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第十三讲
简单抽屉原理
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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -把10个苹果放进9个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹
果．这个看上去很显然的现象，在数学中我们把它称作抽屉原理．
一般地，我们有如下结论：
抽屉原理I
把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个
抽屉，里面至少有2个苹果．
以9个抽屉为例：把9个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数不多于抽屉个数，如果苹
果平均放进抽屉中，则每个抽屉都只放了1个苹果．但如果把10个苹果放进9个抽屉，
这时苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．因为即使每个
抽屉都放1个苹果时，也只能放进 个苹果，剩下的1个苹果再放进任何一个抽屉，
都会使该抽屉中有2个苹果．
类似的，把99个苹果放进9个抽屉，苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，
里面至少有2个苹果．事实上，我们还可以发现：如果这99个苹果平均放进9个抽屉中，
每个抽屉里放 个苹果，如果放得不平均，则肯定有某个抽屉里的苹果多于11个．
但如果把100个苹果放进9个抽屉，即使每个抽屉都放11个苹果，只能放99个苹果，剩
下1个苹果再放进抽屉中，一定会使得某个抽屉至少有12个苹果．
我们把“抽屉原理I”加以推广，就可以得到一个更全面的抽屉原理．
抽屉原理II
把m个苹果放入n个抽屉（m大于n），结果有两种可能：
（1）如果 没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“ ”个苹果；
（2）如果 有余数，那么就一定有抽屉至少放了“ 的商再加1”个苹果．
抽屉原理也称“鸽巢原理”或“狄利克莱原理”，是 19世纪德国数学家狄利克莱最
早提出的，在组合数学中有着非常重要的地位．
练 一 练
如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定有抽屉至少放了________个苹果．
如果把97片培根放在8个盘子，那么一定有盘子至少放了________片培根．
如果把98只羊放在8个笼子里，那么一定有笼子至少放了________只羊．回想刚才得出抽屉原理的过程，在计算时我们都使用了平均分配的思想．为什么要平
均分呢？因为只有这样做才能使得放入同一个抽屉的苹果尽量少，求出的结果才是至少
几个．虽然我们算的是分到同一个抽屉的苹果，但考虑的时候却是让同一抽屉中的苹果
尽量少——这种从反面考虑的分析方法又叫做“最不利原则”，即考虑最坏的情形．这
一原则不仅体现在抽屉原理中，它还在解决很多与“至多”、“至少”相关的问题时非
常有用．
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例题1
一个鱼缸里有4个品种的鱼，每种鱼都有很多条．至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相
同品种的鱼？
分析：如果没有满足“有5条相同品种的鱼”的要求，最“倒霉”的情况是什么？换句话说，当结论
不成立时，最多可能有多少条鱼？只要比这个“最多的”还要多，结论就肯定成立了．
练习1
一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很多，那么至少要拿出多少个彩球，才
能保证其中有6个相同颜色的彩球？
例题2
一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3
个，绿色的有1个．现在闭着眼睛从中摸球，请问：
（1）至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？
（2）至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？
分析：仍旧考虑问题的反面，当本题中的结论不成立时，最多能取出多少个球？
练习2
爷爷给小明买了一盒糖，这些糖分为苹果味、桔子味和菠萝味三种口味，每种口味各30颗．小
明特别喜欢吃苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证一定能拿到1颗苹果味
的？至少需要摸出多少颗糖，才能保证能拿到两种口味的糖？例题3
将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里．请问：
（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？
（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即
为一双）
分析：结论的反面是什么？在不满足结论的情况下，最多能摸出多少只袜子？
练习3
袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各10只．现在闭着眼睛从袋子中摸袜子，请问：
（1）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？
（2）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？
（两只袜子颜色相同即为一双）
例题4
一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张．现
在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌
至少都有3张，那么最少要取出多少张牌？
分析：本题中我们要保证“至少包含三种花色”和“这三种花色的牌至少都有3张”这两
个条件，如果不能同时保证这两个条件，那么最多可能取出多少张牌？
练习4
口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个．要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，
并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？
例题5
大头把一副围棋子混装在一个盒子中（围棋子有黑、白两种颜色），然后每次从盒子中摸出4枚
棋子，那么他至少要闭着眼睛摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（不
必考虑每次摸出的4枚棋子的顺序）
分析：摸出的4枚棋子的颜色情况都有哪几种？如果结论不成立，最多可能摸了几次？小 故 事
鸽巢原理
鸽巢原理又名抽屉原理或狄利克雷原理，它由德国数学家狄利克雷(Divichlet，1805—1855)首先发现．鸽巢原理在组合学中占据着非常重要的地位，它常被用来证明一些关于存在性的数学问题，并且在数论和密码学中也有着广泛的应用．使用鸽巢原理解题的关键是巧妙构造鸽巢或抽屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则．鸽巢原理的应用在几何图形中：
例：在边长为2的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离至多为1．
分析：由题意，可以构造出4个抽屉，每个抽屉满足在其中的距离至多为1．根据抽屉原理，在4个抽屉里分别放置4个点，不论第5个点如何放置，都满足两点之间的距离最多为1．
例题6
8 8
分析：至少有3个格子里的米粒一样多的反面是最多只有2个格子的米粒数一样多，想想
这时格子里至少有多少个米粒？课 堂 内 外
二桃杀三士
《晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事．齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公
孙接和古冶子．这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳．但他们也刚
愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴．晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐
景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃．
三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子．于是公孙接讲了自己的打虎功，拿
了一只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃．两人正准备要吃桃子，古冶子说出了
自己更大的功劳．公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶
忙让出桃子．并且觉得自己功劳不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再
活下去，于是都拔剑自刎了．古冶子见了，后悔不迭．仰天长叹道：“如果放弃桃子而隐瞒
功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气．如今两个伙伴都为此
而死了，我独自活着，算什么勇士！”说罢，也拔剑自杀了．
晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权
谋．汉朝的一位无名氏在一首诗中曾不无讽刺的写道：“……一朝被谗言，二桃杀三士．谁
能为此谋，相国务晏子！”
值得指出的是，在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理──抽屉原理．
在“二桃杀三士”的故事中，把两个桃子看作两个抽屉，把三名勇士放进去，至少有两名勇
士在同一个抽屉里，即有两人必须合吃一个桃子．如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个桃子
的羞耻，那么悲剧的结局就无法避免．
作业
1. 口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个．小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸
出1个球．他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？
2. 小钱的存钱罐中有4种硬币：1分、2分、5分、1角，这四种硬币分别有5个、10个、15个、
20个．小钱闭着眼睛向外摸硬币，他至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中至少有两种不同的
面值？至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中既有5分硬币也有1角硬币？
3. 如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有 10根．在黑暗中取出一些筷
子，为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？为了搭配出两双颜色不同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？（两根颜色相同的筷子搭配成一双筷子）
4. 盒子里一共有4种不同形状的零件，分别有9、10、11和12个，至少要从中摸出多少个零件，
才能保证有3种不同形状的零件，并且这三种零件中每种至少有3个？
5. 中午放学，食堂里有五种菜供学生们选择，每人只能选两种不同的菜．至少有多少名学生，
才能保证其中至少有5名学生选择的菜完全相同？
