文档内容
2025年陕西省西安市西安交通大学附属中学四模中考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若增加六斗粮食记作
，则减少三斗粮食记作（ ）
A． B． C． D．
2．鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，最经典的是六柱孔明锁（如图①），其中一柱
如图②所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图， ，E是 上一点，连接 ，若 ， ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
4．不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中， ，D为 上一点，连接 ，过点D作 于点
E．若E为 的中点， ， 的周长为 ，则 的长为（ ）
试卷第1页，共3页A．3 B．4 C．5 D．
6．已知正比例函数 ，当 时，函数的最大值为8，则k的值为（ ）
A．3 B． C．1或 D． 或3
7．如图，在矩形 中， ， ， 是边 的中点， 是 的中点，连接
， 交于点 ，则 的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
8．已知二次函数 （ 为常数）的图象与x轴有交点，当 时，
y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）．
10．“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如
图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火柴
棒，第③个图形用了20根火柴棒，……，则第⑪个图形需要的火柴棒的根数为
（结果用含n的式子表示）．
试卷第2页，共3页11．如图， ， 是 的两条弦，点 在 上， 是 的中点，连接 ， ，
若 ，则 的度数是 ．
12．如图，在 中，点 在 轴上， 是 的中点，反比例函数 经过
两点．若点 的横坐标为 ，则点 的坐标为 ．
13．如图，在菱形 中， ，E是 上一点，F是 上一点，连接 ， ，
，若 ，则菱形 的面积为 ．
三、解答题
14．计算： ．
试卷第3页，共3页15．先化简，再求值： ，其中 ．
16．解方程： ．
17．如图，已知 ．请用尺规作图法，在 外求作一点D，使得以A，B，C，D
为顶点的四边形面积是 面积的2倍．（作出符合题意的一个四边形即可，保留作图
痕迹，不写作法）
18．如图， 和 均为等腰三角形，其中 ， ， ，
三点在同一直线上，连接 ．
求证： ．
19．中国古代的四大发明是指A．造纸术，B．指南针，C．火药，D．印刷术，凝结着古
代人民的智慧，是人类文明进步的象征．某校准备开展以“四大发明”为主题的校园文化
黑板报活动，甲，乙两班计划从这四个选项中随机选择一个作为黑板报主题．
(1)甲班随机选取一个，选择的黑板报主题恰好为“A．造纸术”的概率为_______；
(2)用画树状图或列表的方法，求甲，乙两班选择的黑板报主题中至少有一个为“D．印刷
术”的概率．
20．2024年，我国快递业务量首次突破1700亿件，提高分拣效率、降低分拣成本对于物
流公司越发迫切．某快递公司引进了具有分拣功能的智能机器人，经过调查发现，一台智
能机器人每小时分拣快递的数量比一个分拣员每小时分拣快递的数量的5倍还多10件，若
一个分拣员和一台智能机器人同时工作，1小时共分拣快递730件，则每台智能机器人每
小时分拣快递多少件？
21．桔棒 是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于
试卷第4页，共3页杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬
挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉
至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．如图1所示，线段
代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段 、 是无弹力、固定长度
的麻绳，绳长 米，木质杠杆 米．当水桶C的位置低于地面 米（如图2所
示），支架 与绳子 之间的距离 是 米，且 ，求这个桔槔支架 的高
度．
22．桶装水打开后，空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推
移，水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．在 条件下，取一桶桶装水，打开
置于空气中，逐天试验并记录桶装水中的菌落总数，发现菌落总数 是试验天
数x（天）的一次函数．当试验第1天结束后，测得菌落总数为 ，当试验第4
天结束后，测得菌落总数为 ．
(1)求菌落总数y与试验天数x之间的函数表达式；
(2)已知在 条件下，生活饮用水中菌落总数的标准限值为 ，即超过标准限
值，该生活饮用水将不宜继续饮用，请通过计算说明在 条件下，桶装水打开多少天后
就不宜继续饮用？
23．某校生物兴趣小组在研究豌豆植株的生长高度规律时，从试验田中随机选取了20株豌
豆植株，测量了它们的生长高度h（单位： ）．其中，豌豆植株生长高度为
的数据是： ， ，46， ， ， ， ， ， ，48，对测量数据进
试卷第5页，共3页行整理，并绘制了如下统计图表：
生长高度h/ 组内平均数/
cm cm
32
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求被抽取的20株豌豆植株生长高度的中位数；
(2)求被抽取的20株豌豆植株生长高度的平均数：
(3)若该试验田中共有200株豌豆植株，并且该品种豌豆植株正常生长高度的取值范围是
，请估计该试验田中生长高度正常的豌豆植株的数量．
24．如图， 是 的直径， 是 的弦， 与 交于点E，过点A作 的
切线交 的延长线于点F，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径长．
25．某小区有一个喷水池，中心处带有可升降喷头的喷水管垂直于地面，喷出的水流形状
近似抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心点O为原点，水平方向为x轴，
试卷第6页，共3页喷水管竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，喷头位置在水池中心点O的正上
方2.25m处，当水流满足距喷水管的水平距离为1m时，达到最大高度为3m．
(1)求第一象限内水流形状所近似抛物线的函数表达式，并求喷出的水流到喷水管的最大水
平距离；
(2)为了美化小区，对喷水装置进行改造，将喷出水流的最高点水平外移1m，高度不变，
且使喷出的水流到喷水管的最大水平距离为5m，请确定此时喷头的竖直高度．
26．问题探究
（1）如图①，等边 的边长为6，M，N分别是边 上的点，且满足 ，
，求 的长；
问题解决
（2）如图②，道路长为120米的 一侧是一片足够大的学校实践基地，现计划在这片基
地上规划一个四边形花园 ，按设计要求：点A，B，C，D为出入口，点P为休息厅，
现准备过点P规划两条小路 与 ，且满足 ， ， 米，为
了满足设计的需要，要使两条小路长度之和最大，请问是否存在符合要求的两条小路？若
存在，求出两条小路长度之和（即， ）的最大值，若不存在，请说明理由．
试卷第7页，共3页《2025 年陕西省西安市西安交通大学附属中学四模中考数
学试卷》参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C B C D B A
9.＜ 10. 11. 23° 12. 13.
选择题、填空题解法提示
8. A
∵二次函数 （ 为常数）的图象与x轴有交点，
∴ ，
解得： ，
∵抛物线对称轴为直线 ，抛物线开口向上，当 时，y随x的增大而增大，
∴ ，
∴
∴m的取值范围是 ，
故选：A．
13．
如图所示，过点A作 于H，连接 ，
答案第1页，共2页∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， 是等边三角形，
∴ ，
∴A、E、C、F四点共圆，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解答题参考答案
14．解：原式
．
15．解：原式
，
当 时，
原式 ．
答案第2页，共2页16．解：方程两边同时乘 ，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
是原分式方程的解．
17．解：如图①，过点A作 的平行线，截取 ,连接 ，四边形 为平行
四边形，则点D即为所求，同法可作图②③，在 左侧作 ，截取
，得④，则点D即为所求 (答案不唯一)
18．证明： ，
，
，
在 和 中， ，
，
．
19．解：（1）∵一共有四个主题，且每个主题被选取的概率相同，
∴甲班随机选取一个，选择的黑板报主题恰好为“A．造纸术”的概率为 ；
（2）列表如下：
答案第3页，共2页甲班
乙班
由上表可知，共有16种等可能的结果，其中甲，乙两班选择的黑板报主题中至少有一个为
“印刷术”的结果有7种，
（甲，乙两班选择的黑板报主题中至少有一个为“印刷术”） ．
20．解：设1个分拣员每小时分拣快递x件，则1台智能机器人每小时分拣快递 件，
根据题意，可列方程为 ，
解得 ，
（件），
答：每台智能机器人每小时分拣快递610件．
21．解：过点A作 于点G，交 于点N，设 与地面交于点T
， ，
， ，
， ，
，
，
答案第4页，共2页．
又 ，
，
答：这个桔棒支架 的高度为 ．
22.解：（1）设菌落总数y与试验天数x之间的函数表达式为 ，
∵当 时， ，当 时， ，
∴将 代入 中，得 ，
解得 ，
菌落总数 与试验天数 之间的函数表达式为 ；
（2）当 时，即 ，
解得 ，
答：在 条件下，桶装水打开10天后就不宜继续饮用．
23．（1）解： 将这20个数据按从小到大的顺序排列，排在第10，11位的数据分别是
46， ，
被抽取的20株豌豆植株生长高度的中位数为 ；
（2） ，
被抽取的20株踠豆植株生长高度的平均数为 ；
（3） 株，
答：该试验田中生长高度正常的踠豆植株的数量约为120株．
24．（1）证明： 为 的切线， 是 的直径，
，
，
，
，
，
答案第5页，共2页；
（2）解：如图，连接 ，
，
，
，
在 中， ，
是 的直径，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
，
的半径长为 ．
25．解：（1）依题意，设第一象限内水流形状所近似抛物线的函数表达式为
，
将点 代入，得 ，
第一象限内水流形状所近似抛物线的函数表达式为 ，
令 ，可得 ，
解得 ， （不符合题意，舍去）．
喷出的水流到喷水管的最大水平距离为3米，
答案第6页，共2页即第一象限内水流形状所近似抛物线的函数表达式为 ，喷出的水流到喷
水管的最大水平距离为3米；
（2） 将喷出的水流的最高点水平外移1m，高度不变，且使喷出的水流到喷水管的最大
水平距离为5m，
新抛物线的顶点为 ，且经过点 ，
设新抛物线的函数表达式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
新抛物线的函数表达式为 ，
当 时， ，
此时喷头的竖直高度为 ．
26．解：（1）如图①，过点M作 ，垂足为D，
，
，
是等边三角形，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
答案第7页，共2页（2）存在，
如答案图②，过点D作 交 的延长线于点F，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
延长 至点E，使 ，过点B作 交 的延长线于点H，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
即当点F与点H重合时， 取得最大值，最大值为 ，
∴存在符合要求的两条小路，两条小路长度之和（即 ）的最大值为 米．
答案第8页，共2页
