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第十八讲 巧求周长（二）
爱丽丝的魔法卡片
爱丽丝在神秘的魔法森林里探险时，偶然发现了一个古老的魔法盒子。盒子上刻满了奇怪
的图案，还有一张提示纸条，上面写着：只有算出这些图形的周长，才能打开盒子，获得神
奇魔法。
爱丽丝好奇极了，她仔细观察盒子上的图形，发现都是一些不规则的多边形。这可难不倒
聪明的爱丽丝，她想起了之前学过的图形转化知识。
爱丽丝看到其中一个图形，像一个缺了角的正方形。她运用平移的方法，将缺角处的边平
移到合适位置，瞬间，这个图形就变成了一个完整的正方形。爱丽丝测量出正方形的边长为
6 厘米，根据正方形周长公式：边长 ×4，算出这个图形的周长是 6×4 = 24 厘米。
接着，爱丽丝又遇到一个类似 “Z” 字形的图形。她再次巧妙平移，把它转化为一个长
方形，测量出长是 9 厘米，宽是 4 厘米，通过长方形周长公式算出其周长为 (9 + 4)×2 =
26 厘米。
就这样，爱丽丝凭借智慧，把一个个不规则图形转化为规则图形，成功算出了所有图形的
周长。随着一阵光芒闪烁，魔法盒子缓缓打开，里面飞出一张闪耀着光芒的魔法卡片，赋予
了爱丽丝自由穿梭森林的能力。从此，爱丽丝在魔法森林里的探险更加顺利了。
在解答比较复杂的关于长方形、正方形周长计算的问题时，生搬硬套公式往往行不通，这
时灵活地运用所学知识在解题中显得相当的重要。解答稍复杂的有关长方形、正方形周长的问题，首先要仔细观察，认真思考，想想已知条
件和要求问题之间有什么联系，应该先求什么，再求什么，然后灵活运用长方形、正方形周
长公式进行计算。
1：用若干个边长都是 厘米的平行四边形与三角形(如下图)拼接成一个大的平行四边形，
已知大平行四边形的周长是 厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？
【标准答案】
39
【思路分析】
大平行四边形上、下两边的长为 厘米，观察上边，每 厘米有两个平行四边
形的边， ，所以有三角形 个，小平行四边形 个．
1.如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，
这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和 形区域乙和丙．甲的周长为 厘米，乙的边长是
甲的周长的 倍，丙的周长是乙的周长的 倍，那么丙的周长为多少厘米？ 长多少厘米？2. 右图中的阴影部分 是正方形，线段 长 厘米，线段 长 厘米，则长
方形 的周长是多少厘米？
3．如下图是某校的平面图，已知线段a＝120米，b＝130米，c＝70米，d＝60米，l
＝250米．杨老师每天早晨绕学校跑3圈，问每天跑多少米？
2： 如右图，正方形 的边长是 厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方
形分成 个小长方形．这 个小长方形的周长之和是多少厘米？
【标准答案】72
【思路分析】
从总体考虑，在求这 个小长方形的周长之和时， 、 、 、 这四条边被用了 次，
其余四条虚线被用了 次，所以 个小长方形的周长之和是： （厘米）．
4．下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长2厘米，求这个零件的周
长．
5．右图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形．求
这个图形的周长？
6．把长2厘米、宽1厘米的若干个长方形摆成图的形式，那么该图形的周长是多少厘米?
3：如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单位：
厘米)．求：图中所有长方形的周长之和．
【标准答案】
136
【思路分析】
类似于上题，题目中所说的长方形，并不只包括最小的几个长方形，因此需要先求出每条线
段在求和过程中被累加了多少次．
因为没从大长方形的长上找到一条线段，就能对应地找到大长方形内的一个长方形，所以可
以利用上一个问题的结论来解决这个问题．当然，要考虑到，每个长方形都有两条长和两条
宽，因此计算过程中应该注意不要漏算．
先考虑大长方形的长上各边：应用上一道题目的结论，每条边上长为4、3、1、2的线段分别
被计算了4、6、6、4次．
然后再考虑大长方形的宽：因为共有 个长方形，所以长度为2的宽被计算了
次．
故总周长可以用下式计算得到： ．7．甲、乙两只蚂蚁同时从 点出发，沿长方形的边爬去，结果在距 点 厘米的 点
相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的 倍，求这个长方形的周长．
8．求右图所示图形的周长(单位：分米)
9．图⑴、图⑵都是由完全相同的正方形拼成的，并且图⑴的周长是 厘米，那么图
⑵的周长是多少厘米？4：用若干个边长都是 厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，
已知大平行四边形的周长是 厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？
【标准答案】
40
【思路分析】
大平行四边形上、下两边的长为 厘米，观察上边，每 厘米有两个平行四边
形的边，所以共有小平行四边形 个，而三角形的数量与小平行四边形的数量相等，
也是 个．
10.如图，正方形的边长为 ，被分割成如下 个小长方形，求这 个小长方形的所
有周长之和．
11.右图是由 个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是 平方厘米，
那么它的周长是多少厘米？12.右图的周长是多少分米？
勾三股四弦五
周公是周武王之弟，名旦，是一位很有本事、很有贤德的人。武王死后，其子尚小，就由
周公摄政，主持一切。
周公旦礼贤下士，甚至于“一沐三握发，一饭三吐哺”。也就是说他勤于接待，洗发时三
次握着头发停下来不洗，吃饭时三次吐出食物，急忙迎客，殷勤待土。这就是所谓“握发吐
哺”的来历了。
话说这高商亦是当时的一位算学大家，“高级知识分子”。周公也经常和他讲论算学。这一天周公与商高又见了面，行一番“吐、握”之事，彼此按周礼躬让一阵，就开了讲。
周公很虚心地向商高请教：“我听说，大夫很精通数的艺术。是不是请您谈谈，古代伏羲
是怎样确定天球的度数的?天是没有一种梯子能登攀得上的，地也无法用尺子来测量。因此我
很想问问您，这些数字是从哪里来的?”
商高施了一礼，回答说：“数的艺术是从圆形和方形开始的。圆形出自方形，而方形则是
用矩(带边的丁字尺)作出来的。而矩的制作出于‘九九’乘法表。一个矩形沿对角线对折起
来，如果勾长三单位，股长四单位，那么弦长一定是五单位。昔日大禹治水，就是用这样一
些方法。”
周公听了很感叹，又接着说道：“数这门艺术真是了不起啊!我想再请教应用矩的道
理。”
这里的矩，是一种工具，所谓“不以规矩，不成方圆”，有点像现在的丁字尺。
商高一听到这话题，更来了劲，不由得侃侃道来：
“把矩平放在地上，可以用绳子设计出平直的和方形的工程。把矩竖立起来，可以测量高
度。倒立的矩可用来测量深浅，而平放的矩则可用测出距离。让矩旋转，可以画出圆形;把几
个矩合在一起，可以得到正方形和长方形。”
接着，他又谈到了天和地：
“方形属于地，而圆形则属于天，所以天是圆的，而地则是方的。方形的数是标准，从方
形的数可以推出圆形的大小来。”
“天像一个笠子。天的颜色是蓝的和黑的，地的颜色是黄的和红的。可以用一个按照天的
数制成的圆盘来表示天，朝上的一面像外表面一样，是蓝色和黑色的;朝下的一面像内表面一
样，是红色和黄色的。这就是天和地的形象再现出来了。”
商高随后又发表了一番议论：“对地有所了解的人是聪明人，而对天有所了解的人则是圣
人。‘矩’和‘数’结合起来，就是指导和统治万物的东西。”
周公听得都入了迷，隔了好一会才回过神来，不由得感慨地说：“这确实是太妙了。”
这一段记在《骨髀算经》上的故事，大约已经有三千年左右了。这说明人们很早就认识了
几何图形。最早认识的，就是正方形和圆形。而且在周朝以前，就有了车辆，所以当时不但
认识了圆，而且能造出圆。
这商高确实了不起!他不但认识到勾三股四弦五，而且还是个天文学家，有了天圆地方、
天像个笠子盖在地上这样一种初步认识。古代的许许多多数和形的知识就是从天文观察和测
量中得来的;古时许多天文学家就是数学家，而数学家又同时是天文学家。1：用若干个边长都是 厘米的平行四边形与三角形(如下图)拼接成一个大的平行四边形，
已知大平行四边形的周长是 厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？
【标准答案】
39
【思路分析】
大平行四边形上、下两边的长为 厘米，观察上边，每 厘米有两个平行四边
形的边， ，所以有三角形 个，小平行四边形 个．
1.如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，
这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和 形区域乙和丙．甲的周长为 厘米，乙的边长是
甲的周长的 倍，丙的周长是乙的周长的 倍，那么丙的周长为多少厘米？ 长多少厘米？
答案：2
详解：乙的周长实际上是正方形AHJE的周长(我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向
下平移)，同样的，丙的周长也就是正方形 的周长．由于 ， ，
所以丙的周长为 厘米，
(厘米)．
2. 右图中的阴影部分 是正方形，线段 长 厘米，线段 长 厘米，则长方形 的周长是多少厘米？
答案：84
详解：本题需要注意，长方形 的宽应等于正方形 的边长．
由于图中阴影部分 是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形 的宽．
的和应为长方形 的长加上正方形 的边长，所以等于长方形 的长与
宽之和．所以长方形 的周长为： 厘米．
3．如下图是某校的平面图，已知线段a＝120米，b＝130米，c＝70米，d＝60米，l
＝250米．杨老师每天早晨绕学校跑3圈，问每天跑多少米？
答案：3780
详解：
平移法转化为长方形再求．［(120＋130+60)＋(70+250)］×2×3＝3780(米)．
2： 如右图，正方形 的边长是 厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方
形分成 个小长方形．这 个小长方形的周长之和是多少厘米？【标准答案】
72
【思路分析】
从总体考虑，在求这 个小长方形的周长之和时， 、 、 、 这四条边被用了 次，
其余四条虚线被用了 次，所以 个小长方形的周长之和是： （厘米）．
4．下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长2厘米，求这个零件的周
长．
答案：48
详解：平移法，将锯齿状的零件转化成平行四边形，两组对边相等都等于24厘米 ，所以这
个零件的周长是24×2=48(厘米)．
5．右图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形．求
这个图形的周长？
答案：76
详解：平移法．{[(3+5)×3+3]+5}×2+6×(5-3)2=76(厘米)6．把长2厘米、宽1厘米的若干个长方形摆成图的形式，那么该图形的周长是多少
厘米?
答案：78
详解：如下图，我们以最宽部分分界，将原图形分为上、下两个部分．
有上面部分的横向长度和为2×12＝24厘米，竖向长度和为1×12×2＝24厘米；下面部分的横
向长度和为2×12＝24厘米，竖向长度和为1×4＝4厘米；
所以，该图形的周长为24+24+24+4＝78厘米．
3：如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单位：
厘米)．求：图中所有长方形的周长之和．
【标准答案】
136【思路分析】
类似于上题，题目中所说的长方形，并不只包括最小的几个长方形，因此需要先求出每条线
段在求和过程中被累加了多少次．
因为没从大长方形的长上找到一条线段，就能对应地找到大长方形内的一个长方形，所以可
以利用上一个问题的结论来解决这个问题．当然，要考虑到，每个长方形都有两条长和两条
宽，因此计算过程中应该注意不要漏算．
先考虑大长方形的长上各边：应用上一道题目的结论，每条边上长为4、3、1、2的线段分别
被计算了4、6、6、4次．
然后再考虑大长方形的宽：因为共有 个长方形，所以长度为2的宽被计算了
次．
故总周长可以用下式计算得到： ．
7．甲、乙两只蚂蚁同时从 点出发，沿长方形的边爬去，结果在距 点 厘米的 点
相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的 倍，求这个长方形的周长．
答案：44厘米
详解：两只蚂蚁在距 点 厘米的 点相遇，说明乙比甲一共多走了 (厘米)．又知乙蚂
蚁的速度是甲蚂蚁的 倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：
5，所以甲爬的路程是 (厘米)，乙爬的路程是 (厘米)，
长方形的周长为 (厘米)。
8．求右图所示图形的周长(单位：分米)答案：220
详解：这道题最简单的方法也是用平移法来解．下面我们来看一个基本解法．
这是一个组合图形，由两个矩形组成，不要误认为两个矩形周长的和就是组合图形的周长．
仔细观察图形可以发现：右边矩形的右边边长可以移到左边，这样就可以使左边的矩形变得
完整．所以，这个组合图形的周长就是左边矩形的周长再加上右边矩形的一条已知边长的
倍．
即： (分米)
9．图⑴、图⑵都是由完全相同的正方形拼成的，并且图⑴的周长是 厘米，那么图
⑵的周长是多少厘米？
答案：33
详解：图⑴的周长是小正方形边长的 倍，图⑵的周长是小正方形边长的 倍，因此，图⑵
的周长为 厘米．
4：用若干个边长都是 厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，
已知大平行四边形的周长是 厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？
【标准答案】40
【思路分析】
大平行四边形上、下两边的长为 厘米，观察上边，每 厘米有两个平行四边
形的边，所以共有小平行四边形 个，而三角形的数量与小平行四边形的数量相等，
也是 个．
10.如图，正方形的边长为 ，被分割成如下 个小长方形，求这 个小长方形的所
有周长之和．
答案：56
详解： ．
11.右图是由 个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是 平方厘米，
那么它的周长是多少厘米？
答案：170
详解：考虑此类问题我们即可以局部分析，各个突破，也可以纵观全局整体思考．
每个正方形的面积为 (平方厘米)，所以每个正方形的边长是 厘米．观察右图，这
个图形的周长从上下方向来看是由 条正方形的边组成，从左右方向来看是由
条正方形的边组成，所以其周长为12.右图的周长是多少分米？
答案：26
详解：把那些与水平方向平行的小线段都”放”下来，恰好与底边一致；把竖直方向的小线
段都依次”贴到”左边，恰好贴满左边，因此多有的短横线的长的和为 分米，所有的短竖
线的长的和为 分米，图形的周长为 (分米)
