以表示为________________．
答案 (1) ＝ (2)DBA，DCA
题型一 判断集合之间的关系
例1 判断下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{1,2,4}，B＝{x|x是8的正约数}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是有一个内角是60°的等腰三角形}；
(3)A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[解] (1)集合A中的元素1,2,4都是8的正约数，从而这三个元素都属于B，
即A⊆B；但B中的元素8不属于A，从而A≠B，所以AB.
(2)等边三角形都是有一个内角是60°的等腰三角形，即A⊆B；有一个内角是
60°的等腰三角形是等边三角形，即B⊆A，所以A＝B.
(3)解法一：两个集合都表示一些正奇数组成的集合，但由于 n∈N*，因此集
合A含有元素“1”，而集合B不含元素“1”，故BA.解法二：由列举法知A＝{1,3,5,7，…}，B＝{3,5,7,9，…}，所以BA.
金版点睛
集合之间的关系是由两集合中元素的关系确定的，因此，要判定集合之间的
关系，必须根据集合的表示方法，弄清集合中的元素是什么，再根据元素之间的
关系给出结果；很明显当AB或者A＝B时，不宜表示为A⊆B.
例1中(3)，两集合中条件“n∈N*”改为n∈Z，结果如何？
解 A＝B.
题型二 写出集合的子集
例2 写出集合{a，b，c}的所有子集．
[解] 因为集合{a，b，c}中有3个元素，所以其子集中的元素个数只能是
0,1,2,3.
有0个元素的子集：∅；
有1个元素的子集：{a}，{b}，{c}；
有2个元素的子集：{a，b}，{a，c}，{b，c}；
有3个元素的子集：{a，b，c}．
因此集合{a，b，c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，
{b，c}，{a，b，c}．
金版点睛
本例采用分类列举的方法，分类的标准是子集中元素的个数，这样做，所写
的子集不重不漏，是一种思路清晰、条理明确的解题方法.
写出集合{1,2,3}的所有子集．
解 ∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.
题型三 有限集子集个数探究
例3 令集合A ＝∅，集合A ＝{a ，a ，a ，…，a }(n∈N*)，试探究集合A
0 n 1 2 3 n n
子集的个数．
[解] 为了方便，不妨设集合A 的子集数为m(A )．我们把A 的子集分为两
n n n
类，第一类：含元素 a ；第二类：不含元素 a .易知，第二类就是集合 A 的子
n n n－1
集，且第一类和第二类同样多．因此，m(A )＝2m(A )．从而，m(A )＝2m(A
n n－1 n－1 n
)，…，m(A )＝2m(A )，易知 m(A )＝1.所以 m(A )＝2m(A )＝22m(A )＝
－2 1 0 0 n n－1 n－2
23m(A )＝…＝2nm(A )＝2n.
n－3 0金版点睛
若一组对象分为甲、乙两类，当两类对象同样多时，我们只要知道其中一类
对象的个数，也就知道了另一类对象的个数，从而也就知道了这组对象的总个数.
“同样多”是一种一一对应的观点.
如下例：
注意：如果非空集合A中有n(n∈N*)个元素，那么集合A的子集有2n个，真
子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．
满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有多少个？
解 由{1,2}M可知，M中必定有1,2两个元素，且至少还有异于1,2的“其
他”一个元素；由M⊆{1,2,3,4,5}可知，上面所说的“其他”应当来自于3,4,5这
三个数：可以是其中的1个(三种情况)，2个(三种情况)，3个(一种情况)．故满
足条件的集合M有7个(也就是集合{3,4,5}的非空子集的个数).
题型四 含参问题探究
例4 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若BA，求实
数m的取值范围．
[解] ①当B≠∅时，如图所示：
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
②当 B＝∅时，由 m＋1>2m－1，得 m<2.综上可得，m 的取值范围是{m|
m≤3}．
金版点睛本例的难点是解读集合B，事实上，集合B就是不等式组
的解集只是写法不同，易知当m＋1>2m－1，即m<2时，不等式组无解，
即B＝∅；当m＝2时，B＝{3}；当m>2时，从几何角度讲，集合B是数轴上一
条变端点、变长度的线段.
已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1
