文档内容
第十四讲 平均数问题（二）
第一部分：趣味数学
小熊卖鱼
小熊的妈妈生病了，为了能挣钱替妈妈治病，小熊每天天不亮就起床下河捕鱼，赶早市
到菜场卖鱼。
一天，小熊刚摆好鱼摊，狐狸、黑狗和老狼就来了。小熊见有顾客光临，急忙招呼：
“买鱼吗，我这鱼刚捕来的，新鲜着呢!”狐狸边翻弄着鱼边问：“这么新鲜的鱼，多少钱一
千克?”小熊满脸堆笑：“便宜了，四元一千克。”老狼摇摇头：“我老了，牙齿不行了，我
只想买点鱼身。”小熊面露难色：“我把鱼身卖给你，鱼头、鱼尾卖给谁呢? ”狐狸甩甩尾
巴道：“是呀，这剩下的谁也不愿意买，不过，狼大叔牙不好，也只能吃点鱼肉。这样吧，
我和黑狗牙好，咱俩一个买鱼头，一个买鱼尾，不就既帮了狼大叔，又帮了你熊老弟了吗?”
小熊一听直拍手，但仍有点迟疑："好倒好，可价钱怎么定?”狐狸眼珠一转，答道：“鱼身
2元1千克，鱼头、鱼尾各1元1千克，不正好是4元1千克吗?”小熊在地上用小棍儿画了
画，然后一拍大腿：“好，就这么办!”四人一齐动手，不一会儿就把鱼头、鱼尾、鱼身分好
了，小熊一过秤，鱼身35千克70元;鱼头15千克15元，鱼尾10千克10元。老狼、狐狸和
黑狗提着鱼，飞快地跑到林子里，把鱼头鱼身鱼尾配好，重新平分了，……
小熊在回家的路上，边走边想：我60千克鱼按4元1千克应卖240元，可怎么现在只卖
了95元……小熊怎么也理不出头绪来。
你知道这是怎么一回事吗?
答案：鱼身每斤少卖2元，少卖了70元，鱼头每斤少卖了3元，少卖了45元，鱼尾每斤
少卖了3元，少卖了30元，一共少卖了145元。
第二部分：奥数小练
专题简析：前面我们已经向同学们介绍了用基本数量关系式来求平均数的方法了，如果题目中没
有直接告诉我们总数量以及总份数，那又该怎么办呢？这类题可以拓宽同学们的解题思路，
从而提高解题的能力。
解答平均数问题的关键是要找准问题与条件，条件与条件之间相对应的关系，通常要
先确定总数量以及与总数量相对应的总份数，再求平均数。
【例题1】 华华3次数学测验的平均成绩是89分，4次数学测验的平均成绩是90分。
第4次测验多少分？
【思路导航】根据 3 次数学测验平均成绩是 89 分，可求出 3 次测验的总成绩是
89×3=267 分；根据 4 次数学测验平均成绩是 90 分，可以求出 4 次测验的总成绩是
90×4=360分，最后求出第4次测验成绩是：360－267=93分。
也可以这样想：4次测验的平均成绩比3次的平均成绩多了90－89=1分，4次共多出
了1×4=4分，那么第4次的测验成绩就是89＋4=93分。
练习一：
1.有4个采茶小队，甲、乙、丙三个小队平均每队采20千克，甲、乙、丙、丁四个队
平均每队采22千克。丁队采了多少千克？
2.期中考试后，王英的语文、数学平均成绩是 92分，加上英语后，三门的平均成绩
是93分。英语考了多少分？
3.明明、红红两人的平均体重是 32千克，加上英英的体重后，他们的平均体重就上
升了1千克。英英重多少千克？
【例题2 】 宁宁期中考试语文、数学、自然的平均分是91分，英语成绩公布后，他的
平均分提高了2分。宁宁英语考了多少分？
【思路导航】宁宁语文、数学、自然的平均分是 91分，可以求出三门功课的总分为
91×3=273分；英语成绩公布后，四门功课的平均分为 91＋2=93分，总分为93×4=372分，
所以，英语成绩为372－273=99分。
练习二：
1.小英4次数学测验的平均分是92分，5次数学测验的平均分比4次的平均分提高1
分。小英第5次测验得多少分？
2.小王、小张、小刘三人体育测试平均成绩是 82分，如果加上小顾，四人平均成绩就提高了4分。小顾体育测试分数是多少？
3.一个同学读一本书，共10天读完，平均每天读8页。前5天他平均每天读6页，后
5天这个同学平均每天读多少页？
【例题3 】 有7个数的平均数为8，如果把其中一个数改为1，这时7个数的平均数
是7。这个被改动的数原来是几？
【思路导航】改动前，7个数的平均数为8，这7个数的总和是8×7=56；改动后7个
数的平均数是7，这时7个数的总和是7×7=49，改动前后总和相差了56＋49=7，这说明
原数比1多了7，因而原数为1＋7=8。
练习三：
1.有5个数的平均数是5，如果把其中一个数改为2，这5个数的平均数是4。这个被
改动的数原来是几？
2.期中考试中小明4门功课的平均分是94分，由于老师批改的错误，其中有一门功课
的成绩被改为87分，这时4门功课的平均分是92分。这个被改动的成绩原来是多少？
3.有3个数的平均数是3，如果把其中一个数改为10，那么这3个数的平均数是5。
这个被改动的数原来是多少？
【例题4】 有4个数，这4个数的平均数是21，其中前两个数的平均数是15，后3
个数的平均数是26。第二个数是多少？
【思路导航】根据“4个数的平均数是15”可以得出4个数的总数就是21×4=84；又
根据“前2个数的平均数是15，后3个数的平均数是26”可以得出它们的总数为15×2＋
26×3=108，其中第二个数被重复算了一次，所以总数就多出了 108－84=24，这多出的24
就是第二个数。
练习四:
1.有4个数，它们的平均数是34，其中前3个数的平均数是30，后2个数的平均数是
36。第三个数是多少？
2.有4个数，平均数是100，前两个数的平均数是95，后3个数的平均数是98。第二
个数是多少？
3.小林的语文、数学、英语、社会4门测试的平均分是89，前3门的平均分为92，后
两门的平均分为88。小林英语测试多少分？【例题5 】 甲地到乙地相距30千米，爸爸骑自行车从甲地到乙地每小时行15千米，
从乙地到甲地每小时行10千米。求爸爸往返的平均速度。
【思路导航】求爸爸往返的平均速度，必须知道总路程和总时间，总路程是两个全程，
即30×2=60千米；总时间是去的时间与返回的时间的和，即 30÷15＋30÷10=5小时。所
以，爸爸往返的平均速度是：60÷5=12（千米/小时）。
练习五:
1.摩托车驾驶员以每小时20千米的速度行了60千米，返回时每小时行30千米。往返
全程的平均速度是多少千米？
2.一辆汽车以每小时20千米的速度上坡，行了120千米，然后用每小时30千米的速
度返回。求这辆汽车全程的平均速度。
3.某生产小组一天的工作任务都是生产300个零件。第一天以每小时30个的速度完成
任务，第二天以每小时生产60个的速度完成任务。在这两天的工作时间内，平均每小时
生产多少个？
第三部分：数学史话
历史上的平均数
平均数的应用很多，不过它最早是用来估计较大的数据。约公元4世纪。印度有棵枝叶
茂盛的大树，某人想估计其果实的数目。他首先计算了根部一条细枝上果实的数目，再数出
整棵大数的细枝的数目，然后将两数相乘得到估计值为2095尽管不能确定他如何选择那条细
枝，但猜测他应该是选择了一条具有平均大小的细枝。类似地。我们可以估计某市某街道一
天通过的车辆数。也可以估计我们掌握的英文单词数量。
天文学的发展促进了统计学的发展。也使得平均数更有用武之地，1585年，荷兰数学家
斯蒂文（1548－1620）系统地探讨了十进制记数法，并发明了小数。这就为平均数推广到n
个数的情形提供了便利。当时，天文学家需要计算多个观测值的平均数。以便把误差降低到
较小的程度。最为典型的是，丹麦天文学家第谷（1546-1601）把对观察数据分组的技巧引入
了天文学1572年11月11，第谷发现了仙后座中的一颗新星。后来。他受丹麦国王的邀请，
在岛建造了天文观象台。经过20年的天文观测，第谷发现了许多天文现象，其观测精度之高，
令同时代的学者望尘莫及。比如，为获得某天文学数值的估计里，他先从1582年的天文观察
数值中。挑选了3个数据；又把1582年至1588年的24个数据，两两任意分组，分别求出其平均数，得到12个数据；最后求出所得的15个数据的平均数，作为真值估计。第谷所编制
的恒星表相当准确，至今仍有学术价值。开普勒（1571～1630）就是在第谷天文观测数据的
基础上。发现了行星运动的三大定律。英国科学家、数学家哈雷（1656-1743）的名字永远和
哈雷彗星联系在一起。1705年，他根据天文观测数据。发现了一个彗星的运动周期，预言其
将于1758年返同地球。虽然哈雷没能亲眼看到预言实现，但1758年彗星再次照了夜空！哈
雷在处理数据方面也有特色才能。他根据统计数据得出布雷斯劳市一些人口方面的结论：平
均每年出生18人，其中平均有34B个婴儿不到1岁就天折，平均有692人的寿命为70岁，平
均每年有1174人去世等。
参考答案：
练习一：
1.22×4－20×3＝28（千克）
2.93×3－92×2＝95（分）
3.32+3＝35（千克）
练习二：
1.（92+1）×5－92×4＝97（分）
2. （82+4）×4－82×3＝98（分）
3.（8×10－5×6）÷5＝10
练习三：
1.5×5－5×4+4＝9（分）
2.（94－92）×4+92＝100（分）
3.10－（5×3－3×3）＝4（分）
练习四：
1.3×30+2×36－4×34＝26（分）
2.95×2+98×3－100×4＝84（分）
3.92×3+88×2－89×4＝96（分）
练习五：
1.60×2÷（60÷20+60÷30）＝24（千米）
2.120×2÷（120÷20+120÷30）＝24（千米）
3.300×2÷（300÷30+300÷60）＝40（个）
