第十九讲面积计算-三年级下册奥数精讲精练（通用版）_26春人教版数学三下_19、赠送其它资料_新建文件夹_三年级数学下册（人教版）_奥数思维训练讲义-K104

第十九讲 面积计算 农夫的土地划分 在宁静的乡村，住着两位农夫，老汤姆和他的邻居杰克。他们的土地相邻，中间隔着一条 蜿蜒的小路。 有一天，老汤姆觉得自家土地形状不规则，不好打理，便和杰克商量，想把土地重新规整 划分。划分后的土地，老汤姆的变成了一个大梯形，而杰克的则是一个不规则的多边形。 老汤姆看着划分后的土地，犯起了愁，他不知道该怎么计算这块地的面积，也就无法确定 是否和之前的土地面积相当。这时，村里的小机灵鬼 —— 汤姆的孙子丹尼放学回来。 丹尼听了爷爷的烦恼，笑着说：“爷爷，别担心，我有办法！” 他拿起一根木棍，在地 上比划着讲解起来。对于爷爷的梯形土地，丹尼说：“梯形的面积可以用（上底 + 下底）× 高 ÷2 来计算。您看，咱们测量出梯形土地的上底是 10 米，下底是 16 米，高是 8 米， 那么面积就是（10 + 16）×8÷2 = 104 平方米。” 接着，丹尼又看向杰克伯伯的不规则多边形土地。他沿着一些辅助线，将这个多边形分割 成了几个三角形和一个长方形。然后分别测量出各个图形计算面积所需的数据，三角形根据 底和高算出面积，长方形根据长和宽算出面积，最后把这些图形的面积相加，就得出了杰克 伯伯土地的面积。 老汤姆和杰克按照丹尼的方法，顺利计算出了各自土地的面积。经过对比，发现这次划分 十分公平合理。老汤姆高兴地摸了摸丹尼的头说：“我的乖孙子，多亏了你，用学到的知识 帮了爷爷和杰克伯伯的大忙！”我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积= 边长×边长。利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。 在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效， 可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中 十分重要。 1：如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥（桥墩忽略不计）。已知湖 泊长30米，宽20米，桥面的宽度为2米。公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水 面投放2条金鱼。 求：（1）这座桥的面积是多少？ （2）管理员准备投放多少条金鱼？ 【思路分析】 如图，可以将景观桥通过平移转化为两个长方形，因此可以用两个长方形的面积之和减去重 叠部分正方形的面积，即可求出景观桥的面积。 湖上架桥，桥墩忽略不计，因此湖的面积就是长方形的面积，根据长方形面积公式即可求出 湖泊的面积。然后每平方米水面投放2条金鱼，乘2即可求出需要投放多少条金鱼。 【标准答案】小题1：30×2＋20×2－2×2 ＝60＋40－4 ＝100－4 ＝96（平方米） 小题2：30×20×2 ＝600×2 ＝1200（条） 答：这座桥的面积是96平方米，管理员准备投放1200条金鱼。 1.如图，用正方形 拼成一个长30厘米，宽22厘米的长方形，求正方形 e的面积. 2. 如图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋 和苦瓜，其中茄子地的面积是16平方米，黄瓜地的面积是28平方米，豆角地的面积是32平 方米，莴笋地的面积是72平方米，而且左上角茄子地恰好是一个正方形，请问：剩下的苦瓜 地的面积是多少？3．如图，大正方形被分成三块区域，左上角的正方形面积是4，右上角的长方形面 积是6，请问：大正方形的面积是多少？ 2： 公园有一块长方形草坪，草坪长30m，宽25m，在这块草坪中间留一条宽2m的小 路（如图），草坪的面积是多少平方米？【思路分析】 根据题意可知，把小路平移到两边，可以得到现在草坪的长是原来的长减去小路的宽，草坪 的宽是原来的宽减去小路的宽，据此用长方形的面积公式：长方形的面积=长×宽． 【标准答案】 （30-2）×（25-2） =28×23 =644（平方米） 答：草坪的面积是644平方米. 4．有三块长方形菜地，已知这三个长方形的长相同，第二块比第一块的宽多3米， 第三块比第一块的宽少4米，第二块面积是840平方米，第三块面积是630平方米，求第一 块地的面积是多少平方米？ 5．下图是用7个完全一样的小长方形拼成的一个大长方形。已知大长方形的周长是 102厘米，那么大长方形的面积是多少平方厘米？6．将一张正方形纸片，横着剪4刀，竖着剪6刀，裁成尽可能大的形状大小一样的 35张长方形纸片，再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片。如 果小正方形边长为2厘米，那么长方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由。 3：如图，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的周长是24cm，长方形四个角的 顶点，恰好把正方形的四条边都分成了两段，其中长段是短段的2倍，求阴影部分的面积． 【思路分析】 边长就是6，长段是短段的两倍，每条边分成三份，长段占2份就是4，短段就是2； 【标准答案】 4×4÷2×2+2×2÷2×2=16+4 =20（平方厘米） 答：阴影部分的面积是20平方厘米． 7．有四个完全一样的直角三角形．它们的两条直角边分别是7cm、5cm，把它们拼 成如图的形状，求大、小正方形的面积． 8．一块宽200m的土地，沿长边的中点挖了一个鱼塘后，剩下的面积比鱼塘的面积 多15000㎡（如图），靠鱼塘边的宽还剩50m，求鱼塘的面积．9．两块同样大小的白瓷砖和四块同样大的长方形黑瓷砖，分别如图1、图2那样摆 放，求一块白瓷砖的面积．（单位：cm） 4：一块长方形地，被两条直线分成四个小长方形（如图所示），其中三个的面积分别 是50m2、40m2、60m2．求阴影部分的面积． 【标准答案】 75㎡ 【思路分析】 解：设阴影部分面积为X㎡，则 50：40＝X：60 40X＝300 X＝75 答：阴影部分的面积是75㎡．10.用同样的长方形瓷砖，在一盆盆景的周围镶成大正方形的边框，边框的周长是 264cm，里面小正方形的面积是900cm2，求每块瓷砖的面积． 11.如图所示，一块长方形草地，长16m，宽10m，中间有两条小路．一条是长方形， 宽为2m，另一条是平行四边形：短边为2m．求草地（阴影部分） 的面积．圆的历史 古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的 呢？ 18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻。石器的尖 是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆 的孔。 到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。 6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了。 古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物时，就把几段圆木垫在重物 的下面滚着走，这样就比扛着走省劲得多。 大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子――圆的木轮。约在4000 年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子。 会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的： 一中同长也。意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧 几里得给团下定义要早100年。1：如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥（桥墩忽略不计）。已知湖 泊长30米，宽20米，桥面的宽度为2米。公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水 面投放2条金鱼。 求：（1）这座桥的面积是多少？ （2）管理员准备投放多少条金鱼？ 【思路分析】 如图，可以将景观桥通过平移转化为两个长方形，因此可以用两个长方形的面积之和减去重 叠部分正方形的面积，即可求出景观桥的面积。 湖上架桥，桥墩忽略不计，因此湖的面积就是长方形的面积，根据长方形面积公式即可求出 湖泊的面积。然后每平方米水面投放2条金鱼，乘2即可求出需要投放多少条金鱼。 【标准答案】 小题1：30×2＋20×2－2×2 ＝60＋40－4 ＝100－4 ＝96（平方米） 小题2：30×20×2 ＝600×2 ＝1200（条）答：这座桥的面积是96平方米，管理员准备投放1200条金鱼。 1.如图，用正方形 拼成一个长30厘米，宽22厘米的长方形，求正方形 e的面积. 答案：36 详解：观察图可发现，设正方形 的边长为 ， ， 则正方形的e的面积为 (平方厘米). 2. 如图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋 和苦瓜，其中茄子地的面积是16平方米，黄瓜地的面积是28平方米，豆角地的面积是32平 方米，莴笋地的面积是72平方米，而且左上角茄子地恰好是一个正方形，请问：剩下的苦瓜 地的面积是多少？答案：8平方米 分析：左上角是面积是16平方米的正方形，可以计算出边长，正方形边长等于黄瓜地的宽， 进而可以求出黄瓜地的长；同理可以求出豆角地的长；豆角地的长等于莴笋地的宽，根据长 方形面积公式可以求出莴笋地的长。苦瓜地的长等于黄瓜地的宽，苦瓜地的宽等于莴笋地的 长减去黄瓜地的长，根据面积公式可以得出苦瓜地的面积。 详解：左上角正方形的面积是16平方米，16＝4×4，所以正方形的边长是4米。 黄瓜地的面积是28平方米，宽是4 米，长就是：28÷4＝7（米） 豆角地的面积是32 平方米，宽是4米，所以长是32÷4＝8（米） 莴笋地的宽是8米，面积是72平方米，所以长是72÷8＝9（米） 苦瓜地的宽是：9－7＝2（米） 所以苦瓜地的面积是2×4＝8（平方米） 点睛：此题还可以根据倍数关系求解。豆角地是茄子地面积的2倍， 所以莴笋地是黄瓜地和 苦瓜地面积和的2倍，黄瓜地和苦瓜地的面积是72÷2＝36平方米，所以苦瓜地的面积是36－ 28＝8平方米。 3．如图，大正方形被分成三块区域，左上角的正方形面积是4，右上角的长方形面 积是6，请问：大正方形的面积是多少？ 答案：25 分析：根据左上角正方形面积是4可以求出小正方形的边长；小正方形边长等于右上角长方 形的宽，长方形面积是6，可以用面积÷宽求出小长方形的长；大正方形的边长等于小正方形 的边长＋小长方形的长，再代入正方形面积公式即可得出大正方形的面积。 详解：4＝2×2，所以小正方形的边长是2； 小长方形的长：6÷2＝3大正方形的边长：2＋3＝5 大正方形面积：5×5＝25 答：大正方形的面积是25。 点睛：灵活运用正方形、长方形的面积公式是解答本题的关键。 2： 公园有一块长方形草坪，草坪长30m，宽25m，在这块草坪中间留一条宽2m的小 路（如图），草坪的面积是多少平方米？ 【思路分析】 根据题意可知，把小路平移到两边，可以得到现在草坪的长是原来的长减去小路的宽，草坪 的宽是原来的宽减去小路的宽，据此用长方形的面积公式：长方形的面积=长×宽． 【标准答案】 （30-2）×（25-2） =28×23 =644（平方米） 答：草坪的面积是644平方米. 4．有三块长方形菜地，已知这三个长方形的长相同，第二块比第一块的宽多3米， 第三块比第一块的宽少4米，第二块面积是840平方米，第三块面积是630平方米，求第一 块地的面积是多少平方米？ 答案：第一块地的面积是750平方米 分析：根据第二块比第一块的宽多3米，第三块比第一块的宽少4米，可知第二块比第三块 宽7米，再根据第二块比第三块多出的面积数，求出每一块的长，再求出第三块的宽，进而求出第一块的宽，问题得解。 详解：第二块比第三块多出的面积数：840﹣630＝210（平方米） 第二块比第三块宽的米数：3＋4＝7（米） 每一块菜地的长：210÷7＝30（米） 第二块菜地的宽：840÷30＝28（米） 第一块菜地的宽：28﹣3＝25（米） 第一块菜地的面积：25×30＝750（平方米） 答：第一块地的面积是750平方米。 点睛：解决此题关键是先求出第一块的宽和长的数据，再求面积。 5．下图是用7个完全一样的小长方形拼成的一个大长方形。已知大长方形的周长是 102厘米，那么大长方形的面积是多少平方厘米？ 答案：630平方厘米 分析：根据图形可以看出2个小长方形的长＝5个小长方形的宽，则小长方形的长和宽的比是 5∶2，小长方形的长是5份，宽是这样的2份，大长方形长是由2个小长方形的长组成也就是 10份，宽是由小长方形的长和宽组成也就是7份，整个周长就是34份为102厘米，每一份是 3厘米。用乘法分别得出长方形的长和宽，利用长方形的面积＝长×宽。代入数据解答即可。 详解：长方形的长和宽的比是5∶2 5×2＋5＋2＝17 102÷（17×2） ＝102÷34 ＝3（厘米） 大长方形的长：3×（5×2）＝30（厘米） 大长方形的宽：3×（5＋2） ＝3×7＝21（厘米） 30×21＝630（平方厘米） 答：大长方形的面积是630平方厘米。 6．将一张正方形纸片，横着剪4刀，竖着剪6刀，裁成尽可能大的形状大小一样的 35张长方形纸片，再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片。如 果小正方形边长为2厘米，那么长方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由。 答案：140 3：如图，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的周长是24cm，长方形四个角的 顶点，恰好把正方形的四条边都分成了两段，其中长段是短段的2倍，求阴影部分的面积． 【思路分析】 边长就是6，长段是短段的两倍，每条边分成三份，长段占2份就是4，短段就是2； 【标准答案】 4×4÷2×2+2×2÷2×2 =16+4 =20（平方厘米） 答：阴影部分的面积是20平方厘米． 7．有四个完全一样的直角三角形．它们的两条直角边分别是7cm、5cm，把它们拼 成如图的形状，求大、小正方形的面积．答案：大：74平方厘米 小：4平方厘米 详解：大正方形的边长就是斜边；面积为斜边的平方． 由勾股定理可知，斜边的平方=7²+5²=49+25=74（平方厘米） 小的边长：7-5=2（厘米） 面积：2×2=4（平方厘米） 8．一块宽200m的土地，沿长边的中点挖了一个鱼塘后，剩下的面积比鱼塘的面积 多15000㎡（如图），靠鱼塘边的宽还剩50m，求鱼塘的面积． 答案：22500平方米 详解：解：设鱼塘长x米 （200-50）x2+15000=2x200 解得，x=150 鱼塘面积：150（200-50）=22500（平方米） 答：鱼塘的面积是22500平方米． 9．两块同样大小的白瓷砖和四块同样大的长方形黑瓷砖，分别如图1、图2那样摆 放，求一块白瓷砖的面积．（单位：cm）答案：2025cm2 详解：解：正方形边长为X,小方块长宽a,b．则： x+a-b=55 x-a+b 35 两式相加：2x=90 所以x=45 s=xx=2025（cm2） 4：一块长方形地，被两条直线分成四个小长方形（如图所示），其中三个的面积分别 是50m2、40m2、60m2．求阴影部分的面积． 【标准答案】 75㎡ 【思路分析】 解：设阴影部分面积为X㎡，则 50：40＝X：60 40X＝300 X＝75 答：阴影部分的面积是75㎡．10.用同样的长方形瓷砖，在一盆盆景的周围镶成大正方形的边框，边框的周长是 264cm，里面小正方形的面积是900cm2，求每块瓷砖的面积． 答案：432cm2 11.如图所示，一块长方形草地，长16m，宽10m，中间有两条小路．一条是长方形， 宽为2m，另一条是平行四边形：短边为2m．求草地（阴影部分） 的面积． 答案：112平方米 详解：16-2=14（米） 10-2=8（米） 14×8=112（平方米） 答：草地面积是112平方米．