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2025年新疆乌鲁木齐市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要
求，请按答题卷中的要求作答）
1．（4分）在0，1， ， 中最小的实数是
A．0 B． C．1 D．
2．（4分）如图，直线 和 相交于点 ， ．若 ，则 的大小为
A． B． C． D．
3．（4分）2024年 技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从 初期的 提升到 ，
给我们的智慧生活“提速”．其中 表示每秒传输10000000000位 的数据．将10000000000用
科学记数法表示应为
A． B． C． D．
4．（4分）下列各式中，运算结果为 的是
A． B． C． D．
5．（4分）一个正多边形，它的内角和是外角和的2倍，则该正多边形是
A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
6．（4分）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为
A． B． C．4 D．16
7．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的大致图象如图所示，则函数
第1页（共17页）的图象大致为
A． B．
C． D．
8．（4分）第14届国际数学教育大会 会标如图（a）所示，会标中心的图案来源于我国古代
数学家赵爽的“弦图”，如图（b）所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形 △ ，△ ，△
，△ 和一个小正方形 拼成的大正方形 ．若 ，则
A． B． C． D．
9．（4 分）如图，等边 的边长为 ，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿
的方向运动，当点 回到点 时运动停止．设运动时间为 （秒 ， ，则 关于
的函数的图象大致为
第2页（共17页）A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
10．（4分）苹果原价是每千克 元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克 元（用含 的代数式表
示）．
11．（4分）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位： ，得
到的数据如下：
49.98 50.00 49.99 50.02
50.01 49.97 50.04 50.02
当一个工件的质量 （单位： 满足 时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这
200个工件中一等品的个数是 ．
12．（4分）如图，在△ 中， 平分 ， ．若 ， ，则 ．
13．（4分）若点 在 轴上，则点 的坐标为 ．
第3页（共17页）14．（4分）如图，在 △ 中， ， ， ，将△ 绕点 按逆时针方向
旋转得到△ ，此时点 恰好在 边上，则点 与点 之间的距离为 ．
15．（4 分）如图， 是 的直径， 、 是 （异于 、 上两点， 是 上一动点，
的角平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ．当点 从点 运动到点 时，则 、
两点的运动路径长的比是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（12分）计算：
（1） ；
（2） ．
17．（12分）（1）解一元一次不等式组 ，并把解集表示在如图所示的数轴上．
（2）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足
球共需540元．求每个篮球和每个足球的售价？
18．（10分）如图所示，在 中，对角线 与 相交于点 ，过点 任作一条直线分别交 ，
于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ， 直接写出当 与 满足什么关系时，四边形 是菱形？
第4页（共17页）19．（10分）某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有： ：篮球， ：足球， ：排
球， ：羽毛球， ：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校王老师对某班全班同学的选课情
况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）则该班的总人数为 人，其中学生选 所在扇形的圆心角的度数是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该班某4名同学中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，王老师要从这4人中选2人了解
他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的 2人恰好1人选修篮球，1人选
修足球的概率．
20．（10分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了
一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图
（2）为测量示意图（点 ， ， ， 均在同一平面内， ．已知斜坡 长为20米，斜坡
的坡角为 ，在斜坡顶部 处测得风力发电机塔杆顶端 点的仰角为 ，坡底与塔杆底的距离
米，求该风力发电机塔杆 的高度．（结果精确到个位；参考数据： ，
， ，
第5页（共17页）21．（12分）某商场销售一批进价为10元 件的日用品，经调查发现，每月销售件数 （件 与销售价格
（元 件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为 （元 ．
（1）分别求出 与 ， 与 的函数解析式；
（2）当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价；
（3）为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？
22．（11分）如图， 是△ 的外接圆， 为 的直径，在△ 外侧作 ，过
点 作 于点 ，交 延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）用无刻度的直尺和圆规作出 所对弧的中点 ．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）在（2）基础上连接 ，交 于点 ，连接 ，若 ，求线段 的长．
23．（13分）设二次函数 为常数）的图象为 ．
【特例感悟】
（1）当 ， 时，二次函数 为常数）的最小值是 、最大值是
；
【类比探索】
（2）当直线 与图象 在第一象限内交 、 两点（点 在点 的左边）， 点横坐标 ，
点 的横坐标 ， ，求在 范围内二次函数 为常数）的最大值与最小
第6页（共17页）值的差；
【纵深拓展】
（3）①不论 为何实数时，图象 一定会经过一个定点，求出这个定点坐标；
②当 时，二次函数 为常数）的最大值为9，那么图象 的对称轴与 轴的
交点横坐标会大于0小于2吗？试说明你的理由，并指出满足条件的对称轴与定点之间的距离．
第7页（共17页）2025年新疆乌鲁木齐市中考数学一模试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B B B C C C A C D
10. 11.140 12.1 13. 14. 15.
选择题、填空题解法提示
9．解：如图，过 作 于点 ，则 ， ，
①当点 在 上时， ， ， ，
，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线 ；由此可排除 ， ， ．
②当 时，即点 在线段 上时， ；则 ，
该函数的图象是在 上的抛物线，且对称轴为 ；
③当 时，即点 在线段 上，此时， ，则 ，
该函数的图象是在 上的抛物线，且对称轴为直线 ；故选： ．
15．解：如图，连接 ，设 ，
第8页（共17页）是 的直径，
，
的角平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ．
是 的内心，
，
作等腰直角三角形 ， ， ，
则点 在以 为圆心 为半径的弧上运动，运动轨迹是 ，
点 的运动轨迹是 ，由题意 ，
设 ，则 ，
弧 的长度：弧 的长度 ．
故答案为： ．
解答题参考答案
16．解：（1）
；
第9页（共17页）（2）
．
17．（1）解： ，
由①得， ，
由②得， ，
故不等式组的解集为： ，
在数轴上表示为：
．
（2）解：设每个篮球的售价是 元，每个足球的售价是 元，
根据题意得： ，
① ②得， ，
把 代入①中得， ，
解得：
答：每个篮球的售价是100元，每个足球的售价是120元．
18．（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
在 和 中，
第10页（共17页），
，
；
（2）当 时，四边形 是菱形．
证明： ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
19．解：（1）该班的总人数为 （人 ，
其中学生选 所在扇形的圆心角的度数是 ，
故答案为：50、64.8；
（2）选 “足球”的人数为： （人 ，
选 “乒乓球”的人数为： （人 ，
补全条形统计图如下：
第11页（共17页）（3）2人选修篮球分别记为 、 ，1人选修足球记为 ，1人选修排球 ，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，即 、
、 ，
选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为 ．
20．解：过点 作 于点 ，作 于点 ，
由题意得： ， ，
在 △ 中，
， ，
，
，
，
四边形 为矩形，
， ，
，
，
在 △ 中， ，
，
第12页（共17页），
答：该风力发电机塔杆 的高度为 ．
21．解：（1）设 ．
．
解得： ．
与 的函数解析式为： ；
；
答： 与 的函数解析式为： ； ；
（2）当 时，
．
．
．
解得： ， ．
答：当商场每月销售该商品的利润为4000元时，该商品的定价为20元 件或30元 件；
（3） ，
二次函数的开口方向是向下．
时， 最大，最大值为： （元 ．
答：为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为25元 件，最大利润是4500元．
22．（1）证明：连接 ，
，
，
，
第13页（共17页），
，
，
，
是圆半径，
是 的切线；
（2）解：如图，点 即为所求；
（3）解： ， 平分 ，
，
，
， ，
在 △ 中， ，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
， ，
第14页（共17页），
△ △ ，
， ，
设 ，则 ， ，
，解得 ，
．
23．解：（1）当 ， 时， ，
函数的对称轴为直线 ，则 ，
当 时， ，
故答案为： ， ；
（2）依题意得： ，整理得 ，
故 ， 是其两实根，
， ；
又 ，
故 ，
整理得 ，
解得 ， （不合题意）；
， ，图象 的对称轴为直线 ，
当 时， 随 增大而增大，
当 ，且 时，
，
第15页（共17页）当 时， ， ．
最大值与最小值的差为 ．
（3）① ，
当 时，无论 为何实数，都有 ，
即定点坐标为 ；
②当 时，图象 的对称轴与 轴的交点横坐标不能大于0小于2．
理由： ，
图象 的对称轴为直线 ，
当 时，抛物线开口向上，在 时，
随 的增大而减小，函数在 时 随 的增大而增大，
当 时， 有最大， ，
解得 ，抛物线对称轴为直线 ，
当 时， 有最大， ，
解得 ，抛物线对称轴为直线 ，
图象 的对称轴与 轴的交点横坐标不在大于0小于2的范围内．
由于抛物线开口向上，对称轴为直线 时，
函数在 时 随 的增大而增大，
当 时， 有最大， ，
解得 ，抛物线对称轴为直线 符合题意，
当对称轴为直线 时，函数在 时 随 的增大而减小，
第16页（共17页）当 时， 有最大， ，
解得 ，抛物线对称轴为直线 符合题意，
定点 分别到直线 的距离是2．
第17页（共17页）
