文档内容
2025年吉林省吉林市中考数学二模试卷
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．（3分）下列实数中最小的是
A． B． C．0 D．
2．（3分）东风 是中国最新一代的洲际战略导弹 ，公开资料显示，其最大速度可达25马赫，
约30600公里 小时，按此速度从北京飞抵纽约约21分钟．数据30600用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（3分）不等式 的解集在数轴上表示正确的是
A． B． C． D．
4．（3分）某日中午12点，身高为 的小阳影长为 ，同学小星此时在同一地点的影长为 ，
那么小星的身高为
A． B． C． D．
5．（3分）在△ 中， ， ，以 为圆心， 长为半径画圆，则点 和 的位置
关系，下列说法正确的是
A．点 在 外 B．点 在 上 C．点 在 内 D．无法确定
6．（3分）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车，酒精气体传感
器是一种气敏电阻 （单位： ， 的阻值随呼气酒精浓度 （单位： 的变化而变化如图
1，血液酒精浓度 （单位： 与呼气酒精浓度 的关系见图2，下列说法错误的是
第1页（共21页）A．呼气酒精浓度越大， 的阻值越小
B．当 时， 的阻值为100
C．当 时，该驾驶员为醉驾状态
D．当 时，该驾驶员为非酒驾状态
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．（3分）因式分解： ．
8．（3分）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ．
9．（3分）某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知某辆车某日 进入该停车场，停了
小时 为正整数），若该辆车于当日的 间离场，则此次停车的费用为 元．（用含
有 的式子表示）
停车时长 收费标准
不超过3小时的部分 5元 小时
超过3小时的部分 3元 小时
10．（3分）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“纵横比”．如图，
矩形 位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，下列说法正确的序号是 ．
①该矩形四个顶点中“纵横比”最小的是点 ．
②该矩形四个顶点中“纵横比”最小的是点 ．
③该矩形四个顶点中“纵横比”最大的是点 ．
④该矩形四个顶点中“纵横比”最大的是点 ．
第2页（共21页）11．（3 分）吉林市某中学数学作业：如图，在 △ 中， ，延长 至点 ，使
，连接 ．若 ，求 的值．
小微老师在批改学生作业的过程中，发现了多种解法，为提高学生的学习兴趣，小微老师将这几种解法
分别以学生的名字进行命名．
卓言解法 佳怡解法 益嘉解法 思淇解法
参考以上解法，请写出此作业题的正确答案，即 ．
三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题6分，18-19每小题6分，20-21每小题6分，22题12分，
共87分）
12．（6分）先化简，再求值： ，其中 ， ．
13．（6分）2025年5月24日从吉林市到长春市的部分列车车次情况如下：
大伟、小婷分别从上述车次中随机选取某一车次从吉林市出发到长春市，假设上述车次被大伟、小婷选
中的可能性相同，请用画树状图或列表法求大伟、小婷选中同一车次的概率（三个车次依次用 ， ，
表示）．
14．（6分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、
羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，
共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？
15．（7分）图1是吉林市临江门大桥，它是我国桥梁史上的第一座独塔斜拉桥，如图2， 是其中一
第3页（共21页）条斜拉索，测得斜拉索底端 到桥塔的水平距离 ， ，求斜拉索 顶端 到桥面的
距离 的长（结果保留整数）．（参考数据： ， ，
16．（7分）为了解“吉单”和“良玉”两个品种玉米的长势，农业科技人员随机抽取“吉单”和“良
玉”两个品种的玉米棒各20个，测量棒长（单位： 、棒直径（单位： ，分别计算棒长与棒直径
的比值（长直比），绘制复合折线图如下：
根据复合折线图回答下列问题：
（1）计算“吉单”品种玉米棒的长直比最大值与最小值的差．
（2）在抽取的两个品种的玉米棒中，长直比更稳定品种是 ．
（3）现有一个长为19.6 ，直径为5.6 的玉米棒，请判断这个玉米棒更可能来自于“吉单”、“良
玉”中的哪种玉米？为什么？
17．（7分）在特定的冬季时段，吉林雾淞厚度变化呈现出阶段性特征．某日吉林市雾淞岛的某棵垂柳上
的雾凇厚度 （单位： 与时刻 之间的关系如图所示． 为凝华期， 为稳定期，
为消融期．根据图象回答下列问题：
第4页（共21页）（1）凝华期 雾淞厚度增长速度为 ．
（2）求出消融期雾淞厚度 与时刻 的函数解析式（不要求写出 的取值范围）．
（3）求 时该垂柳上的雾淞厚度．
18．（8分）图1、图2、图3均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的
边长均为1，△ 的顶点 ， ， 均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，
保留作图痕迹，不要求写画法．
（1）在图1中画△ 的高 ．
（2）在图2中画△ 的中位线 ，点 在 上，点 在 上．
（3）如图3，点 在格点上，连接 交 于点 ， ， 分别与网格线交于点 ， ，连接 ，
．则 （填“ ”、“ ”或“ ” ．
19．（8分）【综合与实践】一设计学校生态区花圃
活动目标：用一定长度的栅栏围成一个扇形（不围成圆形）或矩形的花圃，探究面积与形状之间的关系
设计最优方案．
第5页（共21页）活动准备：准备一定长度的栅栏， ．
活动任务：
任务1：用长度为 是常数）米的栅栏围成一个扇形，求该扇形面积的最大值．
任务2：用长度为 是常数）米的栅栏围成一个矩形，求该矩形面积的最大值．
任务3：若只考虑面积最大化，不考虑其他因素，栅栏的总长度为定值时，判断围成的最大扇形面积与最
大矩形面积的大小关系．
任务 ．
活动过程： ．
活动评价： ．
负责任务1的小组计算过程如下：
解：设扇形的半径为 米，则扇形弧长 米，根据扇形面积公式，得
步骤①
步骤②
步骤③
步骤④
． 步骤⑤
当 时， 有最大值为 ． 步骤⑥
根据以上信息，回答下列问题：
（1）指出负责任务1的小组计算过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
（2）请你完成任务2、任务3．
20．（10分）如图，在菱形 中， ， ，点 以每秒2个单位长度的速度从点 出发
第6页（共21页）沿折线 向终点 运动，过点 作 ，交折线 于点 ，连接 ， ．设
点 运动的时间为 秒，△ 的面积为 ．
（1）当点 与点 重合时， ．
（2） 和 之间的距离为 ．
（3）求 关于 的函数解析式，并写出 的取值范围．
21．（10 分）如图，抛物线 是常数）经过点 ，点 在此抛物线上，过点 作
轴， 轴，以 ， 为一组邻边作矩形 ．点 的横坐标为 ，点 的纵坐
标为 ，点 的横坐标为 ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点 和点 重合时，求 的值．
（3）当抛物线在矩形 内的部分的函数值 随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围．
22．（12分）【问题背景】
如图1，△ 是锐角三角形，点 在边 上（点 不与点 ， 重合），连接 ，将△ 沿
翻折得到△ ，将△ 沿 翻折得到△ ，延长 ， 相交于点 ，连接 ．设
第7页（共21页）的长为 ，四边形 的面积为 ．
【特例探究】
如图2，当 ，且 时，
（1）猜想四边形 的形状，并说明理由．
（2）当 时， ．
【类比迁移】
（1）如图3，当 时， （用含 的式子表示）．
（2）当 时， （用含 的式子表示）．
【思维拓展】
当 时， （用含 ， 的最简二次根式表示）．
第8页（共21页）2025年吉林省吉林市中考数学二模试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C A D B D
7. 8.4 9. 10.②④ 11.
填空题解法提示
10．解：设点 的坐标为 ，矩形的长为 ，宽为 ，
则 ， ，
矩形 位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 的“纵横比”是 ，点 的“纵横比”是 ，点 的“纵横比”是 ，点 的“纵横
比”是 ，
， ， ， ，
， ， ，
“纵横比”最小的是点 ，“纵横比”最大的是点 ，
说法正确的序号是②④．
故答案为：②④．
11．解法一（以卓言解法思路为例）
过点 作 ，交 的延长线于点 ．
，
，
，
，
，
是△ 的中位线，
第9页（共21页），
， ，
△ 是等腰直角三角形，
．
，
，
在 △ 中．
．
故答案为： ．
解答题参考答案
12．解：
．
当 ， 时，原式 ．
13．解：根据题意，列表如下：
大伟小婷
由表格可以看出，所有等可能出现的结果共有 9种，大伟、小婷选中同一车次的结果有 3种，所以
．
14．解：设每头牛值金 两，每只羊值金 两，
依题意得： ，
第10页（共21页）解得： ，
答：每头牛值金 两，每只羊值金 两．
15．解： ， ，
，
．
答： 约为 ．
16．解：（1）用“吉单”品种玉米棒的长直比最大值减去最小值可得 ．
答：“吉单”品种玉米棒的长直比的最大值与最小值的差为 ．
（2）由折线统计图可得“吉单”玉米的波动更大，
所以长直比更稳定品种是“良玉”．
故答案为：良玉
（3） ．
答：因为“吉单”品种玉米的长直比更趋近于3.5，所以这个玉米棒更可能来自于“吉单”品种玉米．
17．解：（1）由函数图象可知，凝华期 雾凇厚度增长了 ，
则凝华期 雾凇厚度增长速度为 ，
故答案为：2．
（2）设 ，
将点 ， 代入得： ，
解得 ，
所以 ．
（3）将 代入 得： ，
答： 时该垂柳上的雾凇厚度为 ．
18．解：（1）如图， 即为所求；
第11页（共21页）由图形知△ 和△ 都是等腰直角三角形，
，
，则 是△ 的高；
（2）如图， 即为所求；
（3）由图形知△ 和△ 都是等腰直角三角形，
，
，
，
由条件可知 是△ 的中位线，
，
第12页（共21页），
，
故答案为： ．
19．解：（1）步骤⑤，⑥计算错误，
正确解答过程： ，
当 时， 有最大值为 ．
（2）任务2：设矩形的一边长为 米，其邻边长为 米，
，
当 时， 有最大值为 ；
任务3：最大扇形面积与最大矩形面积相等．
20．解：（1）当点 与点 重合时，
在菱形 中， ， ．如图1，
．
过点 作 ， ，
，
，
，
第13页（共21页）故答案为：1；
（2）由（1）得到， ，
在菱形 中， ， ，
由勾股定理得： ，
即 和 之间的距离为 ；
故答案为： ；
（3）点 以每秒2个单位长度的速度从点 出发沿折线 向终点 运动，设点 运动的时间
为 秒，△ 的面积为 ，
当 时，如图2，
，
，
如图3，当 时，
；
如图4，当 时，设 交 的延长线于点 ，
第14页（共21页）， ， ， ，
．
21．解：（1）抛物线 是常数）经过点 ，把 代入得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2） 点 在此抛物线上，点 的横坐标为 ，
， ，
当 时， ，
解得： （不合题意，舍去）， ．
当 时， ，
解得： （不合题意，舍去）， ．
的值为 或 ；
（3） 的取值范围为 或 ．理由如下：
根据题意 ， ， ， ，
当 时，
如图1，当 在函数图象上时， ，
第15页（共21页）解得： ， （舍去），
如图2，当 时，抛物线在矩形 内的部分的函数值不全是 随 的增大而增大时，故不符合
题意；
当 时，点 和点 重合，
故当 时，抛物线在矩形 内的部分的函数值 随 的增大而增大，符合题意；
如图3，当 时，抛物线没有在矩形 内的部分，不符合题意；
第16页（共21页）当 时，
当 时，点 和点 重合，
故如图4，当 时，抛物线在矩形 内的部分的函数值 随 的增大而增大，符合题意；
如图5，当 时，抛物线在矩形 内的部分的函数值不全是 随 的增大而增大，不符合题意；
综上所述， 的取值范围为 或 ．
22．解：【特例探究】（1）四边形 是正方形．理由如下：
，
，
将△ 沿 翻折得到△ ，将△ 沿 翻折得到△ ，
，
，
，
，
，
，
第17页（共21页），
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形；
（2） 四边形 是正方形，
，
，
，
解得： ，
；
故答案为： ；
【类比迁移】（1）如图3，过 作 交延长线于 ，过 作 交于 ，
，
同理可证： ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
第18页（共21页），
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
四边形 是正方形，
同理可求： ，
；
故答案为： ；
（2）如图4，过 作 交延长线于 ，过 作 交于 ，
同理可证：△ △ ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
第19页（共21页），
，
，
，
，
；
故答案为： ；
【思维拓展】如图5，过 作 交延长线于 ，过 作 交于 ，
同理可证： ，
，
第20页（共21页），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为： ．
第21页（共21页）
