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第八讲 差倍问题（二）
动物王国的宝藏之谜
在神秘的动物王国里，住着聪明的猴子皮皮和憨厚的小熊笨笨。一次，它们在王国的后山
探险时，发现了两个神秘的山洞，山洞里藏着闪闪发光的宝石。
皮皮动作敏捷，率先冲进了左边的山洞，笨笨则慢悠悠地走进了右边的山洞。不一会儿，
两只小动物带着宝石走出山洞。皮皮兴奋地数着自己的宝石，得意地对笨笨说：“笨笨，我
发现我山洞里的宝石比你多24颗呢，而且我宝石的数量正好是你的4倍!”笨笨挠了挠脑袋，
一脸困惑：“这可怎么算呀，到底咱俩各有多少宝石呢?”这时，聪明的小狐狸灵灵路过，听
到它们的对话后笑着说：“这很好算呀，笨笨。我们把你宝石的数量看成1份，皮皮的宝石
数量是你的4倍，那就有4份。皮皮比你多的24颗宝石，对应的就是4-1=3份。所以用
24÷3=8颗，这就是1份的数量，也就是你拥有的宝石数啦。而皮皮的宝石数就是
8×4=32颗。"笨笨听后，恍然大悟：“原来是这样啊，太谢谢你了，灵灵!”
解决了宝石数量的问题后，它们继续在森林里玩耍。走着走着，来到了一片果园，树上结
满了美味的果子。它们决定比赛摘果子，看谁摘得多。
经过一番激烈的角逐，比赛结束。皮皮清点自己的果子，开心地说：“我摘的果子比你多
18个，而且我摘的果子数是你的3倍哦!”笨笨皱起眉头，又开始发愁怎么算出各自摘的果子
数。这时，小鸟飞飞从枝头飞过，听到它们的对话，热心地说：“笨笨，别着急。和之前算
宝石一样，把你摘的果子数看成1份，皮皮是3份，多出来的18个果子就是3-1=2份。所以
1份就是18÷2=9个，这就是你摘的果子数，皮皮摘的果子数就是
9×3=27个。"
笨笨高兴地跳起来：“我明白了，原来这类问题都可以这样解决!”在动物王国里，充满
了各种有趣的数学问题，而小动物们也在一次次的探索中变得越来越聪明。有些差倍问题比较复杂，不能直接利用公式进行解答，这时需要我们小朋友仔细审题，尤
其注意一些隐含条件，同时借助线段图帮助理解题意，从而找到解题方法。
较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。先依题意画出线段图，数量关系就会比较清晰
地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍数，再利用公式进行解答。
1：小明和小刚各有玻璃弹球若干个。小明对小刚说：“我若给你两个，我们的玻璃弹
球一样多。”小刚说：“我若给你两个，你的弹球数量将是我的3倍。”小明和小刚共有玻
璃弹球多少个？
【思路分析】
由小明说的话画线段示意图如下。可知：小明的玻璃球比小刚多4个，如果小刚给小明2个，
那么小明比小刚多8个。8个是小刚还剩下玻璃球数量的（3－1）倍，即2倍，此时小刚有玻
璃球：8÷2＝4（个），小明有玻璃球：4＋8＝12（个），两人共有玻璃球：4＋12＝16（个）。
【标准答案】
画线段示意图如下：
（2×2＋2×2）÷（3－1）
＝（4＋4）÷2
＝8÷2
＝4（个）
4＋4＋8＝16（个）
答：小明和小刚共有玻璃弹球16个。1.小青和小红每人都有一些水彩笔，如果小青给小红1支，两人就一样多，如果小
红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍，那么小青和小红各有多少支水彩笔？
2. 有两盘苹果，如果从第一盘中拿 个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同；
如果从第二个盘中拿 个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的 倍。第一盘有苹果
多少个？
3．实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成，从两
个校区各调走200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍，那么实
验小学一校区和实验小学二校区原来各有多少人？
2： 大桶里有油60千克，小桶里有油30千克。将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下
的油中，大桶是小桶的4倍。问两个桶各剩油多少千克？
【思路分析】
卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题。小桶所剩
的油为１倍数，大桶剩油是小桶剩油的4倍，所以大桶剩油比小桶剩油多： （倍）。
而大桶比小桶多的油总保持不变，是： （千克）。再利用差倍问题的公式就可解决。小桶剩下的油是： （千克），大桶剩下的油是： （千克）。
【标准答案】
用下图表示它们的关系：
（60－30）÷（4－1）
＝30÷3
＝10（千克）
10×4＝40（千克）
答：小桶剩油10千克；大桶剩油40千克。
点睛：解答此题的关键是，要明确：卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，
因此这是一个差倍问题。
4．甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走 千克油，乙桶加入 千克油后，乙桶油的重
量是甲桶油的重量的 倍。甲桶原来有油多少千克？
5．有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒 千克水到大桶，则大桶中水是小桶
的 倍，求原来大桶有水多少千克？
6．两根绳，第一根长 米，第二根长 米，剪去同样长后，第一根是第二根的 倍，求每根绳减去几米？
3：有两条纸带，一条长 厘米，一条长 厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸
带剩下的长度是短纸带剩下的 倍，问剪下的一段有多长？
【思路分析】
长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长： （厘米），短纸带剩下： （厘
米），剪下： （厘米）。
【标准答案】
（21－13）÷（3－1）
＝8÷2
＝4（厘米）
13－4＝9（厘米）
答：剪下的一段有9厘米长。
点睛：解答本题的关键是，要明确：两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度与短
纸带剩下的长度的差是不变的，等于长纸带与短纸带的差，找出这个“差”所对应的倍数。
7．学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多 箱，白粉笔的箱数比彩色笔的 倍少 箱，
学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
8．小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的
书比小云的书多2倍。问：原来两人各有多少本书？9．某校五年级比六年级人数少 人，若六年级学生再转来 人，则六年级学生是
五年级学生的 倍，问五、六年级各有多少人？
4：两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的 倍，甲书架比乙书架存书多 本，
则乙书架存书多少本？
【思路分析】
多的 本相当于乙书架的 倍，则乙书架的书为： （本）。
【标准答案】
120÷（5－1）
＝120÷4
＝30（本）
答：乙书架有30本书。
点睛：本题主要考查了“差倍问题”的解题方法，解答此类题的关键是，找出两数差和这个
差值对应的倍数。
10.甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有
图书多少本？11.李爷爷家养的鸭比鹅多 只，鸭的只数是鹅的 倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅
各有多少只吗？
12.某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是—样的。开始时长蜡
烛是短蜡烛长度的2倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的3倍。短蜡烛
燃烧掉的长度是5厘米。问原来两根蜡烛各有多长？
结绳记数法
结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来。宋朝人在一
本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火。”这是用结草
来调发军马，传达要调的人数呢!其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中
间都还长期使用这种方法。中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳组成：每条
上有两个结，再把两条绳结在一起。
有趣的是，不但我们东方有过结绳，西方也结过绳。看样子，咱们这个星球早就像个地球
村了，只不过那时还没有电报电话。传说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要
守60天。为了让将士们不少守一天也不多守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣。他对守桥的官兵们说：“我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回
家了。”
回头我们再来看一件有趣的事情。在我国古代的甲骨文中，数学的“数”，它的右边表示
一只右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍：――“数”者，图结绳而记之也。所以，数
学研究所的门口，最好用木棍打几个绳结作标“记”，连招牌都不用挂了。
和结绳几乎同时或者稍后的一种记数方法，要算是书契了。书契，就是刻、划，在竹、木、
龟甲或者骨头、泥版上留下刻痕，留下“记”号。《释名》一书中说：“契，刻也，刻识其
数也。”意思是在某种物件上刻划一些符号，以记数。
我们国家1974年在青海乐都县发掘的原始社会末期的墓葬中，发现了49枚骨片，大小形
状都差不多，是与小孩的小手指差不多大小，但很薄的一个长方形。在骨片的中部两侧有刻
口，有的带3个刻口，有的带5个刻口，不少是带一个刻口的。如果一个刻口代表一个数的
话，那么这40多枚骨片大约可表达从一到五六十间的任何一个自然数。当然，这些小骨片也
可用来计算。十分有趣的是，公元1937年，人们在维斯托尼斯发现了一根四十万年前的骨头，
是狼惠子的小腿骨，七?长，上面有55道深痕。这是到现在为止，最早的刻痕记数的历史见
证。所以今后诸位如果在荒郊野地里捡得几片骨片，可千万要仔细，莫错过了当一次业余考
古家的机会。
随着刻痕刻印的发展，渐渐地就出现了纯粹的数字符号。这可是一项光辉伟大的成就。1：小明和小刚各有玻璃弹球若干个。小明对小刚说：“我若给你两个，我们的玻璃弹
球一样多。”小刚说：“我若给你两个，你的弹球数量将是我的3倍。”小明和小刚共有玻
璃弹球多少个？
【思路分析】
由小明说的话画线段示意图如下。可知：小明的玻璃球比小刚多4个，如果小刚给小明2个，
那么小明比小刚多8个。8个是小刚还剩下玻璃球数量的（3－1）倍，即2倍，此时小刚有玻
璃球：8÷2＝4（个），小明有玻璃球：4＋8＝12（个），两人共有玻璃球：4＋12＝16（个）。
【标准答案】
画线段示意图如下：
（2×2＋2×2）÷（3－1）
＝（4＋4）÷2
＝8÷2
＝4（个）
4＋4＋8＝16（个）
答：小明和小刚共有玻璃弹球16个。
1.小青和小红每人都有一些水彩笔，如果小青给小红1支，两人就一样多，如果小
红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍，那么小青和小红各有多少支水彩笔？
答案：7支；5支
分析：“小青给小红1支，两人就一样多”说明小青原来比小红多： （支），“如果
小红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍”则小红给小青1支后，小青就比小红多：
（支），这与倍数差（2－1）倍相对应，这样就可以求到小红的水彩笔现在是：
（支），她原来就是： （支），小青原来是： （支）。详解：（1×2＋1＋1）÷（2－1）＋1
＝4÷1＋1
＝5（支）
5＋1＋1＝7（支）
答：小青有7支；小红有5支。
点睛：解答本题的关键是，要明确，“如果小红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2
倍”，则小青比小红多4支，4支对应着1倍，据此解题即可。
2. 有两盘苹果，如果从第一盘中拿 个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同；
如果从第二个盘中拿 个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的 倍。第一盘有苹果
多少个？
答案： 个
分析：原来第一盘比第二盘多： （个），从第二盘拿 个到第一盘里，第一盘就比第
二盘多： （个），第二盘拿走 个后剩下的苹果数为： （个），第一盘
原有苹果： （个）。
详解：[（2＋2）＋（2＋2）]÷（2－1）
＝[4＋4]÷1
＝8÷1
＝8（个）
8×2－2＝14（个）
答：第一盘有苹果14个。
点睛：解答此题的关键是，“从第二盘拿 个到第一盘里，第一盘就比第二盘8个，”找出8
个对应的倍数即可。
3．实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成，从两
个校区各调走200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍，那么实
验小学一校区和实验小学二校区原来各有多少人？答案：380人；920人
分析：两校区各调走200人之后还是相差540人，对应的倍数是： 倍，实验小学一校
区调走200人后剩下的人数是： （人），实验小学一校区原有：
（人），实验小学二校区为： （人）。
详解：540÷（4－1）＋200
＝540÷3＋200
＝180＋200
＝380（人）
380＋540＝920（人）
答：实验小学一校区有380人，实验小学二校区原来各有920人。
点睛：本题主要考查了“差倍问题”的解题方法，注意：差和倍一定要对应，本题的差是
540人对应的是3倍。
2： 大桶里有油60千克，小桶里有油30千克。将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下
的油中，大桶是小桶的4倍。问两个桶各剩油多少千克？
【思路分析】
卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题。小桶所剩
的油为１倍数，大桶剩油是小桶剩油的4倍，所以大桶剩油比小桶剩油多： （倍）。
而大桶比小桶多的油总保持不变，是： （千克）。再利用差倍问题的公式就可解决。
小桶剩下的油是： （千克），大桶剩下的油是： （千克）。
【标准答案】
用下图表示它们的关系：
（60－30）÷（4－1）
＝30÷3＝10（千克）
10×4＝40（千克）
答：小桶剩油10千克；大桶剩油40千克。
点睛：解答此题的关键是，要明确：卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，
因此这是一个差倍问题。
4．甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走 千克油，乙桶加入 千克油后，乙桶油的重
量是甲桶油的重量的 倍。甲桶原来有油多少千克？
答案： 千克
分析：先求出后来乙比甲多的，然后求出现在甲桶的重量，最后求出甲桶原有的重量。即，
后来乙比甲多： （千克），所以这时甲桶油的重量是： （千克），甲桶
原来有油： （千克）。
详解：（14＋16）÷（4－1）
＝30÷3
＝10（千克）
10＋16＝26（千克）
答：甲桶原来有油26千克。
点睛：解决差倍问题的关键是要确定两个数量的差以及数量差相对应的倍数差，由此求出1
倍是多少。
5．有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒 千克水到大桶，则大桶中水是小桶
的 倍，求原来大桶有水多少千克？
答案： 千克
分析：现在大桶水比小桶水多： （千克），所以现在小桶中的水是： （千
克），而原来大桶中有水是： （千克）。
详解：（8×2）÷（3－1）
＝16÷2＝8（千克）
8×2＝16（千克）
答：原来大桶有水16千克。
点睛：本题主要考查了“差倍问题”的解题方法，注意：差和倍一定要对应，本题的差是16
千克对应的是现在小桶中的水的2倍。
6．两根绳，第一根长 米，第二根长 米，剪去同样长后，第一根是第二根的 倍，
求每根绳减去几米？
答案： 米
分析：剪去同样长后，第一根比第二根长 米，因此，第二根剩下的长为：
米，从而剪去的长度为： 米。
详解：（64－52）÷（3－1）
＝12÷2
＝6（米）
52－6＝46（米）
答：每根绳子减去46米。
点睛：本题主要考查了“差倍问题”的解题方法，解答此类题的关键是，找出两数差和这个
差值对应的倍数。
3：有两条纸带，一条长 厘米，一条长 厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸
带剩下的长度是短纸带剩下的 倍，问剪下的一段有多长？
【思路分析】
长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长： （厘米），短纸带剩下： （厘
米），剪下： （厘米）。
【标准答案】
（21－13）÷（3－1）＝8÷2
＝4（厘米）
13－4＝9（厘米）
答：剪下的一段有9厘米长。
点睛：解答本题的关键是，要明确：两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度与短
纸带剩下的长度的差是不变的，等于长纸带与短纸带的差，找出这个“差”所对应的倍数。
7．学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多 箱，白粉笔的箱数比彩色笔的 倍少 箱，
学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
答案：21箱；6箱
分析：把彩笔看做 倍数，（白笔＋ ）就相当于彩笔的 倍，即彩笔比（白笔＋ ）少 倍，
注意此时白笔比彩笔多： 箱。彩色粉笔的箱数： （箱），白色粉笔的箱数：
（箱）。
详解：（15＋3）÷（4－1）
＝18÷3
＝6（箱）
6＋15＝21（箱）
答：思学校买来白粉笔和彩色粉笔分别是21箱、6箱。
点睛：本题主要考查了“差倍问题”的解题方法，注意：差和倍一定要对应，本题的差是18
箱对应的是彩色粉笔的3倍。
8．小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的
书比小云的书多2倍。问：原来两人各有多少本书？
答案：23本；43本
分析：小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍。这个“倍数”是变化
后的，所以“1倍”数应是小云变化后的书，“差”是20＋5＋11＝36（本）。小云现有书：
（20＋5＋11）÷（3－1）＝18（本）；小云原来有书：18＋5＝23（本），小雨原来有书：23
＋20＝43（本）。详解：（20＋5＋11）÷（3－1）＋5
＝36÷2＋5
＝18＋5
＝23（本）
23＋20＝43（本）
答：小云有书23本，小雨有书43本。
点睛：解决差倍问题的关键是要确定两个数量的差以及数量差相对应的倍数差，由此求出1
倍是多少。
9．某校五年级比六年级人数少 人，若六年级学生再转来 人，则六年级学生是
五年级学生的 倍，问五、六年级各有多少人？
答案：100人；154人
分析：根据“某校五年级比六年级人数少 人，若六年级学生再转来 人，则六年级学生是
五年级学生的 倍”，可知，（154＋46）人是五年级学生人数的（3－1）倍，据此即可求出
五、六年级各有多少人。
详解：（154＋46）÷（3－1）
＝200÷2
＝100（人）
100＋154＝254（人）
答：五年级有100人，六年级有154人。
点睛：本题主要考查了“差倍问题”的解题方法，注意：差和倍一定要对应，本题的差是
（154＋46）人对应的是五年级学生人数的2倍。
4：两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的 倍，甲书架比乙书架存书多 本，
则乙书架存书多少本？
【思路分析】
多的 本相当于乙书架的 倍，则乙书架的书为： （本）。
【标准答案】120÷（5－1）
＝120÷4
＝30（本）
答：乙书架有30本书。
点睛：本题主要考查了“差倍问题”的解题方法，解答此类题的关键是，找出两数差和这个
差值对应的倍数。
10.甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有
图书多少本？
答案：120本；40本
分析：根据“甲班的图书本数是乙班的3倍”，多的80本，即为多出的2倍，故乙班有图书
80÷（3－1）本，据此即可求出甲班的图书数量。
详解：80÷（3－1）
＝80÷2
＝40（本）
40×3＝120（本）
答：甲班和乙班分别有图书120本、40本。
点睛：本题主要考查了“差倍问题”的解题方法，注意：差和倍一定要对应，本题的差是80
本对应的是乙班的2倍。
11.李爷爷家养的鸭比鹅多 只，鸭的只数是鹅的 倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅
各有多少只吗？
答案： 只； 只
分析：根据题意，画线段示意图如下，与 只相对应的是（3－1）倍，这样就可以求出一倍
数也就是鹅的只数，求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求出来了。鸭与鹅只数的倍数差是：
（倍），鹅有： （只），鸭有： （只）。
详解：18÷（3－1）
＝18÷2
＝9（只）
9×3＝27（只）
答：李爷爷家养的鸭有27只，养鹅有9只。
点睛：解题时，可以引导学生画图，但是一定要强调差所对应的份数，这样我们就可以求一
份量（一倍量），从而解决题目。
12.某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是—样的。开始时长蜡
烛是短蜡烛长度的2倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的3倍。短蜡烛
燃烧掉的长度是5厘米。问原来两根蜡烛各有多长？
答案：10厘米；20厘米
分析：所以我们根据题意可知：原长蜡烛长度 倍原短蜡烛长度，差为 倍原短蜡烛长度；
后长蜡烛长度 倍后短蜡烛长度，差为 倍后短蜡烛长度；所以原短蜡烛长度 倍后短蜡烛
长度，也就是说短蜡烛燃烧了 倍后短蜡烛长度，为 厘米，所以原短蜡烛长 厘米，原长蜡
烛长 厘米。
详解：根据分析可知：
5×2＝10（厘米）
10×2＝20（厘米）
答：原短蜡烛长10厘米；原长蜡烛长20厘米。
点睛：我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上本题中两根蜡烛的长度差是不变的（因
为两根蜡烛燃烧的速度一样）。
