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2025年辽宁省大连市中考数学二模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．（3分）家庭记录收支账目，若收入500元记作 元，则支出300元应记作
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
2．（3分）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是
A． B． C． D．
3．（3分）实数 在数轴上对应点的位置如图所示，则实数 可能是
A． B． C．0 D．
4．（3分）如图，在四边形 中， ， ， ，则 的值是
A．60 B．65 C．75 D．130
5．（3分）第33届夏季奥林匹克运动会上，中国体育健儿展现了强大的中国自信与中国力量，共获得40
枚金牌．下列体育运动图标中，不是中心对称图形的是
第1页（共20页）A． B． C． D．
6．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
7．（3分）如图，小明用两根木棍 ， 制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径 的长．
若 与 交于点 ， ，则 的长是
A． B． C． D．
8．（3分）如图，菱形 中， ，点 是对角线 的中点，点 ， 分别在 ， 上，将
△ 沿 翻折，得到△ ，当点 与点 重合时， 的长是
A． B．2 C．3 D．6
9．（3 分）抛物线 与 轴的交点为 ， ，则关于 的一元二次方程
的两个根是
A． ， B． ，
第2页（共20页）C． ， D． ，
10．（3分）用相同的时间，某次列车提速前行驶 ，提速后比提速前多行驶 ，若平均提速
，提速前列车的平均速度为多少？设提速前这次列车的平均速度为 ，根据行驶时间的等
量关系，可列方程是
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若分式 有意义，则实数 的取值范围是 ．
12．（3分）一个不透明袋子中装有2个红球和1个黑球，除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个
球后，放回并摇匀，再随机摸出1个球，两次都摸出红球的概率是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的对角线 ， 分别在 轴和 轴上，
点 的坐标为 ，则线段 的长是 ．
14．（3分）一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位： ，分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，则
这所住宅的建筑面积为 （用含 的代数式表示）．
第3页（共20页）15．（3分）如图，在 中， ，对角线 ，以点 为圆心， 的长为半径作弧交
于点 ；再分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点 ，射线 交 于点
．若 ，则 的长是 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
17．（8分）为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机
器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成
绩均为整数，且满分均为10分．
信息一：
初中组 队伍的各项成绩如下表所示：
编程 调试 搭建 讲解
队伍成绩 分 8 8 7 5
信息二：
为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整
理，并绘制统计图表（不完整），信息如下：
第4页（共20页）初中和高中组备20支队伍搭建项目的成绩分析统计表
平均数 中位数 众数 方差
初中组 8.15 10 2.23
高中组 8.4 9 2.44
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ，搭建项目成绩更稳定的是 （填“初中组”或“高中组” ；
（2）比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照 的比，确定各支队伍比赛
的平均成绩，求 队的平均成绩；
（3）本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计
本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀．
18．（8分）某公司准备采购办公电脑，若采购1台 型电脑和2台 型电脑，需花费1.32万元；若采购
3台 型电脑和1台 型电脑，需花费1.46万元．
（1）求 、 两种型号电脑每台的售价各是多少万元？
（2）若该公司采购 、 两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多
少台 型电脑．
19．（8分）如图，建筑物 ， 分别与地面 垂直，两建筑物之间的水平距离 为 ，一架
无人机以 的速度从 处起飞，沿射线 方向飞行，飞行方向与水平线的夹角 为 ，
无人机飞行 后到达 处，此时从距地面 的 处观测无人机的仰角 为 ，求 处到地面
的距离．（结果精确到 ，参考数据： ， ，
第5页（共20页）20．（8分）如图， 是 的直径，点 ， 在 上， ， 是 的切线， ，
垂足为 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
21．（8分）甲、乙两车沿同一路线，从 地出发，匀速驶向 地，甲车出发 后，乙车出发．当甲
车行驶 时，两车在 地相遇；乙车在 地停留一段时间后继续以原速度匀速行驶，当甲车行驶 时，
两车同时到达 地．甲、乙两车行驶的路程 （单位： 与甲车行驶时间 （单位： 之间的关系如
图所示．
（1）求 、 两地之间的路程；
（2）乙车出发后，当两车之间的路程为 时，求甲车行驶的时间．
第6页（共20页）22．（12分）综合与实践．
【了解定义】
如图1，在△ 和△ 中， ， ，点 ， 在底 的同侧．我们把具有这种位置
关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，
顶角顶点的连线叫做轴线．图1中 和 是腰角，线段 是轴线．
【探究性质】
小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所
在的直线垂直平分底边．
小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明．
（1）已知：如图1，△ 和△ 是同位等腰三角形，连接 ．求证： ，直线
是线段 的垂直平分线．
【辨析理解】
（2）如图2，在△ 中， ，点 在 上， ， ，垂足为 ， 的延
长线与 相交于点 ，点 在线段 上，且 ，连接 ．求证：△ 和△ 是同位等
腰三角形．
【拓展应用】
（3）如图 3，△ 和△ 是同位等腰三角形， ，点 在 的延长线上，且
， 的延长线与 ， 分别交于点 ， ，点 在 上， ．若 ，
，求 的长．
23．（13分）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴正半轴相交于点 ，与 轴相交
于点 ，连接 ．
（1）如图1，求 的长．
第7页（共20页）（2）点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，且 ．以点 为中心，把线段 顺时针旋
转 得到线段 ，点 的对应点为 ．
①如图2，将线段 沿 轴向上平移，平移后点 与原点 重合，点 的对应点为 ，点 在反比例函
数 的图象上．当 时，求证：点 在该反比例函数图象上；
②当线段 与抛物线有公共点时，请直接写出 的取值范围；
（3）约定：抛物线上 ， 两点之间的图象（包括点 ， 的最高点与最低点纵坐标的差叫做这两点
间的图象界差，记为 ．点 ， ， ， 都在抛物线上，它们的横坐标分别为 ， ， ，
，其中 ；是否存在 的值，使得 ？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明
理由．
第8页（共20页）2025年辽宁省大连市中考数学二模试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B A C B C A B
11. 12. 13.4 14. 15.7
填空题解法提示
15．解：连接 ．
由作图可知 ，
，
，
，
，
．
故答案为：7．
解答题参考答案
16．解：（1）
．
（2）
，
第9页（共20页）当 时，
原式 ．
17．解：（1）初中组的中位数为： ，
高中组的众数 ，
因为初中组的方差比高中组小，所以搭建项目成绩更稳定的是初中组；
故答案为：8，10，初中组；
（2） ．
答： 队的平均成绩为7分；
（3） （支 ，
答：估计本次比赛高中组约有33支队伍在搭建项目中获得优秀．
18．解：（1）设每台 型电脑的售价是 万元，每台 型电脑的售价是 万元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：每台 型电脑的售价是0.32万元，每台 型电脑的售价是0.5万元；
（2）设该公司要采购 台 型电脑，则采购 台 型电脑，
根据题意得： ，
解得： ，
的最小值为5．
答：该公司至少要采购5台 型电脑．
19．解：作 ，垂足为 ， 与 ， 的延长线相交于点 ， ，
第10页（共20页）由题意知 ， ，
四边形 为矩形，四边形 为矩形，
， ， ，
无人机从 以 的速度飞行 后到达 ，
，
在 △ 中， ， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
答： 处到地面的距离约为 ．
20．解：（1）如图，连接 ．
是 的切线，
第11页（共20页）．
，
．
，
，
．
，
．
，
△ 为等边三角形，
，
；
（2）如图，作 ，垂足为 ．
则． ，
． ，
四边形 为矩形，
，
在 △ 中， ， ，
则 ，
的长为： ．
21．解：（1）甲车的速度为 ，
第12页（共20页）．
答： 、 两地之间的路程是 ．
（2）甲车行驶的路程 与甲车行驶时间 之间的函数关系式为 ，
乙车的速度为 ，
乙在 时从 地出发前往 地，
当 时，乙车行驶的路程 与甲车行驶时间 之间的函数关系式为 ，
当 时，乙车行驶的路程 与甲车行驶时间 之间的函数关系式为 ，
当 时 ， 乙 车 行 驶 的 路 程 与 甲 车 行 驶 时 间 之 间 的 函 数 关 系 式 为
，
当 时，当两车之间的路程为 时，得 ，
解得 ，
当 时，当两车之间的路程为 时，得 ，
解得 （舍去），
当 时，当两车之间的路程为 时，得 ，
解得 （舍去）．
答：乙车出发后，当两车之间的路程为 时，求甲车行驶的时间为 ．
22．（1）证明： △ 和△ 是同位等腰三角形，
， ．
， ，
，
即 ，
，
点 在线段 的垂直平分线上，
，
第13页（共20页）点 在线段 的垂直平分线上，
直线 是线段 的垂直平分线；
（2）证明：作射线 交 于点 ，
，垂足为 ，
，
，
，
．
，
，
△ △ ．
．
，
，
，
，
，
，
，
△ 和△ 是同位等腰三角形；
（3）解：作 ，垂足为 ，过点 作 的平行线与 延长线于点 ．
第14页（共20页），
△ 和△ 是同位等腰三角形，
， ， 垂直平分 ．
由题意知 ．
， ，
，
，
．
，
， ．
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分 ，
，
，
．
，
第15页（共20页）△ △ ，
，
， ，
△ △ ，
，
即 ，
解得 ，
．
23．（1）解：把 代入 ，
解得 ， ，
点 的坐标为 ，
．
把 代入 ，得 ，
点 的坐标为 ，
，
在 △ 中， ，
；
（2）①证明：连接 ，作 轴，垂足为 ．
第16页（共20页）将 向上平移，点 与点 重合，点 的对应点是 ，
， ，
点 的坐标是 ，
点 的坐标是 ，
点 在反比例函数 的图象上，则 ，
．
反比例函数的解析式是 ；
当 时，点 的坐标是 ，
．
在 △ 中， ， ，
．
以点 为中心，把线段 顺时针旋转 得到线段 ，点 旋转后的对应点为 ．
， ．
，
，
，
，
点 的坐标是
第17页（共20页）把 代入 中，得 ．
点 在反比例函数 的图象上；
② 线段 与抛物线有公共点，点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，且 ，
，
由旋转的性质得 ，
点 的运动轨迹为 ，
联立 ，
解得 ， ，
即 或 ，
解得 ，
结合图象可知： 或 ；
（3）解：由题意，点 ，点 ，
第18页（共20页）点 ，点 ，
抛物线 的顶点的坐标为 ．
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，若有 ，
则 ，
解得 ；
当 时，若有 ，
则 ，
整理得 ，
，
原方程无解；
当 时，不存在 的值，使得 ；
当 时，若有 ，
则 ，
解得 （舍 ， ；
第19页（共20页）综上所述，当 或 时，使得 ．
第20页（共20页）
