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第七讲 数阵图初步
前续知识点：一年级第一讲；XX模块第X讲
后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲在一棵小松树上挂满小礼物，缀上彩带，点上彩灯或蜡烛，就成了圣诞树．在美丽的几
何图形中按照巧妙的规律点缀上一些数，就成了数阵图．
数阵图就是将一些数按照一定规律排列而成的图形，有时也简称数阵．例如下图就是一
个数阵图．图中每条边的和都等于14．这个相等的和通常也被称为“公共和”．
10
11 3 9
2 4
1
6 5
7 8
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情．数阵图种类繁多，奇妙无穷．它
是一座真正的数字迷宫，对于喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，连大数学家欧拉
对它都有着浓厚的兴趣．
让我们来欣赏这些美妙的数阵图吧．1 在图中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11 ．
例题
2
【分析】一5条边上三个数之和为11，那么只要知道其中两个数，就可以把第三个数填出来了，
观察一下，哪一行是可以直接填出来的？
1
练 习 1
在图中的四个圆圈内填入合适的自然数，使得正方形每条边上的三
1 5
个数之和都等于14．
2
3
在下图的八个圆圈中分别填入八个不同的自然数，使正方形每条边上的三个数之和相等．现在已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整．
2
例题
1 16
9
7 6
【分析】每条边上的三个数之和并不知道，也不能直接算出．但由于每条边上的和是相等的，
我们可以比较其中两个和，观察一下，根据上边三个数之和与右边三个数之和相等，你能判断出右下角应该填几吗？
练 习 2
在图中九个圆圈中分别填入九个不同的自然数，使得图中六条直线上的三个数之和相等．
现在已经填入五个数，请将其补充完整．
10 3
4 16
12
上面的数阵图都已经填入了一部分数，有时我们遇到的数阵图中完全没有任何数，这时
我们应当先想办法计算公共和．
把1 至8 例分题别填3入图中的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等．( 行的和与列的和可以不相等)
【分析】所有数的和是可以算出来的．你能根据这个总和算出行和、列和分别应该是多少吗？
配对的想法很重要哦！
练 习 3
将0至11这12个自然数填入下图的方格中，使得各列上两 个
数的和都相等，各行六个数的和也相等．(行的和与列的和可以 不
相等)
虽然上述例题没有直接告诉我们公共和，但是我们还是有办法“算”出这个和来．请同
学们记住，比较复杂的数阵图，不是“凑”出来的，而是“算”出来的．这一讲的最后，我们要学会一个新的概念：重（ ）数．
chóng
我们再来看看本篇开头的数阵图：
通过观察这个数阵图我们发现，中心圆是最特殊的，每一条直线都有它．如果我们把5
条直线和相加，这个圆就被加了5次，这时我们就说这个圆圈的“重数”是5．这里“重数”
的意思是指圆圈重复计算的次数．下面我们就来看看与重数有关的问题．
例题 4 把1 至7 这七个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都是10 ．
【分析】7个圆圈中的数之和即1~7之和为28，而把三条直线的三个和加在一起却是30，为
什么会多出来2呢？根据这个2，那个圆圈是可以计算出来的？
练 习 4
萱萱把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下图的七个方框里，每个数只填 一
次．使得三条直线上的三个数之和恰好分别是8、11、15．请给出一种填法．将1 至9 分别填入下图中例的题圆 5 圈内，使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于15 ．现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数．
5
6
9
【分析】你能找到图中的七个三角形吗？已知每个三角形的三个顶点上数之和都是15，根据这
个条件我们最先能填出哪个位置上的数呢？
例题 6 把1 至11 填入下面“六一”图形的十一个空格内，使得每一条直线上的所有数之和都相等．
【分析】哪个位置最特殊？你能算出这个特殊位置上的数时多少吗？课 堂 内 外作业
1. 在图中的四个圆圈内填入合适的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都等于14．
6
2 8
1 5
7 3
2
5 1
3
10
第1题 第2题
2. 把1至12分别填入六角星图案的十二个圆圈中，使得每条线段上的四个数之和相等．现在如图已经填
好了八个数，请把数阵图补全．
3. 将1～5填入图中的圆圈中，使得横、竖、大圆周上的几个数之和都相等．
第3题
第4题
4. 如图，把1至9填入九个方格内，使得这四条旋臂上三个数之和分别是8、13、16、17．那么心形边
界上四个数的乘积最小是_________．
5. 把1至8填入图中的圆圈内，使得每条直线上的数之和都相等．请填出一种．
