文档内容
第十一讲 用还原法解题
神秘的魔法宝石
在遥远而神秘的魔法大陆上，有一座美丽的城堡，城堡中藏有一颗具有神奇魔力的宝石，
它能赋予拥有者强大的力量。然而，这颗宝石却被邪恶的黑巫师觊觎已久。
一天夜里，黑巫师施展黑暗魔法，潜入城堡，偷走了魔法宝石。当城堡的守护者们发现时，
宝石已不见踪影。国王得知此事后，心急如焚，立刻召集了全国最聪明、最勇敢的魔法师们，
希望他们能想出办法找回宝石。
魔法师团队中，有一位年轻却极具智慧的魔法师艾莉丝。她仔细观察了城堡中黑巫师留下
的魔法痕迹，决定运用还原法来追踪宝石的下落。
艾莉丝发现，黑巫师偷走宝石后，首先施展了一个空间扭曲魔法，将宝石转移到了距离城
堡东边 300 里的黑暗山谷中。她心里想着：“要找回宝石，第一步就是要回到宝石被转移到
黑暗山谷这个状态。” 于是，艾莉丝施展了反向的空间魔法，将自己传送到了黑暗山谷。
当她到达黑暗山谷时，发现黑巫师又对宝石施展了一个隐匿魔法，把宝石藏在了山谷底部
一个被魔法封印的洞穴里。这个洞穴的封印需要特定的魔法咒语才能解开，而咒语的线索就
藏在黑巫师留下的魔法气息中。艾莉丝集中精神，感受着周围残留的魔法波动，经过一番努
力，她终于解读出了咒语。解开洞穴封印后，艾莉丝发现宝石被放置在一个复杂的魔法阵中
央。
原来，黑巫师为了防止宝石被轻易找回，又在这里施展了一个时间停滞魔法，让宝石处于
时间静止的状态。艾莉丝知道，要想让宝石恢复正常并带走它，就必须破解这个时间魔法。
她回忆起曾经在古老魔法典籍中看到的关于时间魔法的破解方法，经过一番艰苦的魔法运算
和施展，终于成功解除了时间停滞魔法。
然而，这还不是最后一步。黑巫师在离开前，对宝石施加了一个分身魔法，变出了三个一模一样的宝石，真宝石就在这三个宝石之中。艾莉丝仔细观察着这三个宝石，发现它们表面
都散发着微弱的魔法光芒，但光芒的闪烁频率略有不同。她想起之前在研究魔法宝石特性时
了解到，真宝石的魔法光芒闪烁频率是有规律的。通过对比和分析，艾莉丝终于找出了真正
的魔法宝石。
艾莉丝带着魔法宝石回到城堡，国王和城堡中的人们欢呼雀跃。国王对艾莉丝的智慧和勇
敢赞不绝口，重重地赏赐了她。从此，艾莉丝成为了魔法大陆上备受尊敬的魔法师，她用智
慧和勇气守护着魔法宝石，也守护着这片充满魔法的土地。
“一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？”像这样已知
一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。解答还原
问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。
解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想，
直到问题解决。同时，可利用线段图表格帮助理解题意。
1：甲、乙两个书架上共有208本书，如果从甲书架上拿10本书放到乙书架上，两个书
架上的书就同样多，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？
【思路分析】
当两个书架上的书同样多时，每个书架上书的数量等于书的总本数除以2，即208÷2＝104
（本），因为从甲书架上拿10本书放到乙书架上后，甲书架剩下104本，那么甲书架原来书
的数量是104＋10＝114（本），乙书架原来书的数量是104－10＝94（本），据此解答即可。
【标准答案】
208÷2＝104（本）
甲书架：
104＋10＝114（本）乙书架：
104－10＝94（本）
答：原来甲书架上有114本书，乙书架上有94本书。
1.玩具店里有足球和篮球一共74个，卖掉12个足球后，足球和篮球同样多，这个玩
具店原来有足球多少个？篮球多少个？
2. 把一包糖分给12个小朋友，每人4块则会余几块，每人5块又不够，且两种分法
中余下的块数和不够的块数同样多，这包糖共有多少块？
3．丽丽有125枚邮票，如果红红给她30枚邮票，两人的邮票就同样多。红红原有多
少枚邮票？
2： 在学校举行的“六一跳蚤市场”活动中，小明和小军拿出自己的图书售卖。小明
收入了36.5元，如果给小军4.5元，两人的收入就同样多，小军收入多少元？
【思路分析】
小明收入了36.5元，如果给小军4.5元，两人的收入就同样多。小明给小军4.5元后，小明
的钱会减少4.5元，小军的钱会增加4.5元，说明小明的收入比小军多2个4.5元。所以用36.5减去两个4.5即可算出小军收入多少元。
【标准答案】
36.5－4.5＝32（元）
32－4.5＝27.5（元）
答：小军收入27.5元。
4．小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个，小明给小航6个后，
三人的个数同样多。
5．甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙组6
本，这时三个组的图书本数同样多。原来乙组和丙组哪组的图书多，多几本？
6．甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙
给甲3张，那么他们每人各有30张。原来3人各有年历卡多少张？
3：李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，
最后还剩65个鸡蛋没有卖出。李奶奶原来有多少个鸡蛋？
【思路分析】根据题意，画出线段图。从图上可以看出，最后剩下的 65 个鸡蛋加上 10 个正好是余下的一半，余下的一半为
65+10=75个，所以上午卖出后余下75×2=150个；150个加上10个就是总数的一半，所以总
数的一半是150+10=160个，总数为：160×2=320个。
7．竹篮内有若干个李子，取它的一半又1枚给第一人，再取余下的一半又2枚给第
二人，还剩6枚。竹篮内原有李子多少枚？
8．王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多10元存入银行，又拿出余下的一半
多5元买米、米，剩下80元买菜。王叔叔拿工资多少元？
9．妈妈买来一些橘子，小明第一天吃了一半多2个，第二天吃了剩下的一半少2个，
还剩下5个。妈妈买了多少个橘子？
数学家花拉子密的遗嘱
阿拉伯数学家花拉子密的遗嘱，当时他的妻子正怀着他们的第一胎小孩。“如果我亲爱的
妻子帮我生个儿子，我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一；如果是生女
的，我的妻子将继承三分之二的遗产，我的女儿将得三分之一。”。而不幸的是，在孩子出生前，这位数学家就去世了。之后，发生的事更困扰大家，他的妻
子帮他生了一对龙凤胎，而问题就发生在他的遗嘱内容。
如何遵照数学家的遗嘱，将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢？1：甲、乙两个书架上共有208本书，如果从甲书架上拿10本书放到乙书架上，两个书
架上的书就同样多，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？
【思路分析】
当两个书架上的书同样多时，每个书架上书的数量等于书的总本数除以2，即208÷2＝104
（本），因为从甲书架上拿10本书放到乙书架上后，甲书架剩下104本，那么甲书架原来书
的数量是104＋10＝114（本），乙书架原来书的数量是104－10＝94（本），据此解答即可。
【标准答案】
208÷2＝104（本）
甲书架：
104＋10＝114（本）
乙书架：
104－10＝94（本）
答：原来甲书架上有114本书，乙书架上有94本书。
1.玩具店里有足球和篮球一共74个，卖掉12个足球后，足球和篮球同样多，这个玩
具店原来有足球多少个？篮球多少个？
答案：足球43个；篮球31个
分析：已知足球和篮球一共74个，卖掉12个足球后，足球和篮球同样多，先用减法计算，
用74减去12，求得的差就是2倍的篮球的数量，再用除法计算，除以2，就是篮球个数；用
篮球的个数加上12，就是足球的个数；列式计算即可。
详解：根据分析计算如下：
74 12＝62（个）
62÷2＝31（个）
31＋12＝43（个）
答：这个玩具店原来有足球43个，篮球31个。2. 把一包糖分给12个小朋友，每人4块则会余几块，每人5块又不够，且两种分法
中余下的块数和不够的块数同样多，这包糖共有多少块？
答案：54块
分析：由题目可知，给12个好朋友分糖，每人4块，需要12×4＝48块；每人5块，需要
12×5＝60块。给12个小朋友分糖，每人4块余几块，每人5块又不够，则糖的块数大于48
小于60，剩下的和不够的块数同样多，先用（60－48）÷2算出剩下的块数，再加48，即可
解题。
详解：由分析可知：
12×4＝48（块）
12×5＝60（块）
（60－48）÷2
＝12÷2
＝6（块）
48＋6＝54（块）
答：共有54块糖
3．丽丽有125枚邮票，如果红红给她30枚邮票，两人的邮票就同样多。红红原有多
少枚邮票？
答案：185枚
分析：如果红红给丽丽30枚邮票，两人的邮票就同样多，说明红红比丽丽多2个30枚邮票，
所以丽丽的邮票枚数加2个30等于红红原有邮票的枚数，据此即可解答。
详解：125＋30＋30
＝155＋30
＝185（枚）
答：红红原有185枚邮票。
2： 在学校举行的“六一跳蚤市场”活动中，小明和小军拿出自己的图书售卖。小明收入了36.5元，如果给小军4.5元，两人的收入就同样多，小军收入多少元？
【思路分析】
小明收入了36.5元，如果给小军4.5元，两人的收入就同样多。小明给小军4.5元后，小明
的钱会减少4.5元，小军的钱会增加4.5元，说明小明的收入比小军多2个4.5元。所以用
36.5减去两个4.5即可算出小军收入多少元。
【标准答案】
36.5－4.5＝32（元）
32－4.5＝27.5（元）
答：小军收入27.5元。
4．小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个，小明给小航6个后，
三人的个数同样多。
答案：10-6=4（个） 6-4=2(个)
分析：小松给小明10个，小明得到10-6=4个，小航得到6个，6-4=2（个）；小航多得到2
个后两人一样多，所以小明原来比小航多2个。
5．甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙组6
本，这时三个组的图书本数同样多。原来乙组和丙组哪组的图书多，多几本？
答案：6×2=12（本） 13-12=1（本）
分析：从乙组给丙组6本图书后两个组图书的本数同样多，可知乙组比丙组多6×2=12（本）
图书，而甲组借给乙组13本图书，12＜13，所以原来丙组比乙组的图书多，多13-12=1
（本）。
6．甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙
给甲3张，那么他们每人各有30张。原来3人各有年历卡多少张？
答案：甲：30+13-3=40(张)
乙：30+23-13=40（张）
丙：30+3-23=10(张)3：李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，
最后还剩65个鸡蛋没有卖出。李奶奶原来有多少个鸡蛋？
【思路分析】根据题意，画出线段图。
从图上可以看出，最后剩下的 65 个鸡蛋加上 10 个正好是余下的一半，余下的一半为
65+10=75个，所以上午卖出后余下75×2=150个；150个加上10个就是总数的一半，所以总
数的一半是150+10=160个，总数为：160×2=320个。
7．竹篮内有若干个李子，取它的一半又1枚给第一人，再取余下的一半又2枚给第
二人，还剩6枚。竹篮内原有李子多少枚？
答案：（6+2）×2=16（枚） （16+1）×2=34（枚）
8．王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多10元存入银行，又拿出余下的一半
多5元买米、米，剩下80元买菜。王叔叔拿工资多少元？
答案：（80+5）×2=170（元） （170+10）×2=360（元）
9．妈妈买来一些橘子，小明第一天吃了一半多2个，第二天吃了剩下的一半少2个，
还剩下5个。妈妈买了多少个橘子？
答案：（5-2）×2=6（个） （6+2）×2=16（个）
