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第六讲 和倍问题
动物王国的果实丰
收
在生机勃勃的动物王国里，住着许多可爱的小动物。今年的秋天，森林里迎来了大丰收，
各种果实挂满枝头。松鼠家族、兔子家族和猴子家族都收获颇丰。
松鼠家族收集了许多松果，兔子家族收获了大量胡萝卜，猴子家族则摘到了数不清的香蕉。
三个家族的族长决定聚在一起，分享丰收的喜悦。
在分享会上，松鼠族长骄傲地说：“我们松鼠家族收集的松果数量可多啦，是兔子家族胡
萝卜数量的3倍呢!”兔子族长也不甘示弱，回应道：“虽然松鼠家族松果多，但我们兔子家
族胡萝卜数量也不少，而且猴子家族香蕉的数量是我们兔子家族胡萝卜数量的2倍。"猴子族
长听了，笑着点头。
这时，一只聪明的小鸟飞过来，好奇地问道：“那你们三个家族一共收获了多少食物
呀?”三个族长这才发现，他们还不知道总数呢。于是，他们开始一起计算。
已知松鼠家族松果数量是兔子家族胡萝卜数量的3倍，猴子家族香蕉数量是兔子家族胡萝
卜数量的2倍，把兔子家族胡萝卜数量看作1份，那么松鼠家族松果数量就是3份，猴子家
族香蕉数量就是2份，三个家族收获食物的总份数就是1+3+2=6份。
经过仔细清点，他们发现三个家族收获的食物总数是120份。那么1份的数量，也就是兔
子家族胡萝卜的数量为120÷6=20个。
所以松鼠家族的松果数量是20×3=60个，猴子家族的香蕉数量是20×2=40个。
知道了各自家族收获食物的具体数量，小动物们都非常开心。他们决定互相分享食物，让
每个家族都能品尝到不同的美味。从此，动物王国里的小动物们更加懂得团结协作和分享，
森林里充满了欢乐与和谐。已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常
叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数
量关系一目了然，从而正确列式解答。
解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍数，再
求出几倍数。数量关系可以这样表示：
两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）
小数×倍数=大数（几倍数）
两数和－小数=大数
1：2019国庆70周年大阅兵中，共有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万
人，各型飞机160余架、装备580台（套），是近几次阅兵中规模最大的一次。其中59个方
（梯）队分为徒步方队、装备方队和空中梯队，已知徒步方队的数量比空中梯队的数量多3
个，装备方队的数量是徒步方队的2倍多2个。三种方（梯）队各有多少个？
【思路分析】
本题属于三个量的和倍问题，可以通过画线段图来帮助分析。换线段图时，可以先画徒步方
队，再画装备方队，最后画空中梯队。根据线段图即可列式解决。
【标准答案】
详解：线段图如下：徒步方队：（59＋3－2）÷（1＋1＋2）
＝60÷4
＝15（个）
装备方队：15×2＋2＝32（个）
空中梯队：15－3＝12（个）
答：徒步方队有15个， 装备方队有32个，空中梯队有12个。
1.今年，妈妈和小红的年龄之和是45岁，并且妈妈的年龄正好是小红年龄的4倍。
妈妈和小红今年各多少岁？
2. 花店有百合、玫瑰、郁金香共104枝，其中百合是玫瑰的2倍少20枝，玫瑰是郁
金香的3倍多8枝。问三种花各有多少枝？
3．学校运来48棵树苗，冬冬、莹莹和丽丽争着去栽。她们三人各自分得树苗若干
棵。丽丽看到冬冬拿得太多，就从冬冬手中抢了9棵，莹莹又从丽丽手中抢了6棵，冬冬又
从莹莹手中抢了7棵。结果，丽丽和莹莹拿的树苗一样多，而冬冬拿的树苗是丽丽和莹莹的
棵数之和。问最初冬冬分得多少棵树苗？2： 2016“枫叶新希望杯”成都夏令营共有750名营员参加，其中男生人数比女生人数
的2倍少150人，求男生和女生的人数。
【思路分析】
根据题意画出线段图：
可知，总人数加上150人即为女生人数的3倍，据此计算出女生人数，进而根据倍数关系求
出男生人数即可。
【标准答案】
女生人数：
（750＋150）÷（2＋1）
＝900÷3
＝300（人）
男生人数：300×2－150
＝600－150
＝450（人）
答：男生有450人，女生300人。
4．有8只盒子，每只盒内放有同一种笔。8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、
33支、36支、38支、42支、49支、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，
铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔。这盒水彩笔共有多少支？
5．小月和冬冬看同一本小说，小月打算第一天看50页，接着每天看15页；冬冬则打算每天看22页，最后两人正好在同一天看完。这本小说一共多少页？
6．某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站
到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？
3：爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头。父子二人发
现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10
块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍。请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？
【思路分析】
由题意，如果爸爸多搬10块，冬冬少搬10块，那么爸爸搬的砖头数是冬冬的5倍；如果爸
爸少搬10块，冬冬多搬10块，那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的2倍。对于前一种情况，如
果让爸爸再多搬100块，冬冬再多搬20块，那么爸爸搬的砖头块数仍然是冬冬的5倍，也就
是说如果爸爸多搬110块，冬冬多搬10块，爸爸搬的砖头块数是冬冬的5倍。
【标准答案】
根据分析可得：
爸爸原计划搬的块数为：
（110＋10）÷（5−2）×2＋10
＝120÷3×2＋10
＝80＋10
＝90（块），
冬冬原计划搬的块数为：
（90＋10）÷5＋10
＝100÷5＋10
＝20＋10＝30（块）。
答：爸爸原计划搬90块；冬冬原计划搬30块。
7．北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵数比
黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵？
8．实验小学共有学生 人，男生比女生 倍少 人。问：实验小学男学生和女学生
各有多少人？
9．5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和
每箱葡萄各重多少千克？
4：甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使
甲桶油是乙桶油的2倍？
【思路分析】
根据题意可知，甲、乙两桶油总重量：470＋190＝660（千克）；当甲桶油是乙桶油2倍时，
乙桶油是：660÷（2＋1）＝220（千克）；由甲桶倒入乙桶中的油：220－190＝30（千克）。
由此即可解题。【标准答案】
（470＋190）÷（2＋1）－190
＝660÷3－190
＝220－190
＝30（千克）
答：甲桶的油倒入乙桶30千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍。
点睛：此题属于和倍问题，运用关系式：和÷（倍数＋1）＝1倍数（较小数），1倍数（较小
数）×倍数＝几倍数（较大数）；关键是找到数量和与它对应的倍数和。
10.小敏有 元，小花有 元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的 倍？
11.一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？
12.学校买来一些乒乓球和羽毛球共 个，乒乓球的个数是羽毛球的 倍。买来的乒
乓球和羽毛球各多少个？
诺伯特维纳的故事世纪著名数学家诺伯特·维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业
了。几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士。 在博士学位的授予
仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为
数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，
这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、
9，全都用上了，不重不漏。
这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的
大事业。” 维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上
的人，都在议论他的年龄问题。 这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业：
他成为信息论的前驱和控制论的奠基人。1：2019国庆70周年大阅兵中，共有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万
人，各型飞机160余架、装备580台（套），是近几次阅兵中规模最大的一次。其中59个方
（梯）队分为徒步方队、装备方队和空中梯队，已知徒步方队的数量比空中梯队的数量多3
个，装备方队的数量是徒步方队的2倍多2个。三种方（梯）队各有多少个？
【思路分析】
本题属于三个量的和倍问题，可以通过画线段图来帮助分析。换线段图时，可以先画徒步方
队，再画装备方队，最后画空中梯队。根据线段图即可列式解决。
【标准答案】
详解：线段图如下：
徒步方队：（59＋3－2）÷（1＋1＋2）
＝60÷4
＝15（个）
装备方队：15×2＋2＝32（个）
空中梯队：15－3＝12（个）
答：徒步方队有15个， 装备方队有32个，空中梯队有12个。
1.今年，妈妈和小红的年龄之和是45岁，并且妈妈的年龄正好是小红年龄的4倍。
妈妈和小红今年各多少岁？
答案：妈妈36岁，小红9岁
分析：根据题意已知了两个数的和以及两个数的倍数关系，根据和倍公式：小数＝和÷（倍数
＋1），大数＝和－小数，代入数据求解即可。详解：45÷（4＋1）
＝45÷5
＝9（岁）
45－9＝36（岁）
答：妈妈今年36岁，小红今年9岁。
2. 花店有百合、玫瑰、郁金香共104枝，其中百合是玫瑰的2倍少20枝，玫瑰是郁
金香的3倍多8枝。问三种花各有多少枝？
答案：郁金香10枝，玫瑰有38枝，百合有56枝
分析：根据题意，如果把郁金香的数量看作1份，则玫瑰有3份多8枝，百合有6份少20－
8×2＝4（枝）；再根据三种花一共有104枝，算出郁金香的数量，进而得出其他两种花的数
量。
详解：把郁金香的数量看作1份，则玫瑰有3份多8枝；
2×3＝6，2×8＝16，20－16＝4（枝），则百合是郁金香的6倍少4枝；
郁金香：（104－8＋4）÷（1＋3＋6）
＝100÷10
＝10（枝）
玫瑰：3×10＋8
＝30＋8
＝38（枝）
百合：6×10－4
＝60－4
＝56（枝）
答：郁金香有10枝，玫瑰有38枝，百合有56枝。
3．学校运来48棵树苗，冬冬、莹莹和丽丽争着去栽。她们三人各自分得树苗若干
棵。丽丽看到冬冬拿得太多，就从冬冬手中抢了9棵，莹莹又从丽丽手中抢了6棵，冬冬又
从莹莹手中抢了7棵。结果，丽丽和莹莹拿的树苗一样多，而冬冬拿的树苗是丽丽和莹莹的棵数之和。问最初冬冬分得多少棵树苗？
答案：26棵
分析：丽丽和莹莹拿的树苗一样多，而冬冬拿的树苗是丽丽和莹莹的棵数之和，因此可以把
丽丽和莹莹的树苗数目都看作1份，则冬冬的树苗数目就是2份，由此可以先求出此时冬冬
的树苗数。再根据“丽丽看到冬冬拿得太多，就从冬冬手中抢了9棵，莹莹又从丽丽手中抢
了6棵，冬冬又从莹莹手中抢了7棵”，可以用倒推的方法，用此时冬冬的树苗数减去7，再
加上9，即可求出冬冬最初拿的树苗棵数。
详解：冬冬最后分得树苗：48÷（2＋1＋1）×2
＝48÷4×2
＝12×2
＝24（棵）
冬冬最初分得树苗：24－7＋9
＝17＋9
＝26（棵）
答：最初冬冬分得26棵树苗。
2： 2016“枫叶新希望杯”成都夏令营共有750名营员参加，其中男生人数比女生人数
的2倍少150人，求男生和女生的人数。
【思路分析】
根据题意画出线段图：
可知，总人数加上150人即为女生人数的3倍，据此计算出女生人数，进而根据倍数关系求
出男生人数即可。
【标准答案】
女生人数：
（750＋150）÷（2＋1）＝900÷3
＝300（人）
男生人数：300×2－150
＝600－150
＝450（人）
答：男生有450人，女生300人。
4．有8只盒子，每只盒内放有同一种笔。8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、
33支、36支、38支、42支、49支、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，
铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔。这盒水彩笔共有多少支？
答案：49支
分析：铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数
的（3＋2＋1）倍。17＋23＋33＋36＋38＋42＋49＋51＝289，289除以6余1，所以水彩笔的
支数除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支。
详解：17＋23＋33＋36＋38＋42＋49＋51＝289（支）
289÷6＝48（支）……1（支）
49÷6＝8（支）……1（支）
答：这盒水彩笔共有49支。
点睛：解答本题的关键是要明确：其中铅笔、钢笔、圆珠笔的总数是6的倍，而8盒笔的总
数不是6的倍数，那么支数不是6的倍数的那盒就是水彩笔。
5．小月和冬冬看同一本小说，小月打算第一天看50页，接着每天看15页；冬冬则
打算每天看22页，最后两人正好在同一天看完。这本小说一共多少页？
答案：110页
分析：小月第一天比冬冬多看了28页，也就是说冬冬以后几天里面要比小月多看28页才能
和小月同时看完小说，所以冬冬应该又看了： （天），那么可以知道这本小说一共： （页），验证： （页）。
详解：50＋[28÷（22－15）]×15
＝50＋[28÷7]×15
＝50＋4×15
＝50＋60
＝110（页）
答：这本小说一共110页。
点睛：解答本题的关键是，冬冬几天可以追上小月第一天比冬冬多看的页数。
6．某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站
到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？
答案：7天
分析：“每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车”，则每天东站增加车：（11
－7）＝4（辆），西站减少4辆车，但两站车辆总数不变为：84＋56＝140（辆）。要使东站
车辆是西站车辆的4倍，西站只能有车辆：140÷（4＋1）＝28（辆）。用西站需要减少的总
车辆数除以每天减少的车辆数，可以得出所求天数：（56－28）÷4＝7（天）。所以，7天后，
东站车辆是西站的4倍。
详解：（84＋56）÷（4＋1）
＝140÷5
＝28（辆）
（56－28）÷4
＝28÷4
＝7（天）
答：7天后，东站车辆是西站的4倍。
点睛：正确理解和倍问题的数量关系是：和÷（倍数＋1）＝小数、小数×倍数＝大数（或两数
和－小数＝大数），是解答此题的关键。
3：爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头。父子二人发
现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍。请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？
【思路分析】
由题意，如果爸爸多搬10块，冬冬少搬10块，那么爸爸搬的砖头数是冬冬的5倍；如果爸
爸少搬10块，冬冬多搬10块，那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的2倍。对于前一种情况，如
果让爸爸再多搬100块，冬冬再多搬20块，那么爸爸搬的砖头块数仍然是冬冬的5倍，也就
是说如果爸爸多搬110块，冬冬多搬10块，爸爸搬的砖头块数是冬冬的5倍。
【标准答案】
根据分析可得：
爸爸原计划搬的块数为：
（110＋10）÷（5−2）×2＋10
＝120÷3×2＋10
＝80＋10
＝90（块），
冬冬原计划搬的块数为：
（90＋10）÷5＋10
＝100÷5＋10
＝20＋10
＝30（块）。
答：爸爸原计划搬90块；冬冬原计划搬30块。
7．北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵数比
黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵？
答案：110朵；190朵
分析：把黄花朵数看作一份，画出线段图如下，从线段图中可以看出，两种花的总和再添上
30朵，正好对应了3份。据此解题即可。
详解：把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：
黄花朵数为：（300＋30）÷（1＋2）
＝330÷3
＝110（朵）
红花朵数为：
300－110＝190（朵）。
答：黄花有110朵，红花有190朵。
点睛：画线段图帮助理解，很容易看出：如果把黄花朵数看作一份，两种花的总和再添上30
朵，正好对应了3份。
8．实验小学共有学生 人，男生比女生 倍少 人。问：实验小学男学生和女学生
各有多少人？
答案：636人；320人
分析：把女生人数看作单位“1”，则男生是女生2倍4人，即女生人数的（1＋2）倍是（956
＋4）人，由此根据已知一个数的几倍是多少，用除法求出女生人数，进而求出男生人数。
详解：（956＋4）÷（2＋1）
＝960÷3
＝960÷3
＝320（人）
956－320＝636（人）
答：女生有320人，男生有636人。
点睛：此题考查了和倍关系，明确女生人数的3倍是（956＋4）人，由此求出女生人数，是
解答此题的关键。
9．5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和
每箱葡萄各重多少千克？
答案：10千克；5千克
分析：5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5
＝15（千克）。把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2＋1）＝5（千克）；每箱苹果重量为：5×2＝10（千克）。
详解：75÷5÷（2＋1）
＝75÷5÷3
＝5（千克）
5×2＝10（千克）
答：每箱苹果重10千克；每箱葡萄重5千克。
点睛：解答此题的步骤是：先求出1箱苹果与1箱葡萄重量和，再利用和倍公式分别求出每
箱苹果和每箱葡萄的质量。
4：甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使
甲桶油是乙桶油的2倍？
【思路分析】
根据题意可知，甲、乙两桶油总重量：470＋190＝660（千克）；当甲桶油是乙桶油2倍时，
乙桶油是：660÷（2＋1）＝220（千克）；由甲桶倒入乙桶中的油：220－190＝30（千克）。
由此即可解题。
【标准答案】
（470＋190）÷（2＋1）－190
＝660÷3－190
＝220－190
＝30（千克）
答：甲桶的油倒入乙桶30千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍。
点睛：此题属于和倍问题，运用关系式：和÷（倍数＋1）＝1倍数（较小数），1倍数（较小
数）×倍数＝几倍数（较大数）；关键是找到数量和与它对应的倍数和。
10.小敏有 元，小花有 元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的 倍？
答案： 元
分析：总钱数不变，即：14＋10＝24（元），相当于现在小花的（1＋2）倍，根据和倍公式
求出小花现在的钱数，再进一步解答即可。详解：（14＋10）÷（1＋2）
＝24÷3
＝8（元）
10－8＝2（元）
答：小花给小敏2元，小敏的钱数就是小花的2倍。
点睛：此题属于和倍问题，运用关系式：和÷（倍数＋1）＝1倍数（较小数），1倍数（较小
数）×倍数＝几倍数（较大数）；关键是找到数量和与它对应的倍数和。
11.一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？
答案：72平方厘米
分析：先求出长方形长和宽的和：36÷2＝18（厘米），把长方形的宽看作1份，长就是2份，
长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2＋1）＝6（厘米），长是：6×2＝12
（厘米），这个长方形的面积是：12×6＝72（平方厘米）。
详解：假设长方形的宽是1份量，则长是2份，
36÷2÷（2＋1）
＝36÷2÷3
＝6（厘米）
6×2×6＝72（平方厘米）
答：这个长方形的面积是72平方厘米。
点睛：把长方形的宽看作标准量，是解答此题的关键。
12.学校买来一些乒乓球和羽毛球共 个，乒乓球的个数是羽毛球的 倍。买来的乒
乓球和羽毛球各多少个？
答案：8个；32个
分析：羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数，40个就相当于（4＋1）份数，
这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘4就是乒乓球的个数。羽毛
球有：40÷4＋1＝40÷5＝8（个），乒乓球有：8×4＝32（个）。
详解：40÷（4＋1）＝40÷5
＝8（个）
8×4＝32（个）
答：羽毛球8个；乒乓球有32个。
点睛：正确理解和倍问题的数量关系是：和÷（倍数＋1）＝小数、小数×倍数＝大数（或两数
和－小数＝大数），是解答此题的关键。
