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第十六讲 最佳安排
第一部分：趣味数学
影子的形成
1.影子的形成。
当光透过不透明物体时，会形成阴影。当太阳光或月光照在人身上便会形成影子，它是
部分光线行进时遇到遮蔽物，光线强弱对比形成阴影。影子的形成一定得有三个条件：光源，
媒介物，成像体，三者缺一不可。
2.影子长短的变化与光照的角度有关系：光照角度越大（即光照方向越接近头顶）影子
就越短；光照角度越小（即光照方向越倾斜）影子越长。
3.立竿见影就是竖立一根竿子，就能看见影子。许多年前人们就利用影子来计时，影子
最短为中午。这时太阳离地球最近，所以光照角度最大，影子最短；傍晚太阳离地球最远，
所以影子最长。
第二部分：奥数小练
专题简析：
我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时间有大学问吗？合理地 安排时间，
往往会达到事半功倍的效果。科学地安排时间的方法，就叫做最佳安排。
小朋友在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事：（2）做每件事
需要的时间；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。
在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。
【例题1 】 明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水
灌入水瓶要2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟。应该怎样安排时间最少？最少
要几分钟？
【思路导航】经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。
水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以
和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示：1分钟 12分钟 2分钟
洗水壶 烧开水 灌水瓶
8分钟 2分钟
吃早点 整理书包
从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、
整理书包，水开了就灌入水瓶，共需15分钟。
练习一：
1.红红早晨起来刷牙洗脸要4分钟，读书要8分钟，烧开水要10分钟，冲牛奶1分钟，
吃早饭5分钟。红红应怎样合理安排？起床多少分钟就能上学了？
2.玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟，烧开水要12分钟，买茶叶5分钟，洗茶杯
要1分钟，冲茶要1分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就
能喝上茶了？
3.小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间5分钟，把衣服和水放入
洗衣机要1分钟，洗衣服自动洗涤要12分钟，擦鞋要3分钟。怎样合理安排，小李阿姨在多
少分钟后就可以出发了？
【例题2】 贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的
架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？
【思路导航】先放第一、二两个烧饼贴第一面，过3分钟后，拿下第一个，并把第二个
翻过去，并放上第三个烧饼；过2分钟拿下第二个，并放第一个烧饼，过1分钟把第三个烧
饼翻过来；再过1分钟取下第一个烧饼，再过1分钟三个烧饼全贴完了，只用了8分钟。
3＋2＋1＋1＋1=8分钟
练习二：
1.用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟，烙第二面需要1分
钟。现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？2.烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要 2分钟，那么烤三个
面包最少需要多少分钟？
3.小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一
面要1分钟，可小红烙6个饼只用了5分钟，她是怎么做的？
【例题3】 甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地，他们同时用一台收割机进行收割，甲
的麦地需要收割4小时，乙的麦地需要收割 1小时，丙的麦地需要收割 3小时，丁的
麦地需要收割2小时。怎样安排四人的顺序，他们花的总时间最少？最少时间是多少？
【思路导航】所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时间的总和，因为各自收割
的时间不变，所以在安排收割的顺序时，应该使等的时间尽可能少，即应该安排收割时间少
的人先用，顺序是：乙、丁、丙、甲，过程可用下表表示：
乙收割 丁收割 丙收割 甲收割
的时间 的时间 的时间 的时间
乙等的时间 1
丁等的时间 1 2
丙等的时间 1 2 3
甲等的时间 1 2 3 4
从表中可以看出，四人收割的时间为：1＋2＋3＋4=10小时，三人等的时间为：1×3＋
2×2＋3=10小时，所以，最少时间为10＋10=20小时。
练习三：
1.甲、乙、丙三人都要到同一水龙头下取水，甲需要用 2分钟，乙需要用4分钟，丙需
要用1分钟。怎样安排，他们花的总时间最少？最少时间是多少？
2.卫生室里有四名同学等候医生治病，甲打针要 3分钟，乙换纱布需要4分钟，丙涂红
药水需要2分钟，丁点眼药水需要1分钟。怎样安排，他们在医院等候的时间和最少？最少
是多少分？
3.三个顾客到同一个柜台去买东西，甲需要用4分钟，乙需要用6分钟，丙需要用2分
钟。怎样安排他们购买的顺序，使他们所花的总时间最少？最少是多少？【例题4 】 在一条公路上每隔50千米有一个粮库，共4个粮库。甲粮库存有10吨粮
食，乙粮库存有20吨粮食，丁粮库存有50吨粮食，还有一个粮库是空的。现在想把
所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要1元的运费，那么最少要
花多少运费才行？
甲 乙 丙 丁
10吨 20吨 50吨
【思路导航】这种运输问题，运的货物越重路程越远，花费就越多。反之，如果移动的
货物重量小路程近，花费的费用就少。在本题中，各粮库之间的距离相等都是50千米，一般
原则是“少往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比较节约，甲、乙两仓库粮食合起来是 30
吨，还不如丁粮库的粮食多，所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用
1×10×50×3=1500元，乙粮库需要1×20×50×20=2000元，共用1500＋2000=3500元。
练习四：
1.一条公路上每隔20千米有1个仓库，共有5个仓库。1号仓库存有20吨货物，2号仓
库存有30吨货物，5号仓库存有70吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所存的货物集中
在一个仓库中，如果每吨货物运1千米要1元运费，那么最少要花多少运费？
1号 2号 3号 4号 5号
20吨 30吨 70吨
2.一条公路有四个储油站，它们之间都相隔 100千米。甲储油站有50吨油，乙储油站
储有10吨油，丙储油站有20吨油，丁储油站是空的。现在如果想把所存的油集中于一个储
油站，每吨油运1千米要2元运费，那么最少要花多少运费？
甲 乙 丙 丁
50吨 10吨 20吨
3.一条公路有三所小学分别为A、B、C，在什么地方设一个汽车站，才能使用三个学校
的学生上学放学所行的总路程最少？A B C
【例题5 】 小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需 2分
钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河，要
把4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？
【思路导航】要使过河时间最少，应抓住以下两点：（1）同时过河的两匹马相差时间
尽可能小些，才能使花时间少的马在过河时少浪费时间；（2）过河后应骑时间少的那匹马回
来。因此，赶马的顺序是：小明先骑甲马赶乙马一起过河，再骑甲马返回，共需3＋2=5分钟；
然后骑丙马赶丁马一起过河后，再骑乙马返回，7＋3=10分钟；最后骑在甲马背上赶乙马一
起过河，不再回来，共需3分钟。所以，4匹马都赶到对岸去最少时间是5＋10＋3=18分钟。
练习五：
1.明明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁 4头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛过
河需2分钟，丙牛过河需5分钟，丁牛过河需6分钟。每次只能赶两头牛过河，要把4头占都
赶到对岸去，最少要多少分钟？
2.小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁 4匹马，甲马过河需7分钟，乙马过河要
2分钟，丙马过河要3分钟，丁马过河要8分钟。每次只能两匹马过河，要把4匹马都赶到对
岸去，最少要多少分钟？
3.小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要1分钟，乙
牛过河要2分钟，丙牛过河要3分钟，丁牛过河要4分钟，戊牛过河要5分钟，己牛过河要6
分钟。每次只能三头牛过河，要把6头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？
第三部分：数学史话
丁渭修皇宫
北宋真宗年间，首都发生火灾，皇宫被烧为灰烬。丁渭受命主持修复，当时不执行皇 命
即为抗旨。接旨后他对废墟进行勘察，发现此工程存在三难题：第一是取土困难。第二是运
输困难。第三是清墟排放的困难。他找到了主要矛盾后，就征集解决方案。最后他从众多方
案中综合出了一个最佳方案，这个方案最终使其成功，提前完成了“皇宫修复工程”。方案是这样的：沿皇宫前门大道至汴水河岸挖道取土，将大道挖成小河道，挖出的土用
来烧瓦，解决“取土困难”。挖成河道接通汴水，建筑材料可由小河道直运工地，解决“运
输困难”。皇宫修复后，将建筑垃圾填到小河道中，恢复原来的大道，解决了“清墟排放”
的困难。
丁渭修复皇宫的措施很巧妙，当解决一个问题时又为下一个问题的解决做好了铺垫，这
使他用了很少的时间和经费就修好了皇宫。他充分把握了各个要素之间的相生关系，运用
“大道变河道”、“挖土来烧瓦”、“废墟填河道”这三个事件之间互相关系，使整个工程
系统向有序并且理想的方向发展，最终达到修复皇宫按期完成圣旨效果。在这个过程中，系
统的每一个环节都彼此之间相连，破坏了其中任何一个事件，整个工程系统都会受到影响。
世界上没有独立存在的事物，每一种事物都是和其他事物联系而存在的，这是一切事物
的客观本性。在事物联系的普遍性的三个含义中的第二条“任何事物都不能孤立存在，都是
和其他事物处于一定的互相联系之中” ，事物之间普遍存在着联系，从无机界到有机界，从
自然社会到人类社会，任何事物都处在普遍联系、交互作用中，不存在完全孤立的东西。
从“丁渭修复皇宫”可以看出，三个难题“取土困难，运输困难，清墟排放困难”，如
果把每一个难题都当作是一个孤立而存在的问题的话那么需要解决的就是三个独立的问题，
可想而知要找地方挖土、修路解决运输还有最后的废墟运出排放是个多么庞大的工程，解决
这个工程恐怕他要完不成圣旨了。但是他把这三个问题互相联系起来，合并成为一个大问题，
从一开始的大道变河道就开始为后面的解决问题做好了准备工作，把挖河道出来的土用来烧
纸砖瓦解决了挖河道出土的问题，而挖河道又为工程的材料运输解决了难题，河运既省时又
省力，保证了工程的顺利进行，而工程结束后剩下的建筑垃圾又回填至河道，把河道又变成
大道。平整了当时挖的河道，每一个做法都不是单独为了完成本项 任务，而是为了下一步的
工作做好准备，为下一步工作提供便利。在当今社会此方法就是纯绿色环保。
马克思主义关于事物普遍联系的原理，要求人们要善于分析事物的具体联系，确定整体
性、开放性观念，从动态中考察事物的普遍联系。当代中国正在以科学发展观为指导构建社
会主义和谐社会，这就要求我们正确认识和处理人与自然、人与人、人与社会的相互关系，
正确认识和处理中国特色社会主义事业中的重大关系，坚持统筹兼顾，促进经济社会的协调
和持续发展，促进人的全面发展。当今社会是开发的社会，在经济全球化的趋势下，各个国
家、各个民族之间的相互联系日趋紧密，这就要求我们树立世界眼光，顺应世界潮流，把握
世界发展进程中诸方面的相互关系，抓住机遇，努力发展自己。
从中我们要学会按照客观事物本身的系统性，把问题对象放在系统的形式中加以考察。从系统的观点出发，始终着重从整体与部分要素之间，整体与外部环境的相互联系、相互作
用、相互制约的关系中综合地、精确地考察对象，提示系统性质和运动规律，从而达到最佳
地处理问题的一种方法。当解决问题时，不要只想一个问题，要把问题联系到一起，看看是
否有共同点，找到他们之间互相的联系，解决一个问题的时候最好是把解决下一个问题的铺
垫给做出来。从一个系统的方面去考虑问题，事物之间必然会有一些这样或那样的联系，只
要弄清楚就会想到一些更好的解决方案。
事物之间的联系是多样性的，不同的联系构成事物内部和事物之间的存在状态和发展趋
势。在解决事物时，要善于发觉事物的各种联系，统筹规划，找到最优解决方案。这就是马
克思唯物论的价值所在。
参考答案：
练习一：
1.一共需要4+8+1+5＝18（分钟）婷婷可以在刷牙洗脸和读数的同时烧开水，然后再冲牛奶，
吃早饭，这样起床后18分钟就能上学了。
2.根据题干分析可得，先洗水壶用 2分钟，烧开水用12分钟，在这12分钟内可以同时洗茶
杯、买茶叶、节约1+5＝6分钟，最后再沏茶用1分钟。
一共需要2+12+1＝15（分钟）
3.1+12＝13（分钟）首先把衣服和水放入洗衣机，然后在自动洗涤的这段时间里，完成整理
房间和擦鞋，最后等洗好衣服即可出发，据此解答。
练习二：
1.先烙1号饼和2号饼第一面（用时2分钟），接着烙3号饼的第一面和1号饼的第二面（用
时2分钟），最后烙3号饼和2号饼的第二面（用时1分钟），这样烙3个饼只需要2+2+1＝
5（分钟）
2.第一次烤1正、2正（2分钟），第二次烤1反、3正（2分钟），第三次烤2反，3反（2
分钟），2+2+2＝6（分钟），烙3张饼至少需要6分钟。
3.可以这样烙，第一个2分钟是烙1、2、3、4的正面2分钟，第二个2分钟是烙5、6号饼的
正面2分钟，同时烙1、2号饼的反面1分钟后取出来，最后1分钟烙3、4、5、6号饼反面1
分钟，这样正好5分钟。
练习三：1.1×3+2×2+4＝11（分钟）要使等候的时间最少，需要让用时最少的先取水，即按丙－甲－
乙的顺序使等候的时间和最少，这时当丙先接时需要三人等候，当甲接时需要两人等候，当
乙
接时只有一人等候，等候时间的总和为11分钟。
2.因为1分钟<2分钟<3分钟<4分钟，所以就诊顺序是：丁－丙－甲－乙
等待时间就是1×4+2×3+3×2+4＝20分钟。
3. 要使等候的时间最少，需要让用时最少的先买，即按丙－甲－乙的顺序使等候的时间和最
少，这时当丙先买时需要三人等候，当甲买时需要两人等候，当乙买时只有一人等候，等候
时间的总和为2×3+4×2+6＝20分钟。
练习四：
1.都集中在5号仓库运费最少20×4+20×1+20×3×30×1＝3400（元）
2.2×（10×1+20×2）×100＝10000（元）
3.要使三个学校的学生上学，放学所行的总路程最少，应将车站设置在 B校，因为A、C两校
的学生到B校的距离最短。
练习五：
1.因为甲最快，所以来回骑牛如果都能骑甲最好，又因为丙丁较慢，如果一起走，可以不浪
费甲乙的速度。因此，先骑甲赶乙过河，骑乙回来，最后骑甲赶乙过河。总用时 2+1+6+2+2
＝14分钟。
2.3+2+4+2+9＝20（分）
3.甲乙先过河，甲返回，用时1+2＝3（分钟），甲丙过河，甲返回，用时：3+1＝4（分钟），
甲丁过河，用时4分钟，最少要4+4+3＝11分钟，最少需要11分钟。
