文档内容
2024-2025学年三年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版）
第八讲 数学广角--搭配(二)
（导图+知识精讲+易错点拨+1大考点讲练+难度分层练 共24题）
目录
课前指导 讲义介绍.........................................................................1
思维导图 一目了然..........................................................................2
知识精讲 梳理脉络..........................................................................2
知识点梳理01：排列与组合的基本概念.....................................................2
知识点梳理02：特殊元素处理与常见题型...................................................3
知识点梳理03：解题方法与策略...........................................................3
易错点拨 查漏补缺..........................................................................4
易错知识点01：排列组合中的重复与遗漏...................................................4
易错知识点02：特殊元素处理错误.........................................................4
易错知识点03：实际问题应用错误.........................................................4
易错知识点04：典型易错题对比与避错总结.................................................5
考点讲练 明确目标..........................................................................5
考点一：搭配问题.......................................................................5
分层训练 拔尖冲刺..........................................................................7
基础夯实优选题专练.....................................................................7
培优优选题专练........................................................................11
同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，
拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和
拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非
常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！知识点梳理01：排列与组合的基本概念
1. 排列问题（顺序有关）
定义：排列指从给定元素中按一定顺序选取部分或全部元素，不同顺序视为不同结果。
示例：用数字2、5、7、9组成无重复的两位数，个位是单数的有多少种？
方法：固定个位（单数5、7、9）→十位选剩余3个数→总数=3×3=9种。
解题策略：
固定位置法：先确定关键位（如个位或十位），再依次排列其他位。
有序列举：从小到大或从大到小排列，避免重复或遗漏。
2. 组合问题（顺序无关）
定义：组合指从给定元素中选取部分元素，不同顺序视为同一结果。
示例：3件上衣和3条裙子搭配，共有3×3=9种穿法。
解题策略：
连线法：用图示将不同类物品两两连线，连线数即组合数。
乘法原理：组合数=各独立选择数量的乘积。
知识点梳理02：特殊元素处理与常见题型
1.含0的排列问题
规则：0不能作为首位（如两位数或三位数）。
示例：用0、4、7组成无重复的两位数，能组成多少种？方法：十位选4或7→个位选剩余2个数→总数=2×2=4种（40、47、70、74）。
2.比赛场次与握手问题
规则：每两队比赛一次或两人握手一次为组合问题。
示例：4支球队两两比赛，总场次=4×3÷2=6场。
公式：组合数=总元素数×(总元素数-1)÷2。
3.物品分配问题
规则：物品分给多人且每人至少1件时，需枚举所有可能。
示例：5块巧克力分给小丽、小明、小红，每人至少1块，分法有6种（如3-1-1、2-2-1等）。
知识点梳理03：解题方法与策略
1. 固定位置法
适用场景：排列问题中需排除无效情况（如0在首位）。
步骤：
1. 确定首位（非0元素）；
2. 依次排列剩余位。
示例：用0、2、4、6组成三位数→百位选2、4、6→十位和个位选剩余数→总数=3×3×2=18种。
2. 有序列举法
适用场景：元素较少时避免遗漏或重复。
示例：用4、6、7组两位数→按十位从小到大排列：46、47、64、67、74、76→共6种。
3. 图示法（连线、表格）
适用场景：组合问题或复杂搭配。
示例：饮品（3种）和主食（2种）各选1样→3×2=6种搭配，可用表格或连线表示。
易错知识点01：排列组合中的重复与遗漏
1.排列时未有序固定位置
错误表现：排列数字或物品时未按顺序固定某一位，导致重复或遗漏。
示例：用0、1、2组成三位数时，误将0放在百位（如012），导致无效数。
避错策略：
固定位置法：
1. 先确定百位（非0数字），再排列其他位（如百位选1→十位可选0或2→个位为剩余数）；2. 总数=3（百位选项）×3（十位选项）×2（个位选项）- 包含0在百位的无效情况。
2.组合问题未区分顺序
错误表现：混淆组合与排列，误将顺序无关的组合算作排列。
示例：计算“3件上衣和3条裙子”的搭配方式时，误认为有6种（实际为3×3=9种）。
避错策略：连线法或乘法原理：用图示将每件上衣与每条裙子连线，总数为上衣数×裙子数。
易错知识点02：特殊元素处理错误
1.数字0的无效排列
错误表现：将0作为首位（如用0、4、7组成两位数时，误算为0在十位的“04”）。
避错策略：
分步排除法：
1. 十位不能为0→十位有2种选择（4或7）；
2. 个位为剩余2个数→总数=2×2=4种（如40、47、70、74）。
2.重复计算相同组合
错误表现：组合问题中误将不同顺序视为不同结果（如“甲和乙比赛”与“乙和甲比赛”算作两种）。
避错策略：去序公式：组合数=总排列数÷重复次数（如4支球队两两比赛，总场次=4×3÷2=6场）。
易错知识点03：实际问题应用错误
1.题意理解偏差
错误表现：未识别题目中的组合或排列要求。
示例：题目要求“每两人握一次手”，误算为排列数（如5人握手次数=5×4=20次，正确应为5×4÷2=10
次）。
避错策略：
关键词区分：“握手”“比赛场次”为组合（顺序无关），“组数”“排队”为排列（顺序有关）。
2.列举方法不当
错误表现：无序列举导致遗漏或重复。
示例：用4、6、7组成两位数时，漏掉“64”或重复“46”与“64”。
避错策略：
有序列举法：按十位从小到大排列（如46、47、64、67、74、76），并标记已选数字。
易错知识点04：典型易错题对比与避错总结
易错点 典型错误案例 避错策略
0作为首位 用0、4、7组成三位数时包含“047” 先固定非0百位，再排列其他位组合与排列混淆 计算3支球队比赛场次误为6场（实为3） 组合数=总排列数÷重复次数
列举遗漏 用4、6、7组两位数漏掉“76” 按十位从小到大有序排列并检查
题意理解错误 将“握手次数”误算为排列数 区分“顺序是否影响结果”
考点一：搭配问题
【精讲题】（24-25三年级下·全国·单元测试）如图是中国象棋棋盘的部分局势图。
棋子“ ”走的规则是：先横着或竖着走一格，再斜着走一个对角线，俗称“马走日”。棋子“ ”
走的规则是：每次沿对角线走两格，俗称：“象飞田”（ 与 走的规则相同）。如果两方各走一步，
红子方走的是“ ”，黑子方走的是“ ”，可能出现（ ）种不同的局势图，请你在下图中
画出其中一种。
【答案】8；图见详解
【思路点拨】
根据题意，棋子“ ”走的路线共有2种走法，棋子“ ”走的路线共有4种走法；把“ ”的2
种走法和“ ”的4种走法搭配在一起，一共有2×4＝8（种）不同的局势图；据此解答即可。
【规范解答】据分析可得：2×4＝8（种）
如果两方各走一步，红子方走的是“ ”，黑子方走的是“ ”，可能出现8种不同的局势图。
如图所示：
（答案不唯一）
【精练题01】（2025三年级下·全国·专题练习）豆豆、未未、丹丹三个好朋友下棋，每2个人下一盘，
共要下几盘？
【答案】3盘
【思路点拨】三个好朋友下棋，每2个人下一盘，即两两组合，据此列举解答即可。
【规范解答】豆豆和未未，豆豆和丹丹，未未和丹丹，共有3种组合。
答：共要下3盘。
【精练题02】（2025三年级下·全国·专题练习）（1）用1、2、3能组成多少个没有重复数字的两位数？
（2）把1、2、3每两个数相加，和有多少种情况？
【答案】（1）6个
（2）3种
【思路点拨】（1）两位数由十位和个位两个数字组成，先固定十位，然后变换个位，就可以得到所有可
能的两位数；
（2）先固定一个加数，然后变换另一个加数，就可以得到所有可能的和，据此解答即可。
【规范解答】（1）能组成的两位数有：12、13、21、23、31、32，一共6个。
答：用1、2、3能组成6个没有重复数字的两位数。
（2）1＋2＝3、1＋3＝4、2＋3＝5，共有3种情况。
答：和有3种情况。
【精练题03】（2025三年级下·全国·专题练习）王风有5元、10元、5角、1元的纸币各一张，每次拿
出两张，能有多少种不同的搭配方式？写出搭配后的钱数。
【答案】6种
【思路点拨】王风有5元、10元、5角、1元的纸币各一张，每次拿出两张搭配，从5元开始，依次与其他
三张分别搭配，再将10元，依次与其他两张分别搭配，最后将5角与1元搭配即可；搭配后将钱数相加，
即可得到搭配后的钱数分别是多少。【规范解答】①5元和10元。
5元＋10元＝15元
②5元和5角。
5元＋5角＝5元5角
③5元和1元。
5元＋1元＝6元
④10元和5角。
10元＋5角＝10元5角
⑤10元和1元。
10元＋1元＝11元
⑥5角和1元。
5角＋1元＝1元5角
答：能有6种不同的搭配方式，5元和10元搭配后为15元，5元和5角搭配后为5元5角，5元和1元搭配
后为6元，10元和5角搭配后为10元5角，10元和1元搭配后为11元，5角和1元搭配后为1元5角。
基础夯实优选题专练
1．（23-24三年级下·重庆大渡口·期末）用4、5、7、0能组成（ ）个位是双数的两位数。
A．2 B．9 C．6 D．5
【答案】D
【思路点拨】根据题意可知，用4、5、7、0能组成个位是双数的两位数，所以个位上只能是4、0；当个
位上是4时，可以组成54、74；当个位上是0时，可以组成40、50、70。据此解答。
【规范解答】用4、5、7、0组成没有重复数字的两位数，能组成5个个位是双数的两位数，分别是54、
74、40、50、70。
故答案为：D
2．（23-24三年级下·河北保定·期末）有1元、5角、1角的硬币各一枚，李强要从中拿出2枚，可组成
（ ）种不同的钱数。
A．1 B．2 C．3
【答案】C
【思路点拨】根据题意，利用列举法，分别列举出李强取2枚硬币不同的币值，依此解答。
【规范解答】1元＋5角＝1元5角1元＋1角＝1元1角
5角＋1角＝6角
所以可组成3中不同的钱数。
故答案为：C
3．（23-24三年级下·广西南宁·期末）下图中从猴山到狮虎山，一共有（ ）条路线。
A．5 B．6 C．7
【答案】B
【思路点拨】从猴山到象馆有3种选法，从象馆到狮虎山有2种选法，从猴山到象馆有3种选法和从象馆
到狮虎山有2种选法分别搭配，就是2个3种走法，然后用乘法计算解答即可。
【规范解答】3×2＝6（条）
一共有6条路线。
故答案为：B
4．（23-24三年级下·重庆九龙坡·期中）用8、6、3、5可以组成( )个没有重复数字的两位数，
其中组成两位数中最大是( )，最小是( )。
【答案】 12 86 35
【思路点拨】当8在十位时，个位有3种情况，即86、85、83，当6在十位是，个位有3种情况，即68、
65、63，当3在十位是，个位有3种情况，即38、36、35，当5在十位是，个位有3种情况，即58、56、
53，用8、6、3、5可以组成没有重复数字的两位数一共有（4×3）个；8＞6＞5＞3，当十位数最大是8，
个位是第二大的数6时，两位数最大；当十位数最小是3，个位数第二小是5时，两位数最小，据此解题。
【规范解答】3×4＝12（个）
用8、6、3、5可以组成12个没有重复数字的两位数，其中组成两位数中最大是86，最小是35。
5．（24-25三年级下·海南海口·期末）从2、4中任选一个数作分子，从7、8、9中任选一个数作分母，
一共可以组成( )个分数。
【答案】6
【思路点拨】从2、4中任选一个数作分子，有2种选法，从7、8、9中任选一个数作分母，有3种选法，
一共有（2×3）种选法。
【规范解答】2×3＝6（个）从2、4中任选一个数作分子，从7、8、9中任选一个数作分母，一共可以组成6个分数。
6．（22-23三年级下·四川遂宁·期末）小明、小丽、小强3人排队，如果明明站中间，一共有( )
种排法，如果随意站成一排，有( )种排法。
【答案】 2 6
【思路点拨】如果小明站中间，可以是小丽、小明、小强，还可以是小强、小明、小丽，一共两种排法；
如果随意站，最左边有3种情况，可以是小丽或小明或小强，中间的人有两种情况，最后一个人一种情况，
用3×2×1即可。即可解题。
【规范解答】3×2×1
＝6×1
＝6（种）
小明、小丽、小强3人排队，如果小明站中间，一共有2种排法，如果随意站成一排，有6种排法。
7．（23-24三年级下·陕西商洛·期末）丽丽家里有3支不同的钢笔和2支不同的自动铅笔，她从中选出
一支钢笔和一支自动铅笔带去上学，她一共有8种不同的选法。( )
【答案】×
【思路点拨】根据一一列举的方法，当从三支不同的钢笔中选择一支钢笔时，有3种不同选择方法。从2
支不同的自动铅笔选择一支的，有2种不同的选择方法。然后再将它们搭配起来，据此解答。
【规范解答】丽丽家里有3支不同的钢笔和2支不同的自动铅笔，她从中选出一支钢笔和一支自动铅笔带
去上学，她一共有6种不同的选法。具体搭配如下图：
故答案为：×
8．（23-24三年级下·贵州黔南·期末）用0，2，5，6能组成12个没有重复数字的两位数。( )
【答案】×
【思路点拨】用0，2，5，6能组成没有重复数字的两位数有：20，25，26，50，52，56，60，62，65，据
此解答。
【规范解答】用0，2，5，6能组成没有重复数字的两位数有：20，25，26，50，52，56，60，62，65，共
9个，所以原题说法错误。故答案为：×
9．（2025三年级下·全国·专题练习）从多多家到学校有2条路可以走，从学校到书店有3条路可以走，
多多从家到书店一共有几条路可以走？
【答案】6条
【思路点拨】从家到学校的2条路中选一条有2种选法；从学校到书店的3条路中选一条有3种选法；根
据乘法原理可得：2×3，据此解答。
【规范解答】根据分析可得：
2×3＝6（条）
答：多多从家到书店一共有6条路可以走。
10．（23-24三年级下·山西晋中·期末）下面的早餐有多少种不同的搭配？（饮料和点心只能各选1
种）请把你的思考过程写下来。
一共有（ ）种。
【答案】8种
【思路点拨】当饮料选豆浆时，点心可以选蛋糕，也可以选油条，也可以选饼干，也可以选面包，有4种
选法；当饮料选牛奶时，点心也有4种选法；所以共有8种不同的搭配方法。
【规范解答】第1种：豆浆、蛋糕；
第2种：豆浆、油条；
第3种：豆浆、饼干；
第4种：豆浆、面包；
第5种：牛奶、蛋糕；
第6种：牛奶、油条；
第7种：牛奶、饼干；第8种：牛奶、面包；
一共有8种不同的搭配。
培优优选题专练
11．（24-25三年级下·全国·单元测试）A、B、C、D、E五名同学进行象棋比赛，每两人都要比赛1场，
到现在为止，A已赛了2场，B已赛了4场，C已赛了3场，D已赛1场，那么E赛了（ ）场。
A．2 B．3 C．4
【答案】A
【思路点拨】五人进行比赛，每两人都要比赛一场，则每个人都要和其他4人进行一场比赛，即每人要赛
4场，据此推算即可。
【规范解答】由题意可知，每人要进行5－1＝4（场）比赛；
B已赛了4场，即B和A、C、D、E各赛一场；而D只赛过1场，这一场是和B赛的；所以C已赛的3场，是
和A、B、E赛的；而A赛了2场，是和B、C赛的；那么E一定和B、C各赛一场，即已赛了2场。
故答案为：A
12．（24-25三年级下·全国·单元测试）甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次
传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中。一共有（ ）种不同的传球方式（每人只能传一次球）。
A．6 B．9 C．12
【答案】A
【思路点拨】根据题目意思，每人只能传一次球，总共要经过4次传球，最终球回到甲手中，因此本题可
以利用画图的方法一一列举出所有符合条件的传球可能性。甲第一次传球可以选择乙、丙、丁中的任何一
个人，第二次和第三次不能传球给已经传过球的人，第四次传球给甲。根据所画的图即可知道一共有多少
种不同的传球方式。
【规范解答】如图：因此一共有6种不同的传球方式。
故答案为：A。
13．（24-25三年级下·全国·单元测试）用下面两个偏旁和4个字可以组成（ ）个新的字。
A．8 B．7 C．6
【答案】A
【思路点拨】一个偏旁和4个字可以组成4个新的字，两个偏旁就能组合成两组4个字，表示2个4是多
少，用乘法计算即可。
【规范解答】2×4＝8（个）
用上面两个偏旁和4个字可以组成8个新的字。
故答案为：A
14．（24-25三年级下·全国·单元测试）从乐乐家到学校一共有( )条路，最短的路程是(
)千米。
【答案】 9 2.9
【思路点拨】乐乐如果由最上面那条路到超市，然后再去学校有3条路可以走；乐乐走中间那条路到超市，
然后再去学校有3条路可以走；乐乐走最下面那条路到超市，然后再去学校有3条路可以走；所以一共有
3×3＝9（条）路；要使走的路程最短，那么两小段路程都应该选择最短的来走；据此解答。
【规范解答】3×3＝9（条）
1.8＜2.2＜2.4
1.1＜1.2＜1.5
1.8＋1.1＝2.9（千米）
从乐乐家到学校一共有9条路，最短的路程是2.9千米。
15．（24-25三年级下·全国·单元测试）玲玲和婷婷是一对双胞胎。姐妹俩与爸爸、妈妈排成一排照相。
如果两姐妹要相邻，那么一共有( )种不同的排法。
【答案】12【思路点拨】根据题意，姐妹俩与爸爸、妈妈排成一排照相，两姐妹要相邻，首先把两姐妹看成一个整体，
变成“3个人”排列组合，有3×2＝6种排法，看成一个整体的两姐妹之间有2种排法，那么一共有6×2
＝12种排法，据此解答即可。
【规范解答】3×2×2
＝6×2
＝12（种）
玲玲和婷婷是一对双胞胎。姐妹俩与爸爸、妈妈排成一排照相。如果两姐妹要相邻，那么一共有12种不同
的排法。
16．（24-25三年级下·全国·单元测试）用5把钥匙去开5个房门。已知一把钥匙只能开一个房门，但
不知道哪把钥匙能开哪个门。如果要保证钥匙和门锁都配起来，最多要试开( )次。
【答案】10
【思路点拨】第1个房门最多用4把钥匙试开；第2个房门最多用3把钥匙试开；第3个房门最多用2把钥
匙试开；第4个房门最多用1把钥匙试开；最后剩的一把钥匙和最后一个房门相匹配，不需要试开，所以
最多要试开4＋3＋2＋1＝10（次）；据此解答即可。
【规范解答】据分析可得：
4＋3＋2＋1
＝7＋2＋1
＝9＋1
＝10（次）
所以最多要试开10次。
17．（22-23三年级下·四川阿坝·期末）笑笑一家三口每两人玩一次“石头、剪刀、布”游戏，共需要
玩3次。( )
【答案】√
【思路点拨】由于每个人都要和另外的2个人玩一次游戏，一共要玩：3×2＝6（次）；又因为每两个人玩
一次，去掉重复计算的情况，实际只玩：6÷2＝3（次）；由此进行判断。
【规范解答】（3－1）×3÷2
＝2×3÷2
＝6÷2
＝3（次）
所以，笑笑一家三口每两人玩一次“石头、剪刀、布”游戏，共需要玩3次。原题说法正确。
故答案为：√18．（22-23三年级下·四川凉山·期末）用0、2、6三个数可以组成4个不重复的两位数。( )
【答案】√
【思路点拨】0不能放在最高位上。当十位上的数是2时，此时可以组成2个没有重复数字的两位数，而
十位上的数还可以是6，因此一共可以组成（2×2）个没有重复数字的两位数。
【规范解答】2×2＝4（个）
用0、2、6三个数可以组成4个不重复的两位数。
故答案为：√
19．（2025三年级下·全国·专题练习）三年级4个班举行足球比赛，每两个班比一场，一共要比多少场？
【答案】6场
【思路点拨】根据题意可知，每个班都与剩余的4－1＝3（个）班进行比赛，每个班需要比赛4场，则3
个班需要比赛4×3＝12（场）。每个班只需要赛一场，用比赛总场数除以2，去掉重复计算的比赛场数，
即可求出实际比赛总场数。
【规范解答】根据分析可知：
4－1＝3（个）
4×3÷2
＝12÷2
＝6（场）
答：一共要比6场。
20．（2025三年级下·全国·专题练习）用下列数字按要求组数。
（1）用0、5、7这三个数字组成没有重复数字的两位数。
（2）用0、3、5、7这四个数字组成没有重复数字的两位数。
（3）用3、5、7这三个数字组成没有重复数字的三位数。
【答案】（1）50、57、70、75
（2）30、35、37、50、53、57、70、73、75
（3）357、375、537、573、735、753
【思路点拨】（1）十位不能为0，因此十位可选5或7，十位为5：个位可以是0或7，即50、57；十位为
7：个位可以是0或5 ，即70、75。
（2）十位不能为0，因此十位可选3、5、7，每个十位对应3个可能的个位（0和剩余两个数字），十位
为3：30、35、37；十位为5：50、53、57；十位为7：70、73、75。
（3）三位数的百位、十位、个位均可从3、5、7中选择，但数字不重复，百位为3：357、375；百位为
5：537、573；百位为7：735、753。
【规范解答】根据分析可得：（1）用0、5、7三个数字组成的没有重复数字的两位数有：50、57、70、75；
（2）用0、3、5、7这四个数字组成的没有重复数字的两位数有：30、35、37、50、53、57、70、73、
75；
（3）用3、5、7这三个数字组成的没有重复数字的三位数有：357、375、537、573、735、753.
