文档内容
第十二讲 用假设法解题
智破宝石盗窃案
在繁华的珍宝城中，有一座举世闻名的珍宝阁，收藏着无数奇珍异宝。然而，平静的一天
被一起惊天盗窃案打破 —— 一颗价值连城的蓝宝石不翼而飞。这颗蓝宝石是珍宝阁的镇馆
之宝，其失窃的消息瞬间轰动全城。
年轻的侦探艾文听闻此案后，主动请缨调查。他来到珍宝阁，仔细勘查现场。阁内门窗紧
闭，没有任何被撬的痕迹，存放蓝宝石的展柜也完好无损，只是玻璃上有一处不易察觉的细
微划痕。现场没有留下明显的指纹或其他线索，这让案件陷入僵局。
艾文站在空荡荡的展柜前，眉头紧锁，开始运用假设法推理。他心想：“假设盗贼是从空
中进入，可天花板没有任何破绽；假设从地下挖洞进来，地面却完好如初。既然展柜玻璃有
划痕，不妨假设盗贼是通过特殊工具划开玻璃，偷走宝石。”
根据这个假设，艾文推断盗贼必定对珍宝阁的安保了如指掌，且具备高超的盗窃技术和专
业工具，很可能是个惯犯。于是，他开始调查城中有盗窃前科的人员。
经过一番排查，艾文锁定了一个名叫洛基的惯偷。洛基曾因盗窃珠宝入狱，出狱后一直游
手好闲。但当艾文询问洛基案发当晚的行踪时，他却神色慌张，支支吾吾地说自己在家睡觉，
没有任何证人。这更加深了艾文对他的怀疑。
艾文再次假设，如果洛基是盗贼，他偷走宝石后会如何处理呢？蓝宝石太过珍贵，难以轻
易出手，他极有可能先找个安全的地方藏起来。于是，艾文申请搜查洛基的住所。在洛基家
中，艾文仔细搜寻每一个角落，终于在一块松动的地板下发现了一个精致的盒子，打开一看，
正是那颗失窃的蓝宝石。
面对确凿证据，洛基不得不承认自己的罪行。原来，他早就盯上了珍宝阁的蓝宝石，花费
数月时间研究安保系统，精心准备了特制的划玻璃工具，趁夜成功偷走宝石。最终，洛基被依法惩处，蓝宝石物归原主，艾文凭借出色的推理能力声名大噪，成为城中人人称赞的大侦
探 。
假设是数学中思考问题的一常见的方法，有些应用题乍看很难求出答案，但是如果我们合
理地进行假设，往往会使问题得到解决。所谓假设法就是依照已知条件进行推算，根据数量
上出现的矛盾，作适当的调整，从而找到正确答案。我国古代趣题“鸡兔同笼”就是运用假
设法解决问题的一个范例。
解答“鸡兔同笼”问题的基本关系式是：
兔数=（总脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数－每只鸡脚数）
用假设法解答类似“鸡兔同笼”的问题时，可以根据题意假设几个量相同，然后进行推算，
所得结果与题中对应的数量不符合时，要能够正确地运用别的量加以调整，从而找到正确的
答案。
1：有鸡、鸭、兔一共34只，总共有76条腿，其中鸭的数量是鸡的2倍多3只，请问
三种动物各有多少只？
【思路分析】
鸡、鸭、兔三种动物中，鸡和鸭都只有2条腿，兔有4条腿，可以通过假设法将2条腿的动
物先求出来，再进一步计算。
【标准答案】
假设这34只动物全是兔子，则腿共有：34×4＝136（条）
136－76＝60（条）
那么鸡鸭共有60÷（4－2）
＝60÷2
＝30（只）鸡：（30－3）÷（1＋2）
＝27÷3
＝9（只）
鸭：9×2＋3
＝18＋3
＝21（只）
兔子：34－9－21＝4（只）
答：兔有4只，鸡有9只，鸭有21只。
点睛：已知两个对象间的倍数关系时，可以按照倍数关系分组然后平均。
1.小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780
下．已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
2. 现有大小油桶40个，每个大桶可装油5千克，每个小桶可装油3千克，大桶比小
桶共多装油24千克，那么，大油桶多少个？小油桶多少个？
3．有一堆2元和5元的人民币，共39张，其中5元的人民币比2元的人民币多90
元，求2元和5元的人民币各有多少张？2： 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆．已知每辆大卡车比每
辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
【思路分析】
要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨．
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，
所以要剩下4×36=144（吨）．根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车．
这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）．由此可求出这批钢材有多少吨．
【标准答案】
4×36÷（45-36）×45＝720（吨）
答：这批钢材有720吨．
4．有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣
1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道
题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
5．甲、乙两人参加数学竞赛，每做对一题得20分，每做错一题倒扣12分，两人各
做了10题，共得208分，其中甲比乙多64分，问甲、乙两人各做对了几题？
6．在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共 道．选择题和填空题每题
分，解答题每题 分．这次考试总分是 分，其中选择题和解答题的分值比填空题多 分，
这次考试有多少道选择题？多少道填空题？多少道解答题？3：动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚 只，鸵鸟比梅花鹿多 只，梅花鹿和
鸵鸟各有多少只？
【思路分析】
假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的 只的脚数得：
（只）；这 只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数（注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同）脚数
的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是： （只），所以梅花鹿的只数是：
（只），从而鸵鸟的只数是： （只）
【标准答案】
梅花鹿：（208－20×2）÷（2＋4）
＝（208－40）÷（2＋4）
＝168÷6
＝28（只）
鸵鸟：28＋20＝48（只）
答：梅花鹿有28只，鸵鸟有48只。
点睛：本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个怎么分组时由倍数关系得到的。
7．甲、乙两人进行射击比赛，约定是每中一发记8分，脱靶一发扣3分，两人各打
10发子弹，共得116分，其中甲比乙多22分，问甲、乙各中多少发？
8．某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,
做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人？
9．某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共
住了168人，那么其中有多少间大宿舍？
4：鸡兔同笼，鸡、兔共有 只，兔的脚数比鸡的脚数多 只，问鸡、兔各多少只？
【思路分析】
这道题是已知头数之和和脚数之差，我们不妨假设 只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：
（只），而鸡的脚数为零；这样兔脚比鸡脚多 只，而实际上只多 只，这说明
假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多： （只）。现在以鸡换兔，每换一只，兔脚
减少 只，鸡脚增加 只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少 （只）。由此计算出鸡和兔
的只数。
【标准答案】
鸡的只数：（107×4－56）÷（4＋2）
＝（428－56）÷（4＋2）
＝372÷6
＝62（只）
兔的只数： （只）
答：鸡有62只，兔有45只。
10.某农民饲养了鸡和兔若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔脚多16只，问鸡
和兔各多少只？11.小建和小雷做仰卧起坐，小建先做了 分钟，然后两人各做了 分钟，一共做仰卧
起坐 次．已知每分钟小建比小雷平均多做 次，那么小建比小雷多做了多少次？
12.小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，
5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．小同共存了多少钱？
数学家的故事：秦九韶
秦九韶，南宋数学家，1247年完成著作《数书九章》，其中“中国剩余定理”、三斜求
积术和秦九韶算法(高次方程正根的数值求法)是有世界意义的重要贡献。
在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，
他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，
他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数;再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数;
最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数;这样，他很快就算出了自己部队士
兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵?因为《孙子算经》早就对这
类问题有过研究，但只是初具雏形，还远远谈不上完整。 因此，后人把这一命题及其解法称
为“孙子定理”主要是推崇《孙子算经》在这一类问题处理上的时间领先，其实想法的成熟，
还有待提高。为了解决 “孙子问题”中的不足，秦九韶推广了“孙子问题”的解法，从而提
出了“中国剩余定理”。秦九韶经过长期的积累和苦心钻研，于公元1247年写成《数书九
章》。这部中世纪的数学杰作，在许多方面都有所创造，其中求解一次同余组的“大衍求一
术”和求高次方程数值解的“正负开方术”，更是具有世界意义的成就。正是因为这样，在
西方数学史著作中，一直公正地称求解一次同余组的剩余定理为“中国剩余定理”。1：有鸡、鸭、兔一共34只，总共有76条腿，其中鸭的数量是鸡的2倍多3只，请问
三种动物各有多少只？
【思路分析】
鸡、鸭、兔三种动物中，鸡和鸭都只有2条腿，兔有4条腿，可以通过假设法将2条腿的动
物先求出来，再进一步计算。
【标准答案】
假设这34只动物全是兔子，则腿共有：34×4＝136（条）
136－76＝60（条）
那么鸡鸭共有60÷（4－2）
＝60÷2
＝30（只）
鸡：（30－3）÷（1＋2）
＝27÷3
＝9（只）
鸭：9×2＋3
＝18＋3
＝21（只）
兔子：34－9－21＝4（只）
答：兔有4只，鸡有9只，鸭有21只。
点睛：已知两个对象间的倍数关系时，可以按照倍数关系分组然后平均。
1.小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780
下．已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
答案：240下
详解：解：假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了:
12×（2＋3）＝60（下）．可求出小乐每分钟跳:（780—60）÷（2＋3＋3）＝90（下），
小乐一共跳了90×3=270（下）
因此小喜比小乐共多跳:780—270×2＝240（下）．
2. 现有大小油桶40个，每个大桶可装油5千克，每个小桶可装油3千克，大桶比小
桶共多装油24千克，那么，大油桶多少个？小油桶多少个？
答案：大油桶：18个 小油桶：22个
详解：设大油桶有x个，小油桶有y个，两种桶的总数为40，于是可得方程x+y=40；又由
“每个大桶可装油5千克，每个小桶可装油3千克，大桶比小桶共多装油24千克”得到方程，
5x﹣3y=24；将这两个方程组成一个方程组，即可求其解．
3．有一堆2元和5元的人民币，共39张，其中5元的人民币比2元的人民币多90
元，求2元和5元的人民币各有多少张？
答案：2元：15张 5元：24张
分析：根据题干，设5元的有x张，则2元的就是39﹣x张，再根据等量关系：5元的张数×5
﹣2元的张数×2=90元，据此列出方程解决问题．
详解：解：设5元的有x张，则2元的就是39﹣x张，根据题意可得方程：
5x﹣2（39﹣x）=90
5x﹣78+2x=90
7x=168
x=24
39﹣24=15（张）
答：2元的有15张，5元的有24张．
2： 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆．已知每辆大卡车比每
辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
【思路分析】
要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨．利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，
所以要剩下4×36=144（吨）．根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车．
这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）．由此可求出这批钢材有多少吨．
【标准答案】
4×36÷（45-36）×45＝720（吨）
答：这批钢材有720吨．
4．有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣
1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道
题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
答案：第一次90分，第二次80分
分析：需要转化的鸡兔同笼问题，找相同点转化
详解：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）．那么第二次只做对30-24=6
（题）得分是8×6-2×（15-6）=30（分）．两次相差120-30=90（分）．比题目中条件相差10
分，多了80分．说明假设的第一次答对题数多了，要减少．第一次答对减少一题，少得
5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分．
两者两差数就可减少6+10=16（分）．（90-10）÷（6+10）=5（题）．因此，第一次答对题数
要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）．第一次
得分5×19-1×（24-19）=90．第二次得分8×11-2×（15-11）=80．
5．甲、乙两人参加数学竞赛，每做对一题得20分，每做错一题倒扣12分，两人各
做了10题，共得208分，其中甲比乙多64分，问甲、乙两人各做对了几题？
答案：甲做对8道;乙做对6道.
6．在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共 道．选择题和填空题每题
分，解答题每题 分．这次考试总分是 分，其中选择题和解答题的分值比填空题多 分，
这次考试有多少道选择题？多少道填空题？多少道解答题？
答案：8道选择题，12道填空题，2道解答题详解：选择题和填空题的分值一样，可以归为一类．如果这次考试的 道题全是解答题，则
总分应是： (分)，但实际总分是 分，所以选择题和填空题共有：
(道)，解答题有： (道)．选择题比填空题少： (分)，
选择题有： (道)，填空题有： (道)．
3：动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚 只，鸵鸟比梅花鹿多 只，梅花鹿和
鸵鸟各有多少只？
【思路分析】
假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的 只的脚数得：
（只）；这 只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数（注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同）脚数
的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是： （只），所以梅花鹿的只数是：
（只），从而鸵鸟的只数是： （只）
【标准答案】
梅花鹿：（208－20×2）÷（2＋4）
＝（208－40）÷（2＋4）
＝168÷6
＝28（只）
鸵鸟：28＋20＝48（只）
答：梅花鹿有28只，鸵鸟有48只。
点睛：本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个怎么分组时由倍数关系得到的。
7．甲、乙两人进行射击比赛，约定是每中一发记8分，脱靶一发扣3分，两人各打
10发子弹，共得116分，其中甲比乙多22分，问甲、乙各中多少发？
答案：甲中9发 乙中7发
详解：本题是对猜想与尝试解决问题和鸡兔同笼（相同）知识点的综合运用．可以用假设法
解答．甲得分=（116+22）÷2=69（分），乙得分=69-22=47（分）．假设甲中了10发，则没中的是=（10×8-69）÷（8+3）=1（发），则甲中了10-1=9（发）；同理，假设乙中了10发，
则没中的是=（10×8-47）÷（8+3）=3（发），则乙中了10-3=7（发）．
8．某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,
做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多
少人？
答案：31人
详解：对2道,3道,4道题的人共有 52-7-6=39(人).
他们共做对181-1×7-5×6=144(道).
由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这样
兔脚数=4,鸡脚数="2.5," 总脚数=144,总头数=39.
对4道题的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).
9．某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共
住了168人，那么其中有多少间大宿舍？
答案：24间
详解：如果30间都是小宿舍，那么只能住 （人），而实际上住了168人．大宿舍
比小宿舍每间多住 （人），所以大宿舍有 （间）．
4：鸡兔同笼，鸡、兔共有 只，兔的脚数比鸡的脚数多 只，问鸡、兔各多少只？
答案：鸡62只，兔45只
【思路分析】
这道题是已知头数之和和脚数之差，我们不妨假设 只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：
（只），而鸡的脚数为零；这样兔脚比鸡脚多 只，而实际上只多 只，这说明
假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多： （只）。现在以鸡换兔，每换一只，兔脚
减少 只，鸡脚增加 只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少 （只）。由此计算出鸡和兔
的只数。
【标准答案】鸡的只数：（107×4－56）÷（4＋2）
＝（428－56）÷（4＋2）
＝372÷6
＝62（只）
兔的只数： （只）
答：鸡有62只，兔有45只。
10.某农民饲养了鸡和兔若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔脚多16只，问鸡
和兔各多少只？
答案：鸡有18只，兔子有5只
详解：假设鸡兔的脚数相同，则鸡的脚数应比兔的脚数多2×13=26只，这比实际多了26-
16=10（只），因为我们把鸡当成了兔子，每只多算了4-2=2只脚，所以可以算出兔子的只数，
列式为：10÷2=5（只），那么鸡就有：13+5=18（只）；据此解答．
解：假设鸡兔的脚数相同．
兔子：（2×13-16）÷（4-2）
=10÷2
=5（只）
鸡：13+5=18（只）
答：鸡有18只，兔子有5只．
点评：解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔．如果先假设
都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔．
11.小建和小雷做仰卧起坐，小建先做了 分钟，然后两人各做了 分钟，一共做仰卧
起坐 次．已知每分钟小建比小雷平均多做 次，那么小建比小雷多做了多少次？
答案：56次
详解：假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，这样两人做仰卧起坐的总次数就减
少了 (次)，由此可知小雷每分钟做了 (次)，进而可以分别求
出小建每分钟做的次数以及两人分别做仰卧起坐的总次数之差．假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，
两人做仰卧起坐的总次数就减少： (次)
小雷每分钟做： (次)；小建每分钟做： (次)
小建一共做： (次)；小雷一共做： (次)
小建比小雷多做： (次)
12.小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，
5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．小同共存了多少钱？
答案：276分
详解：假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一
个2分币多3分，所以5分币有 （个），2分币有 （个），
（分）．
