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第十四讲
还原问题
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小 故 事
萱萱要把一个包装精美的盒子打开．她先拆开最外层的彩纸；接着打开纸盒，纸盒里
有一个绒布盒；再打开绒布盒一看，里面是两支“派克”金笔．妈妈说，这礼物是送
给老师的，要萱萱把它重新包装起来．萱萱是按这样的顺序做的：先把两支笔放入绒
布盒→盖上绒布盒，并把它放进纸盒→盖上纸盒，并用彩纸封好．萱萱重新包装的步
骤（顺序）恰好与她打开这盒礼物的顺序相反．这是生活中常会遇到的“还原问
题”．
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在数学中，还原问题也很多．比如计算一个数加3，同学们很快可以算出最后的结果．但如果知
道最后的结果等于8，反过来要求原来的数呢？大家自然想到利用加法的逆运算——减法，我们利用
，就可以算出原数等于5．像这样把结果还原成开始的数量的问题叫做还原问题．
本讲中我们就将遇到这样一类应用题：开始时的状态不知道，只知道中间的过程以及结束时的状
态．这时我们需要从最后结果出发，利用已知条件一步一步倒推，逐步接近最开始的状态，直至解决问题．这种思考问题的方法叫做倒推法（还原法）．
我们在倒推求解问题时，常常通过逆运算来还原：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除
法还原，除法用乘法还原．即原来是加（减）几，还原时要变成减（加）几；原来是乘（除以）几，
还原时要变成除以（乘）几．
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例题1
有一个数，把它加上24，再乘以4，减去20，得到的结果用15去除，商是5，余数是5．这个数是
多少？
分析：我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示，看看能先算出哪个数呢？
加上24 乘以4 减去20 除以15
？ ？ ？ ？ 商5余5
练习1
将一个自然数减去18，然后乘4，再除以7，得到的商是23，余数是3．请问这个自然数是多
少？
例题2
果园里有一棵桃树．有一天，三只猴子来偷吃桃子．第一只猴子吃了一个桃子并摘下了剩下桃子
的一半，然后第二只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了三个桃子
并摘下了剩下桃子的一半．这时树上刚好还有四个桃子，请问原来树上一共有几个桃子？
分析：我们根据最后树上剩下的四个桃子，可以一步一步地倒推出原来树上有多少个桃子．第三只猴
子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半，我们应该先倒推摘桃子的过程还是倒推吃桃子的过程？
练习2
田地里种着一些玉米．一天晚上，田鼠一家来偷玉米．田鼠爸爸偷走了所有玉米的一半多一个，
田鼠妈妈偷走了剩下玉米的一半多一个，最后田鼠宝宝偷走了剩下玉米的一半多一个．这时所有
玉米恰好被田鼠一家偷光了．请问原来田地里一共有多少个玉米？
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李白买酒
朱世杰是我国宋元时期杰出的数学家，他的《四元玉鉴》中，有许多精辟的数学创作．流传极广的数学名题“李白买酒”，就出现在《四元玉鉴》中．题目是这样的：
无事街上走，提壶去买酒，
遇店加一倍，见花喝八斗．
三遇店和花，喝光壶中酒．
诗的意思是说，李白一日闲来无事，在街市上游走，忽然闻到不远处香气扑鼻，单凭嗅觉他就断定那必是清香爽口，绵柔顺和的醇酒，便忍不住要前去打酒．他的壶中本来就有酒，每次遇到有卖如此醇酒的小店时再打的酒都与壶中的酒一样多，壶中酒便也因此增加一倍；每次看到花，他就不禁饮酒作诗，喝上八斗．这样边打边饮，三次之后，壶中的酒就全部被喝光了．
这是一道典型的还原问题，聪明的同学们，你知道李白的酒壶中原来有多少酒吗？
当题目中有两个或两个以上的量在变化时，只是画出示意图有时不能把中间步骤表示清楚，这时我
们可以采用多排倒推图的方法依次记录每一个变化过程．
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例题3
地上有26块砖，兄弟二人争着去挑．弟弟抢在前面，刚挑起一些砖，哥哥赶到了，挑了剩下的
砖．哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不
服，弟弟只好再给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块．请问：最初弟弟准备挑多少块砖？
你能算出最后哥哥和弟弟各挑多少块砖吗？在倒推的过程中，哥俩挑的砖都在变化，一个示意
分析：
图就显得力不从心了．我们可以用双行倒推图来倒推分析两人挑的砖的数量变化．
除以2 加上5
哥哥：？ ？ ？ ？
除以2 减去5
弟弟：？ ？ ？ ？练习3
王刚和李强手中各有若干枚硬币．开始时李强给王刚一些硬币，让王刚手中的硬币数量增加一
倍；然后，王刚给李强一些硬币，让李强手中的硬币数量增加一倍．这样交换后，每人手中各有
20枚硬币．请问原来两人各有多少枚硬币？
例题4
阿呆和阿瓜一起吃西瓜，吃完后每人面前都有一堆西瓜皮，一共42块．阿呆把22块西瓜皮扔到
阿瓜的那堆西瓜皮里，阿瓜生气了，把一半的西瓜皮扔给阿呆，阿呆又把好多西瓜皮扔给阿瓜让
阿瓜增加了2倍．最后阿瓜的西瓜皮是阿呆的6倍．请问：最初阿呆有多少块西瓜皮？(40)
分析：你能算出最后阿呆和阿瓜各有多少块西瓜皮吗？在倒推的过程中，阿呆和阿瓜的西瓜数量都在
变化，请试着画出双行倒推图来表示出两者的变化．
练习4
甲、乙各有一些糖，一共48块．每次甲给糖乙一些糖，使得乙的糖数增加一倍．经过四次这样
的操作以后，甲的糖数是乙的2倍．两个人原来的糖数分别是多少？(47，1)
例题5
甲、乙、丙三人的钱数各不相同．甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增
加了2倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加2倍，结果丙
的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加2倍，结果三人的钱数一样多．
如果他们三人共有81元，那么三人原来分别有多少钱？
分析：大家能算出最后三人各有多少钱吗？试着用多行倒推图分析吧．
例题6
甲和乙各有若干块糖．甲的糖数比乙少，每次糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；
经过2010次这样的操作以后，甲有16块糖，乙有2块糖．求两个人原来的糖数分别是多少？
分析：倒推过程中注意其中出现的周期规律．课 堂 内 外
李白
李白一生不以功名显露，却高自期许，不畏权力，藐视权贵，曾流传着“力士脱靴”“贵妃
捧砚”“御手调羹”“龙巾拭吐”的故事．肆无忌惮地嘲笑以政治权力为中心的等级秩序，
批判当时腐败的政治现象，以大胆反抗的姿态，推进了盛唐文化中的英雄主义精神．李白反
权贵的思想意识，是随着他的生活实践的丰富而日益成熟起来的．在早期，主要表现为“不
屈己、不干人”、 “平交王侯”的平等要求，正如他在诗中所说：“昔在长安醉花柳，五侯
七贵同杯酒．气岸遥凌豪士前，风流肯落他人后！”（《流夜郎赠辛判官》）“揄扬九重万
乘主，谑浪赤墀青琐贤．”（《玉壶吟》）他有时也发出轻蔑权贵的豪语，如“黄金白璧买
歌笑，一醉累月轻王侯”（《忆旧游寄谯郡元参军》）等，但主要还是表现内心中的高傲．
而随着对高层权力集团实际情况的了解，他进一步揭示了百姓基层和权贵的对立：“珠玉买
歌笑，糟糠养贤才．”（《古风》第十五）“梧桐巢燕雀，枳棘栖鸳鸯．”（《古风》第三
十九）并对因谄事帝王而窃据权位者的丑态极尽嘲讽之能事，如：“大车扬飞尘，亭午暗阡
陌．中贵多黄金，连云开甲宅．路逢斗鸡者，冠盖何辉赫．鼻息干虹霓，行人皆怵惕．世无
洗耳翁，谁知尧与跖！”而在《梦游天姥吟留别》中，他发出了最响亮的呼声：“安能摧眉
折腰事权贵，使我不得开心颜！”这个艺术概括在李白诗歌中的意义，正如同杜甫的名句
“朱门酒肉臭，路有冻死骨”（《自京赴奉先咏怀五百字》）在杜诗中一样重要．
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作业
1. 某数加上2，除以5，加上5，除以2，其结果等于10，那么这个数是多少？
2. 袋子里有若干个球．小明每次拿出其中的一半再放回一个球，一共这样做了 4次之后，袋子
里还有3个球．请问原来袋子里有多少个球？
3. 淘淘和奇奇是两只猴子，它们俩结伴去摘桃子．摘了一个下午，一共摘了 40个桃子．奇奇不高兴了，把淘淘摘的桃子的一半抢了过来，和自己摘的放在一起；淘淘也不甘示弱，又抢走了奇奇现
有桃子的一半；最后奇奇又从淘淘那里抢了7个桃子，这时淘淘和奇奇的桃子一样多．请问开始时奇
奇摘了多少个桃子？
4. 在电脑里输入一个数，它会按既定的指令进行如下运算：如果是偶数，就把它除以2；如果
是奇数，就把它加上3．这样进行了3次运算之后，得到的结果为27．请问原来输入的数可能是多少？
5. 有甲、乙、丙三袋水果糖．先取出甲袋的一半，平均放入乙、丙两袋中；再取出乙袋的一半，
平均放入甲、丙两袋中；最后取出丙袋的一半，平均放入甲、乙两袋中，这时三袋糖正好都是 32块．
请问原来甲、乙、丙三袋中各有多少块水果糖？
