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第十六讲
角度计算
角是基本几何图形之一．一些特殊角的度数如下：
（1） 直角：90度
（2） 平角：180度
（3） 周角：360度在计算图形的角度时，我们经常用到以下知识：
（1） 对顶角相等：
如上图所示，这样由两条直线相交得到的两个角叫做对顶角，它们的度数是相等的．
（2） 三角形内角和为180度：
对于任意一个三角形有三个内角，都可以如上右图这样把这三个角放在一起．不难看出这三个角
的度数之和是180度．
例题1．如图所示，∠1等于40度，∠2等于50度，∠3等于60度，那么∠4等于多少度？
4
1
a
d
b
c 3
2
「分析」除了标出来的4个角之外，∠a，∠b，∠c，∠d能不能求出来？
练习：
1. 如图，∠1等于40度，∠2等于70度，那么∠3等于多少度？1
2
3
我们已经知道，三角形的内角和是180°.那么多边形的内角和呢？
我们都可以将多边形分成一些三角形：
例如，如上图，四边形、五边形、六边形分别可以分成2个、3个、4个三角形，这样它们的内角
和就相应为360°、540°、720°．
我们发现，任意多边形按这种方式分成的三角形的个数总是比边数少2，因此：
一般地，任意n边形，内角和为：
例题2．一个多边形的内角和是1800度，请问它是几边形？
「分析」这个多边形的内角和是1800度，那么它是多少个三角形拼起来的？
练习：
2. 图中是一个正八边形，试求它的内角和．
多边形里面的角叫做“内角”．那么很自然地，我们会联想到，有没有“外角”呢？有．
如下图，我们知道∠1是多边形的内角．那么像∠2这样在多边形外面，和∠1紧挨着，一起拼成一个平角的角，叫做外角．
每一个内角都有两个对应的外角，例如下图中的∠4和∠5都是∠3的外角．
2
4
1
3
5
一个多边形中的每个内角的一个外角加起来，叫做这个多边形的外角和．例如，下图中的六边形
的外角和，就是 ．
6 1
5
2
4
3
外角也可以看成是沿着多边形行进时，每次转过的角度．
例如，开篇故事中，墨莫每次转45度，这个45度，就是墨莫跑出的多边形的一个外角．
原来的方向
45°
现在的方向
那么外角和就是绕着多边形跑一圈一共转过的角度．容易想到，总共转过的角度一个周角，也就
是360°．
对任意多边形，外角和是360度．想一想，你知道墨莫跑出了一个几边形吗？
例题3．如图所示，∠1等于100度，∠2等于60度，∠3等于90度，那么∠4等于多少度？
2 3
1
4
「分析」这些角都是四边形的什么角？它们的和是多少？
练习：
3. 如图所示，∠1等于130度，∠2等于120度．请问：∠3等于多少度？
1
2
3
学过了以上的一些基本知识，下面我们就来看一个复杂图形的角度问题．
例题4．如图所示，在三角形ABC中， ， ， 度．那么∠A等于多少度？
A
5
1 3
2 4
B C「分析」 三角形内角和为180度，现在知道∠5的度数，能求出哪些角的度数和呢？
练习：
4. 如图所示．在四边形ABCD中， ， ，∠5和∠6均为直角，那么∠7等于多
少度？
6 1
2
7
3
5 4
对于几何来说，作图也是非常重要的一部分内容，最后我们来看一道作图题：
例题5．如图所示，纸上已经画有一个正方形．请你用一块如下图所示的三角板做工具，在纸上画
出一个75的角．
60
「分析」三角板的三个角分别为30°、60°和90°，分别和75°相差了多少呢？
例题6．如图所示，在正方形ABCD中有一个点E，使得三角形BCE是正三角形．试求∠EAB的
大小．A D
E
B C
课 堂 内 外
三角板
三角板是数学中的常用工具．一副三角板由两个直角三角板组成．
其中一个是等腰直角三角板，它的两个锐角的度数都是45°．它的两个直角边是等长的．容
易看出，两个这样的三角板可以拼出一个正方形，也可以拼出一个更大的等腰直角三角形．
另一个直角三角板的两个锐角的度数分别是30°和60°．把两个这样的三角板的长直角边拼在
一起，可以得到一个等边三角形．这个三角板的斜边长度刚好是短直角边的两倍长．
使用这样的一副三角板，可以画出所有的度数是15°的倍数的角．也就是说，15°、30°、
45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°和180°的角都可以画出来．
因此学习几何时，三角板是特别重要的工具．
.
作业：
1. 如下图，∠1等于40度，∠2等于80度．那么∠3等于多少度？2
1
3
2. 正12边形的内角和是多少度？
3. 如下图所示，∠1等于140度，∠2等于80度，∠3等于110度，请问：∠4等于多少度？
1
4
3
2
4. 如下图所示，在三角形ABC中， ， ， 度．那么∠5等于多少度？
A
5
1 3
2 4
B C
5. 如下图所示，纸上已经画了一个正方形，请你用图中所示的一块三角板做工具，在纸上画出
一个105°的角．
