文档内容
2024-2025学年三年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版）
第八讲 数学广角--搭配(二)
（导图+知识精讲+易错点拨+1大考点讲练+难度分层练 共24题）
目录
课前指导 讲义介绍.........................................................................1
思维导图 一目了然..........................................................................2
知识精讲 梳理脉络..........................................................................2
知识点梳理01：排列与组合的基本概念.....................................................2
知识点梳理02：特殊元素处理与常见题型...................................................2
知识点梳理03：解题方法与策略...........................................................3
易错点拨 查漏补缺..........................................................................3
易错知识点01：排列组合中的重复与遗漏...................................................3
易错知识点02：特殊元素处理错误.........................................................4
易错知识点03：实际问题应用错误.........................................................4
易错知识点04：典型易错题对比与避错总结.................................................5
考点讲练 明确目标..........................................................................5
考点一：搭配问题.......................................................................5
分层训练 拔尖冲刺..........................................................................6
基础夯实优选题专练.....................................................................6
培优优选题专练.........................................................................8
同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，
拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和
拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非
常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！知识点梳理01：排列与组合的基本概念
1. 排列问题（顺序有关）
定义：排列指从给定元素中按一定顺序选取部分或全部元素，不同顺序视为不同结果。
示例：用数字2、5、7、9组成无重复的两位数，个位是单数的有多少种？
方法：固定个位（单数5、7、9）→十位选剩余3个数→总数=3×3=9种。
解题策略：
固定位置法：先确定关键位（如个位或十位），再依次排列其他位。
有序列举：从小到大或从大到小排列，避免重复或遗漏。
2. 组合问题（顺序无关）
定义：组合指从给定元素中选取部分元素，不同顺序视为同一结果。
示例：3件上衣和3条裙子搭配，共有3×3=9种穿法。
解题策略：
连线法：用图示将不同类物品两两连线，连线数即组合数。
乘法原理：组合数=各独立选择数量的乘积。
知识点梳理02：特殊元素处理与常见题型
1.含0的排列问题
规则：0不能作为首位（如两位数或三位数）。
示例：用0、4、7组成无重复的两位数，能组成多少种？方法：十位选4或7→个位选剩余2个数→总数=2×2=4种（40、47、70、74）。
2.比赛场次与握手问题
规则：每两队比赛一次或两人握手一次为组合问题。
示例：4支球队两两比赛，总场次=4×3÷2=6场。
公式：组合数=总元素数×(总元素数-1)÷2。
3.物品分配问题
规则：物品分给多人且每人至少1件时，需枚举所有可能。
示例：5块巧克力分给小丽、小明、小红，每人至少1块，分法有6种（如3-1-1、2-2-1等）。
知识点梳理03：解题方法与策略
1. 固定位置法
适用场景：排列问题中需排除无效情况（如0在首位）。
步骤：
1. 确定首位（非0元素）；
2. 依次排列剩余位。
示例：用0、2、4、6组成三位数→百位选2、4、6→十位和个位选剩余数→总数=3×3×2=18种。
2. 有序列举法
适用场景：元素较少时避免遗漏或重复。
示例：用4、6、7组两位数→按十位从小到大排列：46、47、64、67、74、76→共6种。
3. 图示法（连线、表格）
适用场景：组合问题或复杂搭配。
示例：饮品（3种）和主食（2种）各选1样→3×2=6种搭配，可用表格或连线表示。
易错知识点01：排列组合中的重复与遗漏
1.排列时未有序固定位置
错误表现：排列数字或物品时未按顺序固定某一位，导致重复或遗漏。
示例：用0、1、2组成三位数时，误将0放在百位（如012），导致无效数。
避错策略：
固定位置法：
1. 先确定百位（非0数字），再排列其他位（如百位选1→十位可选0或2→个位为剩余数）；2. 总数=3（百位选项）×3（十位选项）×2（个位选项）- 包含0在百位的无效情况。
2.组合问题未区分顺序
错误表现：混淆组合与排列，误将顺序无关的组合算作排列。
示例：计算“3件上衣和3条裙子”的搭配方式时，误认为有6种（实际为3×3=9种）。
避错策略：连线法或乘法原理：用图示将每件上衣与每条裙子连线，总数为上衣数×裙子数。
易错知识点02：特殊元素处理错误
1.数字0的无效排列
错误表现：将0作为首位（如用0、4、7组成两位数时，误算为0在十位的“04”）。
避错策略：
分步排除法：
1. 十位不能为0→十位有2种选择（4或7）；
2. 个位为剩余2个数→总数=2×2=4种（如40、47、70、74）。
2.重复计算相同组合
错误表现：组合问题中误将不同顺序视为不同结果（如“甲和乙比赛”与“乙和甲比赛”算作两种）。
避错策略：去序公式：组合数=总排列数÷重复次数（如4支球队两两比赛，总场次=4×3÷2=6场）。
易错知识点03：实际问题应用错误
1.题意理解偏差
错误表现：未识别题目中的组合或排列要求。
示例：题目要求“每两人握一次手”，误算为排列数（如5人握手次数=5×4=20次，正确应为5×4÷2=10
次）。
避错策略：
关键词区分：“握手”“比赛场次”为组合（顺序无关），“组数”“排队”为排列（顺序有关）。
2.列举方法不当
错误表现：无序列举导致遗漏或重复。
示例：用4、6、7组成两位数时，漏掉“64”或重复“46”与“64”。
避错策略：
有序列举法：按十位从小到大排列（如46、47、64、67、74、76），并标记已选数字。
易错知识点04：典型易错题对比与避错总结
易错点 典型错误案例 避错策略
0作为首位 用0、4、7组成三位数时包含“047” 先固定非0百位，再排列其他位组合与排列混淆 计算3支球队比赛场次误为6场（实为3） 组合数=总排列数÷重复次数
列举遗漏 用4、6、7组两位数漏掉“76” 按十位从小到大有序排列并检查
题意理解错误 将“握手次数”误算为排列数 区分“顺序是否影响结果”
考点一：搭配问题
【精讲题】（24-25三年级下·全国·单元测试）如图是中国象棋棋盘的部分局势图。
棋子“ ”走的规则是：先横着或竖着走一格，再斜着走一个对角线，俗称“马走日”。棋子“ ”
走的规则是：每次沿对角线走两格，俗称：“象飞田”（ 与 走的规则相同）。如果两方各走一步，
红子方走的是“ ”，黑子方走的是“ ”，可能出现（ ）种不同的局势图，请你在下图中
画出其中一种。
【精练题01】（2025三年级下·全国·专题练习）豆豆、未未、丹丹三个好朋友下棋，每2个人下一盘，
共要下几盘？【精练题02】（2025三年级下·全国·专题练习）（1）用1、2、3能组成多少个没有重复数字的两位数？
（2）把1、2、3每两个数相加，和有多少种情况？
【精练题03】（2025三年级下·全国·专题练习）王风有5元、10元、5角、1元的纸币各一张，每次拿
出两张，能有多少种不同的搭配方式？写出搭配后的钱数。
基础夯实优选题专练
1．（23-24三年级下·重庆大渡口·期末）用4、5、7、0能组成（ ）个位是双数的两位数。
A．2 B．9 C．6 D．5
2．（23-24三年级下·河北保定·期末）有1元、5角、1角的硬币各一枚，李强要从中拿出2枚，可组成
（ ）种不同的钱数。
A．1 B．2 C．3
3．（23-24三年级下·广西南宁·期末）下图中从猴山到狮虎山，一共有（ ）条路线。
A．5 B．6 C．7
4．（23-24三年级下·重庆九龙坡·期中）用8、6、3、5可以组成( )个没有重复数字的两位数，
其中组成两位数中最大是( )，最小是( )。
5．（24-25三年级下·海南海口·期末）从2、4中任选一个数作分子，从7、8、9中任选一个数作分母，
一共可以组成( )个分数。6．（22-23三年级下·四川遂宁·期末）小明、小丽、小强3人排队，如果明明站中间，一共有( )
种排法，如果随意站成一排，有( )种排法。
7．（23-24三年级下·陕西商洛·期末）丽丽家里有3支不同的钢笔和2支不同的自动铅笔，她从中选出
一支钢笔和一支自动铅笔带去上学，她一共有8种不同的选法。( )
8．（23-24三年级下·贵州黔南·期末）用0，2，5，6能组成12个没有重复数字的两位数。( )
（判断对错）
9．（2025三年级下·全国·专题练习）从多多家到学校有2条路可以走，从学校到书店有3条路可以走，
多多从家到书店一共有几条路可以走？
10．（23-24三年级下·山西晋中·期末）下面的早餐有多少种不同的搭配？（饮料和点心只能各选1
种）请把你的思考过程写下来。
一共有（ ）种。
培优优选题专练
11．（24-25三年级下·全国·单元测试）A、B、C、D、E五名同学进行象棋比赛，每两人都要比赛1场，
到现在为止，A已赛了2场，B已赛了4场，C已赛了3场，D已赛1场，那么E赛了（ ）场。
A．2 B．3 C．4
12．（24-25三年级下·全国·单元测试）甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次
传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中。一共有（ ）种不同的传球方式（每人只能传一次球）。A．6 B．9 C．12
13．（24-25三年级下·全国·单元测试）用下面两个偏旁和4个字可以组成（ ）个新的字。
A．8 B．7 C．6
14．（24-25三年级下·全国·单元测试）从乐乐家到学校一共有( )条路，最短的路程是(
)千米。
15．（24-25三年级下·全国·单元测试）玲玲和婷婷是一对双胞胎。姐妹俩与爸爸、妈妈排成一排照相。
如果两姐妹要相邻，那么一共有( )种不同的排法。
16．（24-25三年级下·全国·单元测试）用5把钥匙去开5个房门。已知一把钥匙只能开一个房门，但
不知道哪把钥匙能开哪个门。如果要保证钥匙和门锁都配起来，最多要试开( )次。
17．（22-23三年级下·四川阿坝·期末）笑笑一家三口每两人玩一次“石头、剪刀、布”游戏，共需要
玩3次。( )（判断对错）
18．（22-23三年级下·四川凉山·期末）用0、2、6三个数可以组成4个不重复的两位数。( )
（判断对错）
19．（2025三年级下·全国·专题练习）三年级4个班举行足球比赛，每两个班比一场，一共要比多少场？
20．（2025三年级下·全国·专题练习）用下列数字按要求组数。
（1）用0、5、7这三个数字组成没有重复数字的两位数。
（2）用0、3、5、7这四个数字组成没有重复数字的两位数。（3）用3、5、7这三个数字组成没有重复数字的三位数。
