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第十五讲
长度计算
要知道一个图形的长度，直接测量是日常生活中最常用的方法．而对于数学问题，我们最常用的有两个公式：
在几何问题中，经常有一些条件隐藏在图形中，需要细心观察才能发现.
例题1．如图，用一个边长是4厘米的正方形和4个一样大的小长方形，一起拼成一个边长是20
厘米的大正方形．请问小长方形的长和宽分别是多少厘米？
「分析」图中一共有大小共两个正方形和四个一样的长方形，看看这些长方形的长和宽与正方形
的边长有些什么关系呢？
练习：
1. 如图，用4个完全相同的长方形拼成了一个长是20厘米的长方形，请问小长方形的长和宽分
别是多少厘米？
上面的问题虽然是几何的形式，但是其中用到了和差倍应用题的方法.数学中的很多问题，都是像
这样互相有关联的，因此我们学习时，要注意融会贯通.
几何问题中，我们经常遇到一些不太规则的图形求周长的问题，这类问题应该怎么处理呢？
例题2．如图，把长为2厘米、宽为1厘米的6个长方形摆成3层，那么摆成的图形周长是多少厘米？
「分析」每个长方形的长和宽都是已知的，可以慢慢算出周长，有没有快一些的方法呢？
练习：
2. 把长为5厘米、宽为3厘米的5个长方形摆成两层，请问：摆成的图形的周长是多少厘米？
例题2可以用很多方法做，但是比较之后我们发现，平移法是相对比较简便的方法.通过平移，将
原先要求的周长转化为长方形的周长，使得问题简化.这种转化的思想是非常重要的.
使用平移转化时，一定要注意平移后的图形周长和平移前一致.
例题3．如图所示，在一个长为8厘米，宽为6厘米的长方形纸片上剪去一个边长为3厘米的正方
形．
（1）如果剪去的正方形在右上角，那么剩下的图形周长是多少厘米？
（2）如果剪去的正方形在右边，那么剩下的图形周长是多少厘米？
3
3
6 6
8 8
「分析」你能求出每条线段的长度吗？如果能请求出来，如果不能就想想如何通过平移来解决．练习：
3. 如图所示，在一个边长为6厘米的正方形纸片上减去一个长3厘米，宽2厘米的长方形，那
么剩下的图形周长是多少厘米？
2 6
3
对于特别复杂的图形，即使使用平移法，也容易让人觉得眼花缭乱.这时我们采用更清晰明了的
“标向法”.
例如，例题3的（2）问还可以这样来算：假设有只小蚂蚁沿着整个图形的边顺时针爬了一圈，把
它经过每条边时的方向标出来：
3
6
8
由于小蚂蚁最后回到了起点，所以它向上走的路程总和等于向下走的路程总和，也就是说向上、
向下两个方向的路程，只要知道其中之一就可以求出另一个了．同样的，向左的路程和与向右的路程
和也只需要知道一个即可.
可以用四句口诀记忆这个方法：
随意找起点，绕着走一圈；
标出方向来，上下和左右；
上下一样多，左右也相同；
细心加一加，乘二就成功．
例题4．如图，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直．那么这个多边形的周长是多少？2
2 5 2
2 1 6
3
6
3
「分析」图形比较复杂，试着用标向法解决这道题．
练习：
4. 如图，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直，那么这个多边形的周长是多少？
4
1
3
8
有时题目要求考察图形被分割之后周长总和的变化.此类问题的做法可以“借用”一个成语来描述：
一刀两“段”．即每剪开一条线段，周长增加量等于这条线段长的两倍.
例题5．如图所示，一个边长10厘米的正方形纸片，被横着剪了一刀，竖着剪了两刀，分成了6
个小长方形纸片．这6个小长方形的周长总和等于多少厘米？
「分析」把纸片裁开后分成了6个小长方形（如图），能不能把一些线段合起来算？还有没有更
简单的算法？例题6．如图，在一个长方形中有一段阴影部分．如果阴影部分恰好是正方形，那么图中大长方形
的周长是多少厘米？
6厘米
9厘米课 堂 内 外
天文单位
天文单位（英文：Astronomical Unit，简写AU）是一个长度的单位，约等于地球跟太阳的
平均距离.天文常数之一.天文学中测量距离，特别是测量太阳系内天体之间的距离的基本单
位，地球到太阳的平均距离为一个天文单位。一天文单位约等于1.496亿千米.1976年，国际
天文学联会把一天文单位定义为一颗质量可忽略、公转轨道不受干扰而且公转周期为
365.2568983日（即一高斯年）的粒子与一个质量相等约一个太阳的物体的距离.当前被接受
的天文单位是149,597,870,691±30米（约一亿五千万公里或9300万英里）.
当最初开始使用天文单位的时候，它的实际大小并不是很清楚，但行星的距离却可以藉著日
心几何及行星运动法则以天文单位作单位来计算出来.后来天文单位的实际大小终透过视差，
以及近代用雷达来准确地找到.虽然如此，因为引力常数的不确定（只有五、六个有效位），
太阳的质量并不能够很准确。如果计算行星位置时使用国际单位，其精确度在单位换算的过
程中难免会降低.所以这些计算通常以太阳质量和天文单位作单位，而不用公斤和公里.
一个天文单位的距离，相当于地球到太阳的平均距离，约1.496×10^8km.
作业：
1. 如图，用4个完全相同的长方形拼成了一个边长是40厘米的正方形，请问小长方形的长和宽
分别是多少厘米？
2. 把长为4厘米、宽为2厘米的3个长方形摆成两层，请问：摆成的图形的周长是多少厘米？3. 如图所示，在一个边长为4厘米的正方形纸片上剪去一个边长为1厘米的正方形，那么剩下
的图形周长是多少厘米？
1
4
4. 如图，其中任意相邻的两条边都互相垂直，请问：这个图形的周长是多少？
4
7
1
2
2
7
5. 一块边长为30厘米的正方形蛋糕，横着切2刀，竖着切2刀，分成了9个小长方形，这9块
小长方形蛋糕的周长总和为多少厘米？
