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第十三讲 平均数问题（一）
森林运动会的成绩风波
在美丽的大森林里，一年一度的动物运动会正如火如荼地进行着。这一次，小动物们参加
了激烈的跑步比赛，比赛分为初赛和决赛两个阶段。
在初赛中，小兔子、小猴子、小松鼠和小鹿都顺利晋级。小兔子在初赛的 3 场比赛中，
分别用时 12 秒、15 秒和 13 秒；小猴子的 3 场成绩是 14 秒、11 秒和 13 秒；小松鼠发
挥不太稳定，成绩为 17 秒、10 秒和 12 秒；小鹿初赛成绩十分亮眼，依次是 10 秒、11
秒和 9 秒。
大家都在紧张地等待成绩公布，这时，聪明的猫头鹰老师飞了过来，它想考考小动物们，
便说道：“孩子们，咱们不能只看单次成绩，要通过计算平均数来综合评估你们初赛的整体
表现。平均数就是把一组数据的总和除以这组数据的个数得到的结果。谁能算出自己初赛的
平均用时呀？”
小动物们纷纷开动脑筋。小兔子很快算出：“我把 3 次用时相加，12 + 15 + 13 = 40
（秒），再除以 3，40÷3≈13.33（秒），这就是我初赛的平均用时啦。”
小猴子也不甘示弱：“我来算我的。14 + 11 + 13 = 38（秒），38÷3≈12.67（秒），
我的平均用时比小兔子少一点呢。”
小松鼠皱着眉头，认真计算：“我是 17 + 10 + 12 = 39（秒），39÷3 = 13（秒）。哎
呀，我要是再跑快点就好了。”
最后，小鹿自信满满地说：“我 10 + 11 + 9 = 30（秒），30÷3 = 10（秒）。看来我
的平均用时最短。”
猫头鹰老师笑着点点头：“你们算得都很对！通过平均数能看出，小鹿在初赛中的整体速
度最快，它在每一场比赛中的表现都比较出色且稳定。平均数在很多时候能帮助我们更好地分析和比较数据呢。”
小动物们听了，都明白了平均数的重要性。它们期待着决赛，决心在接下来的比赛中全力
以赴，争取取得更好的成绩 。
在日常生活中，我们会遇到下面的问题：有几个杯子，里面的水有多有少，为了使杯中水
一样多，就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里的水一样多。
这就是我们所讲的“移多补少”，通常称之为平均数问题。
解答平均数应用题关键是要求出总数量和总份数，然后再根据“总数量÷总份数=平均
数”这个数量关系式来解答。
1：某校有若干名同学参加跳绳比赛，平均每分钟跳63下，其中男同学平均每分钟跳
60下，女同学平均每分钟跳70下。已知参加比赛的男同学比女同学多40人，则该校一共有
多少名同学参加跳绳比赛？
【思路分析】
根据参加比赛的男同学比女同学多40人，可以设女同学有x名，男同学有（x＋40）名。再
根据数量关系式：男生的人数×男生平均每分钟跳的下数＋女生的人数×女生平均每分钟跳的
下数＝总人数×平均每分钟跳的下数，列出方程解得出女生的人数，进而得出男生的人数，最
后根据男生的人数＋女生的人数＝这个学校的参加跳绳的总人数。
【标准答案】
解：设女同学有x名，男同学有（x＋40）名。
60（x＋40）＋70x＝63（x＋x＋40）
60x＋2400＋70x＝63（2x＋40）
60x＋2400＋70x＝126x＋2520130x＋2400＝126x＋2520
130x－126x＝2520－2400
4x＝120
x＝120÷4
x＝30
30＋40＝70（名）
70＋30＝100（名）
答：该校一共有100名同学参加跳绳比赛。
1.期中考试过后，李玲同学语文、数学的平均成绩为91分，语文、英语的平均成绩
为88分，数学、英语的成绩为93分，李玲三门功课各得多少分？
2. 小明参加了6 次数学测验，这6次测验有一个总平均分，后4次测验的平均分比
总平均分多3分，第一、第二、第六这3次的平均分比总平均分少3.6分．那么前5次的平均
分比总平均分(提高、降低)了多少分?
3．某班有50人，在一次数学考试后，按成绩排了名次，结果，前30名的平均分数
比后20名的平均分数多12分．一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前30名的平均分数
加上后20名的平均分数，再除以2，错误地认为这就是全班的平均分数．这样做，全班的平
均成绩是提高了，还是降低了?请算出提高或降低了多少分?2： 一个小组的10名同学包了一辆汽车到动物园，租车费大家平均分摊。临上车时又
来了2名同学和他们一起去，这样原租车费就由12人平均分摊，因此原来的10名同学每人
比计划少出了2元钱，问租车费是多少钱？
【思路分析】
120元
【标准答案】
每人比计划少出了2元钱，总共少出了20元，这20元由后来的2个同学来分摊，每人10元，
也就是后来每人分摊10元，一共12人，租车费120元。
详解： （元）
（元）
（元）
答：租车费是120元钱。
4．在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同
学为平均分为73.5分．又知乙队比甲队多6人，那么乙队有多少人?
5．某一幢居民楼里原有3户安装了空调，后来又增加了一户。这4台空调全部打开
时就会烧断保险丝，因此最多同时使用3台空调。这样在24小时内平均每户最多可使用空调
多少小时？6．8个数排成一列，它们的平均数是70。前5个数的平均数是64，后4个数的平均
数是80，第五个数是多少？
3：一辆大卡车上还有一只备用轮胎，一次长途行程中，司机适当地调换轮胎，使每只
轮胎行程相同。大卡车共行了120千米，那么每只轮胎平均要行多少千米？
【思路分析】
正常行驶需要4个轮胎，相当于每个轮胎走120千米，总共走了480千米，再把480千米平
均分给5个轮胎。
【标准答案】
120×4＝480（千米）
4＋1＝5（个）
480÷5＝96（千米）
答：每只轮胎平均要行96千米。
点睛：可以假设极端情况，4个轮胎始终在用，各行驶了120千米，另一个轮胎行驶的距离是
0千米，然后求其平均值。
7．期中考试，大卫4门科目的平均分是88分，由于老师批改的错误，其中有一门科
目被改为87分，这时4门科目的平均分是85分。这个被改的科目原来是多少分？
8．15个人去照相馆拍照合影，最初付48元有6张照片，之后每加印一张照片要另
付3元。要使每人有一张照片，平均每人应付多少钱？9．小新、小虎、小华和大明四人去称体重，小新、小虎二人的平均体重是36千克，
小虎、小华和大明三人的平均体重是34千克。四人的平均体重是35千克，小虎的体重是多
少？
4：有7个数的平均数为40，如果把其中一个数改为80，这时7个数的平均数是43。
这个被改的数原来是多少？
【思路分析】
被改之后，平均数变大了，说明这个数被改大了，平均数相差3，那么总数量相差21，说明
原数是80减去21。
【标准答案】
被改的数原来是：
答：这个被改的数原来是59。
点睛：本题考查的是平均数问题，由于只改动了其中的一个数，可以先求出另外的6个数的
和，再用总数减去这6个数的和，得到被改的数原来是多少。10.有甲、乙、丙、丁四个小组，甲、乙、丙三组平均人数是24人，乙、丙、丁三
组的平均人数是26人，丁组有28人，那么甲组有多少人？
11.甲、乙、丙三人买了8个面包，平分着吃。甲付了5个面包的钱，乙付了3个面
包的钱，丙没有付钱。等吃完一算，丙应该拿出3元2角。请问：甲、乙各应收回多少钱
（以角为单位）？
12.有甲、乙、丙三人，甲和乙平均年龄是42岁，甲和丙平均年龄是46岁，乙和丙
的平均年龄是47岁。求甲、乙、丙三人的年龄分别是多少岁？
平均数的由来早在三千年前，我国《周易》即已产生了平均数的思想。《周易》“谦”卦说：“谦，君
子以裒多益寡，称物平施。”王弼的注说：“多者用谦以为裒，少者用谦以为益；随物而与，
施不失平也。孔颍达的正义说：“称此物之多少，均平而施。物之先多者，而得其施；物之
先寡者，而亦得其施也。”宋代朱熹的注说：“裒多益寡，所以称物之宜而平其施，损高增
卑，以趣于平，亦谦之意也。”
概括《周易》谦卦以及王弼、孔颖达与朱熹等人的注解，可见“裒”指减少，“益”指增
益。“裒多益寡”就是指对研究对象的各个单位的数量减有余而补不足；“称物平施”就是
指衡量事物要均等。
上述思想，为统计平均数的概念与作用奠定了基础：平均数是指在一组数据中所有数据之
和再除以数据的个数。平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一
项指标。解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。在统计
工作中,平均数(均值)和标准差是描述数据资料集中趋势和离散程度的两个最重要的测度值。1：某校有若干名同学参加跳绳比赛，平均每分钟跳63下，其中男同学平均每分钟跳
60下，女同学平均每分钟跳70下。已知参加比赛的男同学比女同学多40人，则该校一共有
多少名同学参加跳绳比赛？
【思路分析】
根据参加比赛的男同学比女同学多40人，可以设女同学有x名，男同学有（x＋40）名。再
根据数量关系式：男生的人数×男生平均每分钟跳的下数＋女生的人数×女生平均每分钟跳的
下数＝总人数×平均每分钟跳的下数，列出方程解得出女生的人数，进而得出男生的人数，最
后根据男生的人数＋女生的人数＝这个学校的参加跳绳的总人数。
【标准答案】
解：设女同学有x名，男同学有（x＋40）名。
60（x＋40）＋70x＝63（x＋x＋40）
60x＋2400＋70x＝63（2x＋40）
60x＋2400＋70x＝126x＋2520
130x＋2400＝126x＋2520
130x－126x＝2520－2400
4x＝120
x＝120÷4
x＝30
30＋40＝70（名）
70＋30＝100（名）
答：该校一共有100名同学参加跳绳比赛。
1.期中考试过后，李玲同学语文、数学的平均成绩为91分，语文、英语的平均成绩
为88分，数学、英语的成绩为93分，李玲三门功课各得多少分？
答案：英语90分，语文86分，数学96分
详解：91×2=182（分）88×2=176（分）
93×2=186（分）
（182+176+186）÷2
=544÷2
=272（分）
英语：272-182=90（分）
语文：176-90=86（分）
数学：186-90=96（分）
答：李玲的英语是90分，语文86分，数学96分．
2. 小明参加了6 次数学测验，这6次测验有一个总平均分，后4次测验的平均分比
总平均分多3分，第一、第二、第六这3次的平均分比总平均分少3.6分．那么前5次的平均
分比总平均分(提高、降低)了多少分?
答案：降低了 0.24分
详解：我们将总平均分视为基准分，有第三、四、五、六次测试分数总和比4个基准分多3×4
＝12分；
第一、二、六3次测试分数总和比3个基准分少3.6×3＝10.8分．
则第一、二、三、四、五、六次测试再加上1个第六次测试的分数总和比7个基准分多12－
10.8＝1.2分，即1个第六次测试的分数比基准分多1.2分．
所以第一、二、三、四、五次测试的分数总和比5个基准分少1.2分，则平均分比总平均分少
1.2÷5＝0.24分．
即前5次的平均分比总平均分降低了0.24分．
3．某班有50人，在一次数学考试后，按成绩排了名次，结果，前30名的平均分数
比后20名的平均分数多12分．一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前30名的平均分数
加上后20名的平均分数，再除以2，错误地认为这就是全班的平均分数．这样做，全班的平
均成绩是提高了，还是降低了?请算出提高或降低了多少分?
答案：1.2分详解：我们把后20名的平均分视为基准分，那么前30名的总分比30个基准分多12×30＝360
分；则这位同学操作后，“总平均分”比基准分多(12+0)÷2＝6分，而实际上50个人的总分
为50个基准分再加上360分，则平均分为基准分加上360÷50＝7.2分．所以这样做，全班的
平均成绩是降低了，降低了7.2－6＝1.2分．
2： 一个小组的10名同学包了一辆汽车到动物园，租车费大家平均分摊。临上车时又
来了2名同学和他们一起去，这样原租车费就由12人平均分摊，因此原来的10名同学每人
比计划少出了2元钱，问租车费是多少钱？
【思路分析】
120元
【标准答案】
每人比计划少出了2元钱，总共少出了20元，这20元由后来的2个同学来分摊，每人10元，
也就是后来每人分摊10元，一共12人，租车费120元。
详解： （元）
（元）
（元）
答：租车费是120元钱。
4．在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同
学为平均分为73.5分．又知乙队比甲队多6人，那么乙队有多少人?
答案：9人
详解：如果乙队去掉6个人，两队的平均分为：(75+73)÷2＝74．
乙队多出的6个人，分数比平均分少(73.5－73)×6＝3分，说明甲队有3÷(74－73.5)÷2＝3人．
乙队有3+6＝9人．
5．某一幢居民楼里原有3户安装了空调，后来又增加了一户。这4台空调全部打开
时就会烧断保险丝，因此最多同时使用3台空调。这样在24小时内平均每户最多可使用空调
多少小时？答案：18小时
分析：每小时都有3台空调是打开的，即每小时3台空调共工作3小时，一天最多共工作72
小时，把72小时平均分给4台空调，得到平均每户最多可使用空调的时间。
详解：
（小时）
（小时）
答：平均每户最多可使用空调18小时。
点睛：可以假设极端情况，3台空调工作24小时，1台空调工作0小时，然后求4台空调的平
均值。
6．8个数排成一列，它们的平均数是70。前5个数的平均数是64，后4个数的平均
数是80，第五个数是多少？
答案：80
分析：前5个数的平均数是64，前5个数的和是320，后4个数的平均数是80，后4个数的
和是320，这8个数的和是560，前5个数的和加上后4个数的和，减去这8个数的和，即为
第五个数。
详解：8个数的和：
前5个数的和：
后4个数的和：
第五个数：
答：第五个数是80。
点睛：本题将平均数问题与重叠问题相结合，也可以求出前四个数的和是多少，然后用前5
个数的和减去前4个数的和，得到第五个数。
3：一辆大卡车上还有一只备用轮胎，一次长途行程中，司机适当地调换轮胎，使每只轮胎行程相同。大卡车共行了120千米，那么每只轮胎平均要行多少千米？
【思路分析】
正常行驶需要4个轮胎，相当于每个轮胎走120千米，总共走了480千米，再把480千米平
均分给5个轮胎。
【标准答案】
120×4＝480（千米）
4＋1＝5（个）
480÷5＝96（千米）
答：每只轮胎平均要行96千米。
点睛：可以假设极端情况，4个轮胎始终在用，各行驶了120千米，另一个轮胎行驶的距离是
0千米，然后求其平均值。
7．期中考试，大卫4门科目的平均分是88分，由于老师批改的错误，其中有一门科
目被改为87分，这时4门科目的平均分是85分。这个被改的科目原来是多少分？
答案：99分
分析：若4门科目的平均分是88分，总分是352分，若4门科目的平均分是85分，总分是
340分，少了12分，正是改错的这一门少算的分数。
详解：4×（88－85）
＝4× 3
＝12（分）
原来这个科目的分数：
87＋12＝99（分）
答：这个被改的科目原来是99分。
点睛：本题考查的是平均数的问题， 。
8．15个人去照相馆拍照合影，最初付48元有6张照片，之后每加印一张照片要另
付3元。要使每人有一张照片，平均每人应付多少钱？
答案：5元分析：48元有6张照片，现在还差9张照片，还需要27元，总共需要75元，总钱数除以总
人数，得到平均数。
详解：15－6＝9（张）
48＋9×3
＝48＋27
＝75（元）
75÷15＝5（元）
答：平均每人应付5元。
点睛：本题考查的是平均数问题，可以看成原来的6张，每张8元，和后面的9张，每张3元
进行平均，得到平均每张5元。
9．小新、小虎、小华和大明四人去称体重，小新、小虎二人的平均体重是36千克，
小虎、小华和大明三人的平均体重是34千克。四人的平均体重是35千克，小虎的体重是多
少？
答案：34千克
分析：小新、小虎二人一共72千克，小虎、小华和大明三人一共102千克，相加得到174千
克，这里把小虎算了2次，而四人一共140千克，174千克减去140千克，即为小虎的体重。
详解：36×2＝72（千克）
34×3＝102（千克）
35×4＝140（千克）
72＋102－140＝34（千克）
答：小虎的体重是34千克。
点睛：本题考查的是平均数问题，也可以先用4个人的体重减去小新、小虎二人的体重，得
到小华和大明的体重，再用小虎、小华和大明三人的体重减去小华和大明的体重，得到小虎
的体重。
4：有7个数的平均数为40，如果把其中一个数改为80，这时7个数的平均数是43。
这个被改的数原来是多少？【思路分析】
被改之后，平均数变大了，说明这个数被改大了，平均数相差3，那么总数量相差21，说明
原数是80减去21。
【标准答案】
被改的数原来是：
答：这个被改的数原来是59。
点睛：本题考查的是平均数问题，由于只改动了其中的一个数，可以先求出另外的6个数的
和，再用总数减去这6个数的和，得到被改的数原来是多少。
10.有甲、乙、丙、丁四个小组，甲、乙、丙三组平均人数是24人，乙、丙、丁三
组的平均人数是26人，丁组有28人，那么甲组有多少人？
答案：22人
分析：甲、乙、丙这三组的人数总和为72人，乙、丙、丁这两组的人数总和为78人，减去
丁组的28人，乙、丙共50人，72人减去50人，得到甲组的人数。
详解：
（人）
（人）
（人）
（人）
答：甲组有22人。
点睛：本题考查的是平均数问题， 。
11.甲、乙、丙三人买了8个面包，平分着吃。甲付了5个面包的钱，乙付了3个面
包的钱，丙没有付钱。等吃完一算，丙应该拿出3元2角。请问：甲、乙各应收回多少钱（以角为单位）？
答案：甲应该收回28角，乙应该收回4角
分析：三个人平分着吃，那么三个人所付的钱理应相等，丙应该拿出3元2角，那么8个面
包总共9元6角，一个面包1元2角，然后求出甲和乙多付的钱，即为应该拿回去的钱。
详解：3元2角＝32角
（角）
（角）
（角）
（角）
（角）
答：甲应该收回28角，乙应该收回4角。
点睛：3个人平分着吃8个面包，那么每人吃 个面包，对应3元2角，然后用总价除以数
量，可以求出面包的单价。
12.有甲、乙、丙三人，甲和乙平均年龄是42岁，甲和丙平均年龄是46岁，乙和丙
的平均年龄是47岁。求甲、乙、丙三人的年龄分别是多少岁？
答案：甲41岁，乙43岁，丙51岁
分析：甲和乙平均年龄是42岁，甲和乙总共84岁，甲和丙平均年龄是46岁，甲和丙总共92
岁，乙和丙的平均年龄是47岁，乙和丙总共94岁，84岁，加上92岁，再加上94岁，得到
270岁，正好是三人年龄和的2倍，然后求出三人的年龄和，再加上三人各自的年龄。
详解： （岁）
（岁）
（岁）
（岁）
（岁）
（岁）
（岁）答：甲41岁，乙43岁，丙51岁。
点睛：三个量两两相加得到的三个和再相加，结果是三个量的和的2倍。
