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2025年山东省青岛市李沧区青岛志远中学中考三模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图
形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示零件的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．“慈母手中线，游子身上衣”，以前用来缝衣服的针的直径为 毫米， 毫米=
米，那么 米用科学记数法表示为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
4．下列关于 的说法错误的是（ ）
A．绝对值是 B．相反数是 C．倒数是 D．平方是2
5．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，
试卷第1页，共3页经过平移后得到 ，若 上一点 平移后对应点为 ，点 绕原点顺
时针旋转 ，对应点为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线 和 分别经过正五边形的一个顶点， ， ，则 的度数为
（ ）
A．32° B．38° C．46° D．48°
7．如图，在正方形 中， 是 边上一点，将 沿 翻折至 ，延长
交 于点 ．若 ， ，则 的长是（ ）
A．3 B． C． D．5
8．计算 的结果是（ ）
试卷第2页，共3页A． B．3 C． D．
9．如图， 、 分别与 相切于 、 ， ， 为 上一点，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，
AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算： ．
12．在2023年10月6日举行的杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮成功卫冕．比赛时中国
队5名首发队员的身高如图．比赛中，由身高 的14号和身高 的10号上场、
换下15号和5号队员，此时场上5名队员身高的方差设为 ，与首发5名队员身高的方差
相比较有 （填“＞”，“＜”或“＝”）．
试卷第3页，共3页13．小亮借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，在剩下的
时间里，小明每天至少要读 页．（假定小亮每天读书页数是整数）
14．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买
树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1
棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元，若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，
设该校共购买了 棵树苗，则可列出方程 ．
15．如图，在 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称
为格点图形，图中的圆弧为格点 外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部
分的面积为 ．
16．如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 ，对称轴为直线
，给出以下结论：① ；② ；③ ；④若 、
为函数图象上的两点，则 ；⑤当 时， ，其中正确的结论是
（填写代表正确结论的序号） ．
试卷第4页，共3页三、解答题
17．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知： 为锐角三角形．
求作：在 右上方确定点 ，使 ，且 ．
18．（1）化简： ；
（2）解不等式组 ．
19．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组
做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下
表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
试估算口袋中黑球有______只，白球有______只，并运用所估计结论，用画树状图或列表
计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率．
20．为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和
展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组
（满分 分，实际得分用 表示）： ， ， ，
， ， ．随机抽取 名学生，将他们两个阶段的
试卷第5页，共3页成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：
已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是___________．；
(2)补全图2中的频数分布直方图；在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是___________分；
(3)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照 的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将
获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？
请通过计算说明理由．
笔试 展演
甲 92 89
乙 90 95
表3
(4)若该校八年级共有300人，在展演阶段90及90分以上为优秀，估计该年级共有多少人
优秀？
21．（科技成就）随着 技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡
度为 的小山坡 上新建了一座大型的网络信号发射塔 （如图所示），信号塔
底端Q到坡底A的距离为 米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面
上立了一块警示牌 ，当太阳光线与水平线成 角时，测得信号塔 落在警示牌上的
影子 长为3米．求信号塔 的高．（结果精确到0.1米，参考数据： ，
， ）
试卷第6页，共3页22．乐乐从一副七巧板（如图1）中取出了其中的六块，拼成了一个 （如图2），
已知原来七巧板拼成正方形的边长为4；
(1)图2中小正方形②的边长 ________；线段 ________；
(2)求 对角线 的长.
23．已知A，B两地相距480千米，小明驾车从A地出发，匀速驶往B地参加活动．
(1)设小明行驶的时间为x小时，行驶速度为y千米/小时，写出y关于x的函数表达式；
(2)若从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/小时，小明早上8：00出发，则他到达
B地最早的时刻是_____
(3)活动结束后，小明按原路返回．返回的速度比他出发的速度每小时快10千米，返回到A
地所需时间是他从A地到B地所需时间的 倍，求小明返回到A地所需时间．
24．如图， 的对角线 与 相交于点 ，点 为 的中点，过点 作
交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)从①②中任选一个并证明：
试卷第7页，共3页①当 满足 时，说明四边形 为什么特殊四边形，并证明；
②当 满足 时，说明四边形 为什么特殊四边形，并证明．
25．综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．
建立如图2所示的平面直角坐标系 ，运动员从点 起跳，从起跳到入水的过程中，
运动员的竖直高度 与水平距离 满足二次函数的关系．
(1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如
下表：
水平距离x
0 1 1.5
（m）
竖直高度y
10 10 6.25
（m）
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
(2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离 的长；
(3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为 ，从到达到最高点B开始
计时，则他到水面的距离 与时间 之间满足 ．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要 的时间才能完成极具难度的270C动作．
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度 与水平距离 的关系为
试卷第8页，共3页，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是
______．
26．如图，已知： ， ， ， ， 是 边上的中点．
过点 作 的垂线 ，过点 作 的平行线，交 于点 ，点 从点 出发沿 方
向往点 匀速运动，速度为 ，同时点 从点 出发沿 方向往点 匀速运动，速度
为 ，连接 ，过点 作 于点 ，连接 ， 是线段 的中点．设运动
时间为 ，解答下列问题：
(1)当四边形 为平行四边形时，求t的值；
(2)设 的面积为S，求出S与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使A，Q，F三点在同一条直线？若存在，请求出t的值；若不存
在，请说明理由．
试卷第9页，共3页《2025 年山东省青岛市李沧区青岛志远中学中考三模数学
试卷》参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D D C A D A C C D
11. 12. 13. 8 14. 15. 16.② ③ ⑤
选择题、填空题解法提示
7．A
连接AF，如图，
∵四边形 为正方形， ，
∴ ， ，
根据折叠的性质可得， ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
答案第1页，共2页设 ，
则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：A．
9．C
如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．
故选：C．
10．D
如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2 ，
答案第2页，共2页连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE= BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2 ，
∴AB=3，
∴ ，
∴ ，
∴DF= ，
故选D．
15．
如图：作 的垂直平分线 ，作 的垂直平分线 ，设 与 相交于点 ，连接
， ， ，则点 是 外接圆的圆心，
答案第3页，共2页由题意得： ，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
图中阴影部分的面积 扇形 的面积 的面积 的面积
，
16．② ③ ⑤
由图象可知， ， ， ，
，故①错误；
抛物线与 轴有两个交点，
，故②正确；
抛物线对称轴为 ，与 轴交于 ，
， ，
， ，
答案第4页，共2页，故③正确；
、 为函数图象上的两点，又点 、点 到对称轴的距离相等，
，故④错误；
抛物线对称轴为 ，与 轴交于 ，
抛物线与 轴另一个交点是
由图象可知， 时， ，故⑤正确．
② ③ ⑤正确.
解答题参考答案
17．解：图形如图所示：
18．解：（1）
；
（2） ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
答案第5页，共2页∴不等式组的解集为： ．
19．解：当 很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
所以可估计口袋中白球的个数 （个），黑球 （个）．
列表得：
黑1 黑2 白1 白2 白3
黑 （黑1，黑 （黑1，白 （黑1，白 （黑1，白
1 2） 1） 2） 3）
黑 （黑2，黑 （黑2，白 （黑2，白 （黑2，白
2 1） 1） 2） 3）
白 （白1，黑 （白1，黑 （白2，白 （白1，白
1 1） 2） 2） 3）
白 （白2，黑 （白2，黑 （白2，白 （白2，白
2 1） 2） 1） 3）
白 （白3，黑 （白3，黑 （白3，白 （白3，白
3 1） 2） 1） 2）
共有20种等可能结果，
这两只球颜色不同的概率是： ．
故答案为：2，3；
20．（1）解：“ 组”所对应的扇形的圆心角是：
，
故答案为： ；
（2）解： ，
展演成绩中B组学生人数为：
（人），
补全频数分布直方图，如图所示：
答案第6页，共2页将抽取的 名学生的笔试成绩从小到大进行排序，排在第 ， 位的平均数为
，
即n名学生笔试成绩的中位数是 ；
（3）解：甲： ，
乙： ，
∵ ，
∴乙将获得“环保之星”称号．
（4）解： （人），
答：估计该年级共有60人优秀．
21．解：延长 交直线 于点B，过点E作 于点G，如图，
根据题意有： ， ， ， ， ，
， ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
答案第7页，共2页∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： （负值舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （米），
答：信号塔 的高为 米．
22．（1）解：∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
即小正方形②的边长为 ，
∴ ，
答案第8页，共2页∴ ，
故答案为： ； ．
（2）解：延长 ，过点A作 于点E，如图所示：
根据七巧板的特点可知， ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
23．（1）解：由题意得： ；
（2）解：∵从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/小时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答案第9页，共2页∴小明从A地到B地最少需要4小时，
∴小明早上8：00出发，则他到达B地最早的时刻是8+4=12点，
故答案为：12：00
（3）解：设小明返回A地的时间为a小时，则小明从A地到B地的时间为 小时，
由题意得： ，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
∴小明返回A地的时间为8小时．
24．（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵点 为 的中点，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：①当 时，四边形 是矩形．理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
②当 时，四边形 是菱形．理由如下：
∵ ， ，
答案第10页，共2页∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
25．（1）解：由运动员的竖直高度 与水平距离 满足二次函数的关系，
设二次函数的关系为 ，代入 ， ， ，
得 ，
解得 ，
y关于x的关系式为 ；
（2）解：把 代入 ，
得 ，
解得 ， （不合题意，舍去），
运动员甲从起点A到入水点的水平距离 的长为2米；
（3）解：①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下：
由运动员的竖直高度 与水平距离 满足二次函数的关系为 ，
整理得 ，
得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为 ，即 ，
把 代入 ，
得 ，
答案第11页，共2页解得 ， （不合题意，舍去），
，
运动员甲不能成功完成此动作；
②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度 与水平距离 的关系为
，
得顶点为 ，
得 ，
得 ，
把 代入 ，
得 ，
由运动员甲在达到最高点后需要 的时间才能完成极具难度的270C动作，得 ，
则 ，即 ，
解得 ．
故答案为： ．
26．（1）解： ，
当 时，四边形 为平行四边形时，
由题意可得， ， ，
，
解得： ；
（2）解：在 中， ， ，
，
是 边上的中点，
答案第12页，共2页，
，
，
在 中， ， ， ，
， ， ，
，
， ，
如图，延长 交 延长线于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于
点 ，
则 ，
， ，
，
，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
， ，
，
答案第13页，共2页，
；
即 ；
（3）解：存在，过程如下：
如图，连接 并延长，交 的延长线于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，
则 ，
是线段 的中点， ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
答案第14页，共2页，
，
解得： ，
，
，
当 时， ， ， 三点在同一条直线．
答案第15页，共2页
