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第十六讲 最佳安排
忙碌的周末
林晓是个忙碌的上班族，好不容易迎来周末，她计划好好利用这两天时间放松身心、处理
琐事，还要为下周工作做准备。
周六早上，林晓睁开眼就开始思考如何安排。她决定先去菜市场买菜，为家人准备一顿丰
盛午餐。7 点，她准时出门，此时菜市场人不算多，她迅速挑选了新鲜食材，8 点半就回到
家。
接着，她开始打扫房间。先整理客厅，把杂物归位，擦拭家具，10 点完成客厅清扫。然
后清扫卧室、厨房和卫生间，到 12 点全部打扫完毕。此时，午饭时间到，林晓用刚买的食
材为家人做了美味午餐。
下午，林晓打算去看一场期待已久的电影。她提前在手机上订好下午 2 点的票，1 点半
出门，乘坐地铁准时到达电影院。看完电影已经 4 点多，她顺便在商场逛了逛，买了些生活
用品。
晚上，林晓拿出时间阅读一本专业书籍，为下周工作充电。她知道合理分配时间能让自己
在放松娱乐的同时，不耽误提升自我。
周日，林晓计划完成一些工作任务。早上 9 点，她坐在书桌前，整理上周工作文件，撰
写工作总结和下周工作计划，11 点半完成。
下午，她和朋友约好去公园散步、聊天。在公园的湖边，她们享受着大自然的宁静，分享
彼此的生活点滴，放松心情。傍晚回到家，林晓为家人准备晚餐，之后陪家人一起看电视，
享受温馨的家庭时光。
这个周末，林晓通过合理规划，既完成了家务、工作任务，又享受了休闲娱乐时光，让自
己得到充分休息，以更好的状态迎接新一周的工作。我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时间有大学问吗？合理地安排时间，往
往会达到事半功倍的效果。科学地安排时间的方法，就叫做最佳安排。
小朋友在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事：（2）做每件事需
要的时间；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。
在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。
1：学校有一个长80米、宽64米的长方形大院，同学们计划用31.4米长的木栅栏围一
块地作为劳动实践基地，请你设计一个方案，使基地的面积尽可能大些．
【标准答案】
面积为78.5平方米
【思路分析】
根据题意，周长相等的平面图形中圆的面积最大，可根据圆的周长公式计算出这个圆的半径，
然后再根据这个圆的面积公式进行计算即可得到答案．
解：圆的半径为：31.4÷3.14÷2
=10÷2，
=5（米），
圆的面积为：3.14×52=78.5（平方米），
答：要使基地的面积最大可围成圆形，围成的面积为78.5平方米．
1.哈利波特的魔杖被敌人藏在了魔法迷宫中．如图，迷宫共有25个房间，分别标有
号码，魔杖就在13号房间中．在这座迷宫中有如下的机关：每次走进一个房间，就会立刻被
转移到标有相同号码的那个房间，然后再走进相邻的一个房间（有公共边的房间是相邻的），
立刻又会被转移，如此继续．如果哈利波特先走入了1号房间，并要走进最中间的13号房间，请你写出转移次数最少的路线上依次经过的房间号（相同的房间号只写一个即可）．如果偶
数号房间是陷阱，哈利波特要不重复的经过所有的奇数号房间，最终到达13号房间，有多少
种不同的可能路线？
2. 商场举行促销活动，在购买商品时，每消费50元现金就可以得到一张20元的购
物券，每消费100元现金就能得到一张50元的购物券．现在小明要买37件10元的商品，他
该怎样去买才能让花出去的钱最少？
3．4个相同的盒子排成一排，小悦把6个相同的棋子分装在这些盒子中，其中恰有
一个盒子没有装棋子，然后她外出了，冬冬从三个有棋子的盒子里各拿1个棋子放在空盒内，
再把盒子重新排了一下．小悦回来后查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子．请问：
开始时这4个盒子中分别有多少颗棋子？
2： 一名农夫带着一条狗、一只兔子和一筐白菜要过河．现在只有一条小船，农夫一
次最多带一样东西过河．农夫不在的时候，狗会咬兔子，兔子会吃白菜．请问：农夫用什么
办法可以将三样东西安全地带过河呢？【标准答案】
第一次带兔子过河，剩下狗和白菜；
第二次带白菜过河，剩下狗，但回来的时候要把兔子再带回来；
第三次带狗过河，剩下兔子；
最后带兔子过河．
【思路分析】
“他不在时，狗会咬兔子，兔子会吃白菜”那么他不在时，不要把狗和兔子安排在一起，以
及兔子和白菜安排在一起，据此解答．
解：第一次带兔子过河，剩下狗和白菜；
第二次带白菜过河，剩下狗，但回来的时候要把兔子再带回来；
第三次带狗过河，剩下兔子；
最后带兔子过河．
如此一共要带四次才可以完成．
4．三年级一班共有49名同学．现在他们要渡过一条河，只有一条可乘7人的橡皮船，
每过一次河需要花3分钟．请问：利用这条橡皮艇把全班同学都运到河对岸，最少需要多少
分钟？
5．甲、乙、丙、丁四个人在晚上过一座桥，桥每次最多容纳两个人一起通过．过桥
需要手电筒，而四人只有1支手电筒，甲、乙、丙、丁单独过桥需要的时间分别为1分钟、2
分钟、5分钟、10分钟．请问：怎样安排过桥顺序，才能使四个人过桥的总时间最短？这个
最短时间是多少分钟？（不允许过桥后将电筒扔回，只能让人携带回来）6．有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一
堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁
取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
3：甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规则是：每人每次只能放一枚，
硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．如果甲先放，那么
他怎样放才能取胜？
【思路分析】
我们用对称的思想来分析一下．圆是关于圆心对称的图形，若A是圆内除圆心外的任意一点，
则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（见右图，其中AO=OB）．所以，圆内除圆心外，任
意一点都有一个（关于圆心的）对称点．由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的
圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币．也就是说，只
要乙能放，甲就一定能放．最后无处可放硬币的必是乙．
【标准答案】
甲的获胜策略是：
如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放
置硬币，这样才能取胜．
7．有两个水桶，其中一个水桶可装 8 升水，另一个水桶可装 3 升水， 现在只用这两个水桶，怎样才能取出 1 升水呢？
答案：用3升水桶装满水倒入8 升水桶，第三次倒剩下的就是1 升水 3×3-8=1
8．一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩，先置若干根火柴于桌上，两人轮流取，
每次所取的数目可先做一些限制，规定取走最后一根火柴者获胜．
（1）规则一：若限制每次所取的火柴数目最少1根，最多3根，则如何制胜？
例如：桌面上有n＝15根火柴，甲、乙两人轮流取，甲先取，则甲应如何取才能制胜？
（2）规则二：限制每次所取的火柴数目为1至4根，则如何制胜？
（3）规则三：限制每次所取的火柴数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如1、3、7，
则又该如何制胜？
（4）规则四：限制每次所取的火柴数是1或4(一个奇数，一个偶数)
9．甲、乙两人轮流报数，每人都只能报2、3、5、7中的一个，把两人报的数累加．
如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜．请问：谁有必胜策略？
4：把一枚棋子放在图中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动
棋子，只能向上、向右或者向右上方沿45°角移动，一次可以移动任意多格．谁把棋子移到了
右上角的方格中即为输，试问：如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么？【标准答案】
甲首先走1格，乙直接到达最上端红格，甲不得不走到顶点；甲若首先走2格，则乙直接到
达第2个红格，甲只能到达它旁边的三个格，然后乙到达第一个红格，甲不得不输；依此类
推，只要乙跟在甲的后面控制这5个点，乙一定获胜．
【思路分析】
根据游戏规则，谁首先把棋子移到了右上角方格的下一个格，则另一人必须把棋子移到了右
上角的方格中即为输，所以如果甲先走，则乙有必胜的策略．如下图所示，甲首先走，则乙
跟着只要首先到达下面的五个点，无论怎么走甲都不可能一步到达右上角方格的下一个格，
乙即可获胜．
解：甲首先走1格，乙直接到达最上端红格，甲不得不走到顶点；甲若首先走2格，则乙直
接到达第2个红格，甲只能到达它旁边的三个格，然后乙到达第一个红格，甲不得不输；依
此类推，只要乙跟在甲的后面控制这5个点，乙一定获胜．
点评：甲首先移动，乙跟在后面有选择权，6步后，乙向上同样控制5个红格，乙必胜．
10.如图，五角星上共有10个交点和15条小线段．甲首先将一枚棋子放在A点上，
并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到
下一个相邻的交点上，之后甲再走，…，如此下去．如果要求每条小线段都不能重复经过，
并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略？11.有十个村，坐落大县城出发的一条公路上（如下图所示，距离单位是千米），要
安装水管，从县城送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村 用水，
细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元，把粗管和细管
适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最 节约的办法，费用应是多少？
12.2008个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放
一枚．规定如下：每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋
子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输．如果乙一开
始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必胜策略？
丁渭修皇宫
北宋真宗年间，首都发生火灾，皇宫被烧为灰烬。丁渭受命主持修复，当时不执行皇命即
为抗旨。接旨后他对废墟进行勘察，发现此工程存在三难题：第一是取土困难。第二是运输困难。第三是清墟排放的困难。他找到了主要矛盾后，就征集解决方案。最后他从众多方案
中综合出了一个最佳方案，这个方案最终使其成功，提前完成了“皇宫修复工程”。
方案是这样的：沿皇宫前门大道至汴水河岸挖道取土，将大道挖成小河道，挖出的土用来
烧瓦，解决“取土困难”。挖成河道接通汴水，建筑材料可由小河道直运工地，解决“运输
困难”。皇宫修复后，将建筑垃圾填到小河道中，恢复原来的大道，解决了“清墟排放”的
困难。
丁渭修复皇宫的措施很巧妙，当解决一个问题时又为下一个问题的解决做好了铺垫，这使
他用了很少的时间和经费就修好了皇宫。他充分把握了各个要素之间的相生关系，运用“大
道变河道”、“挖土来烧瓦”、“废墟填河道”这三个事件之间互相关系，使整个工程系统
向有序并且理想的方向发展，最终达到修复皇宫按期完成圣旨效果。在这个过程中，系统的
每一个环节都彼此之间相连，破坏了其中任何一个事件，整个工程系统都会受到影响。
世界上没有独立存在的事物，每一种事物都是和其他事物联系而存在的，这是一切事物的
客观本性。在事物联系的普遍性的三个含义中的第二条“任何事物都不能孤立存在，都是和
其他事物处于一定的互相联系之中” ，事物之间普遍存在着联系，从无机界到有机界，从自
然社会到人类社会，任何事物都处在普遍联系、交互作用中，不存在完全孤立的东西。
从“丁渭修复皇宫”可以看出，三个难题“取土困难，运输困难，清墟排放困难”，如果
把每一个难题都当作是一个孤立而存在的问题的话那么需要解决的就是三个独立的问题，可
想而知要找地方挖土、修路解决运输还有最后的废墟运出排放是个多么庞大的工程，解决这
个工程恐怕他要完不成圣旨了。但是他把这三个问题互相联系起来，合并成为一个大问题，
从一开始的大道变河道就开始为后面的解决问题做好了准备工作，把挖河道出来的土用来烧
纸砖瓦解决了挖河道出土的问题，而挖河道又为工程的材料运输解决了难题，河运既省时又
省力，保证了工程的顺利进行，而工程结束后剩下的建筑垃圾又回填至河道，把河道又变成
大道。平整了当时挖的河道，每一个做法都不是单独为了完成本项 任务，而是为了下一步的
工作做好准备，为下一步工作提供便利。在当今社会此方法就是纯绿色环保。
马克思主义关于事物普遍联系的原理，要求人们要善于分析事物的具体联系，确定整体性、
开放性观念，从动态中考察事物的普遍联系。当代中国正在以科学发展观为指导构建社会主
义和谐社会，这就要求我们正确认识和处理人与自然、人与人、人与社会的相互关系，正确
认识和处理中国特色社会主义事业中的重大关系，坚持统筹兼顾，促进经济社会的协调和持
续发展，促进人的全面发展。当今社会是开发的社会，在经济全球化的趋势下，各个国家、各个民族之间的相互联系日趋紧密，这就要求我们树立世界眼光，顺应世界潮流，把握世界
发展进程中诸方面的相互关系，抓住机遇，努力发展自己。
从中我们要学会按照客观事物本身的系统性，把问题对象放在系统的形式中加以考察。从
系统的观点出发，始终着重从整体与部分要素之间，整体与外部环境的相互联系、相互作用、
相互制约的关系中综合地、精确地考察对象，提示系统性质和运动规律，从而达到最佳地处
理问题的一种方法。当解决问题时，不要只想一个问题，要把问题联系到一起，看看是否有
共同点，找到他们之间互相的联系，解决一个问题的时候最好是把解决下一个问题的铺垫给
做出来。从一个系统的方面去考虑问题，事物之间必然会有一些这样或那样的联系，只要弄
清楚就会想到一些更好的解决方案。
事物之间的联系是多样性的，不同的联系构成事物内部和事物之间的存在状态和发展趋势。
在解决事物时，要善于发觉事物的各种联系，统筹规划，找到最优解决方案。这就是马克思
唯物论的价值所在。1：学校有一个长80米、宽64米的长方形大院，同学们计划用31.4米长的木栅栏围一
块地作为劳动实践基地，请你设计一个方案，使基地的面积尽可能大些．
【标准答案】
面积为78.5平方米
【思路分析】
根据题意，周长相等的平面图形中圆的面积最大，可根据圆的周长公式计算出这个圆的半径，
然后再根据这个圆的面积公式进行计算即可得到答案．
解：圆的半径为：31.4÷3.14÷2
=10÷2，
=5（米），
圆的面积为：3.14×52=78.5（平方米），
答：要使基地的面积最大可围成圆形，围成的面积为78.5平方米．
1.哈利波特的魔杖被敌人藏在了魔法迷宫中．如图，迷宫共有25个房间，分别标有
号码，魔杖就在13号房间中．在这座迷宫中有如下的机关：每次走进一个房间，就会立刻被
转移到标有相同号码的那个房间，然后再走进相邻的一个房间（有公共边的房间是相邻的），
立刻又会被转移，如此继续．如果哈利波特先走入了1号房间，并要走进最中间的13号房间，
请你写出转移次数最少的路线上依次经过的房间号（相同的房间号只写一个即可）．如果偶
数号房间是陷阱，哈利波特要不重复的经过所有的奇数号房间，最终到达13号房间，有多少
种不同的可能路线？
答案：有一种不同的可能路线．详解：试题分析：由表格中的号码可知：13号房间和9号房间和3号房间相邻，首先从1号
如果进入临近的3号，则被转移到上面的3号房间，距离13会越来越远；从1号如果进入1
号，再进入临近的11号，进入邻近的9号，则被转移到9号房间，直接进入13号房间即可；
所以要使转移次数最少的路线上依次经过的房间号为1﹣11﹣9﹣13，只有一种情形，
解：从1号如果进入1号，再进入临近的11号，进入邻近的9号，则被转移到9号房间，直
接进入13号房间即可；
所以要使转移次数最少的路线上依次经过的房间号为1﹣11﹣9﹣13．
答：有一种不同的可能路线．
点评：解决此题的关键是理解题意，考虑邻近原则，探讨转移次数最少的路线解决问题．
2. 商场举行促销活动，在购买商品时，每消费50元现金就可以得到一张20元的购
物券，每消费100元现金就能得到一张50元的购物券．现在小明要买37件10元的商品，他
该怎样去买才能让花出去的钱最少？
答案：他先买25件商品才能让花出去的钱最少．
详解：试题分析：小明要买37件10元，总共花费370元钱，他可以先买25件商品，花费
250元，每消费100元现金就能得到一张50元的购物，每消费50元现金就可以得到一张20
元的购物券，他可以得到两张50元的购物券和一张20元购物券，总共有120元购物券，可
以买回12件商品，25+12=37件，这样只花费了250元，据此解答即可．
解：先买25件商品，花费250元；
100+100+50=250元；
他可以得到两张50元的购物券和一张20元购物券共120元购物券；
用120元购物券买回12件商品；
12+25=37件；
这样只花费了250元钱；
答：他先买25件商品才能让花出去的钱最少．
点评：解答本题时分两步：第一，先花费250元钱买回25件商品，可以得到120元购物券；
第二，用120元购物券买回12件，这样37件商品就买回了．
3．4个相同的盒子排成一排，小悦把6个相同的棋子分装在这些盒子中，其中恰有一个盒子没有装棋子，然后她外出了，冬冬从三个有棋子的盒子里各拿1个棋子放在空盒内，
再把盒子重新排了一下．小悦回来后查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子．请问：
开始时这4个盒子中分别有多少颗棋子？
答案：开始时这4个盒子里分别有0个，1个，2个，3个棋子．
详解：试题分析：变化后盒子和棋子的数量与原来相同，其中一个盒子仍是空盒，一个盒子
里面有3个棋子，得出剩下一个盒子的棋子数量，从而得解．
解：没有发现有人动过这些盒子和棋子，说明变化后盒子和棋子的数量与原来相同，其中一
个盒子仍是空盒，所以这个盒子里面原来只有1个棋子；
从三个有棋子的盒子里各拿1个棋子放在空盒内，所以原来有一个盒子是3个棋子；
6﹣1﹣3=2（个）
还剩下2个棋子在第三个盒子里．
答：开始时这4个盒子里分别有0个，1个，2个，3个棋子．
点评：解决本题关键是先逆推出其中一个盒子里面有1个棋子，以及有一个盒子里面有3个
棋子．
2： 一名农夫带着一条狗、一只兔子和一筐白菜要过河．现在只有一条小船，农夫一
次最多带一样东西过河．农夫不在的时候，狗会咬兔子，兔子会吃白菜．请问：农夫用什么
办法可以将三样东西安全地带过河呢？
【标准答案】
第一次带兔子过河，剩下狗和白菜；
第二次带白菜过河，剩下狗，但回来的时候要把兔子再带回来；
第三次带狗过河，剩下兔子；
最后带兔子过河．
【思路分析】
“他不在时，狗会咬兔子，兔子会吃白菜”那么他不在时，不要把狗和兔子安排在一起，以
及兔子和白菜安排在一起，据此解答．
解：第一次带兔子过河，剩下狗和白菜；
第二次带白菜过河，剩下狗，但回来的时候要把兔子再带回来；
第三次带狗过河，剩下兔子；最后带兔子过河．
如此一共要带四次才可以完成．
4．三年级一班共有49名同学．现在他们要渡过一条河，只有一条可乘7人的橡皮船，
每过一次河需要花3分钟．请问：利用这条橡皮艇把全班同学都运到河对岸，最少需要多少
分钟？
答案：45分钟．
详解：试题分析：由于来往过河需要一名舵手，所以前几次只能每次送6人过河，49÷6=8
（次）…1（人），当运第7次后，还剩7人，这时正好够一船过河，所以需要运8次；最后
1次只走1趟，而其余7次要来回，
因此，共走了15趟，那么过河的总时间是：3×15=45（分钟），据此解答．
解：因为有1人要当舵手把船划过来，也就是前7次均渡过6人，6×7=42（人），
第8次渡7人刚好49人．
48﹣42=7（人），
第1次只走1趟，而其余7次要来回，则7×2+1=15趟，
15×3=45（分钟）．
答：全班同学运到河对岸至少需要45分钟．
故答案为45．
点评：解此题关键是理解渡船就要有一个撑船的，实际上除最后一次，每次只能坐6人．
5．甲、乙、丙、丁四个人在晚上过一座桥，桥每次最多容纳两个人一起通过．过桥
需要手电筒，而四人只有1支手电筒，甲、乙、丙、丁单独过桥需要的时间分别为1分钟、2
分钟、5分钟、10分钟．请问：怎样安排过桥顺序，才能使四个人过桥的总时间最短？这个
最短时间是多少分钟？（不允许过桥后将电筒扔回，只能让人携带回来）
答案：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们
往返送灯会节省时间，
故：（1）1分钟的和2分钟的先过桥（此时耗时2分钟）．
（2）1分钟的回来，（此时共耗时3分钟）．（3）5分钟的和10分钟的过桥（共耗时2+1+10=13分钟）．
（4）2分钟的回来（共耗时2+1+10+2=15分钟）．
（5）1分钟的和2分钟的过桥（共耗时2+1+10+2+2=17分钟）．
此时全部过桥，共耗时17分钟．
详解：试题分析：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过
桥，让他们往返送灯会节省时间，进而分别分析得出即可．
解：根据要求出四个人过桥最少时间，即可得出应首先让用时最少的两人先过桥，让他们往
返送灯会节省时间，
故：（1）1分钟的和2分钟的先过桥（此时耗时2分钟）．
（2）1分钟的回来，（此时共耗时3分钟）．
（3）5分钟的和10分钟的过桥（共耗时2+1+10=13分钟）．
（4）2分钟的回来（共耗时2+1+10+2=15分钟）．
（5）1分钟的和2分钟的过桥（共耗时2+1+10+2+2=17分钟）．
此时全部过桥，共耗时17分钟．
答：最短的时间是17分钟．
点评：此题主要考查了应用类问题，结合实际发现用时最少的两人先过桥往返送灯会节省时
间是解题关键．
6．有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一
堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁
取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
答案：甲必胜
分析：既然规定谁取得最后一根火柴谁胜，那么可以先假设甲获胜，然后采用逆推法分析，
求出每一次取，剩下的火柴可能是多少，最终倒推得到最初甲应该从那一堆里面取，该如何
取。
详解：假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根火柴，所
以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）（1，1）；要想
乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙
怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）。所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜。
答：甲会获胜。
点睛：本题考查的是必胜策略的问题，既然都采取最佳策略，就要从最利于自己的角度来分
析问题。
3：甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规则是：每人每次只能放一枚，
硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．如果甲先放，那么
他怎样放才能取胜？
【思路分析】
我们用对称的思想来分析一下．圆是关于圆心对称的图形，若A是圆内除圆心外的任意一点，
则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（见右图，其中AO=OB）．所以，圆内除圆心外，任
意一点都有一个（关于圆心的）对称点．由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的
圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币．也就是说，只
要乙能放，甲就一定能放．最后无处可放硬币的必是乙．
【标准答案】
甲的获胜策略是：
如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放
置硬币，这样才能取胜．
7．有两个水桶，其中一个水桶可装 8 升水，另一个水桶可装 3 升水， 现在只用
这两个水桶，怎样才能取出 1 升水呢？
答案：用3升水桶装满水倒入8 升水桶，第三次倒剩下的就是1 升水 3×3-8=18．一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩，先置若干根火柴于桌上，两人轮流取，
每次所取的数目可先做一些限制，规定取走最后一根火柴者获胜．
（1）规则一：若限制每次所取的火柴数目最少1根，最多3根，则如何制胜？
例如：桌面上有n＝15根火柴，甲、乙两人轮流取，甲先取，则甲应如何取才能制胜？
（2）规则二：限制每次所取的火柴数目为1至4根，则如何制胜？
（3）规则三：限制每次所取的火柴数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如1、3、7，
则又该如何制胜？
（4）规则四：限制每次所取的火柴数是1或4(一个奇数，一个偶数)
答案：（1）解:为了取得最后一根，甲必须最后留下零根火柴给乙，故在最后一步之前的轮
取中，甲不能留下1根或2根或3根，否则乙就可以全部取走而获胜．如果留下4根，则乙不
能全取，则不管乙取几根(1或2或3)，甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏．同理，若桌
上留有8根火柴让乙去取，则无论乙如何取，甲都可使这一次轮取后留下4根火柴，最后也
一定是甲获胜．由上述分析可知，甲只要使得桌面上的火柴数为4、8、12、16……让乙去取，
则甲必稳操胜券．因此若原先桌面上的火柴数为15，则甲应先取3根(因为15－3＝12)，若原
先桌面上的火柴数为18，则甲应先取2根(因为18－2＝16)
（2）解:有n根火柴，每次可取1至k根，则甲每次取后所留的火柴数目必须为k＋1的倍数
（3）解:若开局是奇数，则先取者必胜；若开局为偶数，则先取者会输
（4）解:若甲先取，则甲每次取时所留火柴数为5的倍数或5的倍数加2
详解：解答：规则一：若限制每次所取的火柴数目最少1根，最多3根，则为了取得最后一
根，甲必须最后留下零根火柴给乙，故在最后一步之前的轮取中，甲不能留下1根或2根或3
根，否则乙就可以全部取走而获胜．如果留下4根，则乙不能全取，则不管乙取几根(1或2
或3)，甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏．同理，若桌上留有8根火柴让乙去取，则无
论乙如何取，甲都可使这一次轮取后留下4根火柴，最后也一定是甲获胜．由上述分析可知，
甲只要使得桌面上的火柴数为4、8、12、16……让乙去取，则甲必稳操胜券．因此若原先桌面
上的火柴数为15，则甲应先取3根(因为15－3＝12)，若原先桌面上的火柴数为18，则甲应
先取2根(因为18－2＝16)；
规则二：限制每次所取的火柴数目为1至4根，则有n根火柴，每次可取1至k根，则甲每次
取后所留的火柴数目必须为k＋1的倍数；
规则三：限制每次所取的火柴数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如1、3、7，则若开局是奇数，则先取者必胜；若开局为偶数，则先取者会输；
规则四：限制每次所取的火柴数是1或4(一个奇数，一个偶数)，则若甲先取，则甲每次取时
所留火柴数为5的倍数或5的倍数加2.
故答案为规则一：若限制每次所取的火柴数目最少1根，最多3根，则为了取得最后一根，
甲必须最后留下零根火柴给乙，故在最后一步之前的轮取中，甲不能留下1根或2根或3根，
否则乙就可以全部取走而获胜．如果留下4根，则乙不能全取，则不管乙取几根(1或2或
3)，甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏．同理，若桌上留有8根火柴让乙去取，则无论
乙如何取，甲都可使这一次轮取后留下4根火柴，最后也一定是甲获胜．由上述分析可知，
甲只要使得桌面上的火柴数为4、8、12、16……让乙去取，则甲必稳操胜券．因此若原先桌面
上的火柴数为15，则甲应先取3根(因为15－3＝12)，若原先桌面上的火柴数为18，则甲应
先取2根(因为18－2＝16)；
规则二：限制每次所取的火柴数目为1至4根，则有n根火柴，每次可取1至k根，则甲每次
取后所留的火柴数目必须为k＋1的倍数；
规则三：限制每次所取的火柴数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如1、3、7，则若
开局是奇数，则先取者必胜；若开局为偶数，则先取者会输；
规则四：限制每次所取的火柴数是1或4(一个奇数，一个偶数)，则若甲先取，则甲每次取时
所留火柴数为5的倍数或5的倍数加2.
分析：根据因数和倍数的运用进行解答.
9．甲、乙两人轮流报数，每人都只能报2、3、5、7中的一个，把两人报的数累加．
如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜．请问：谁有必胜策略？
答案：甲.
详解：试题分析：根据游戏规则得出谁报数后使和为最小的三位数100，谁第一个报大于或
等于100，谁就获胜，进而分析得出，谁先报2，谁就获胜．于是得出先报者的取胜对策为：
甲首先报数，甲有必胜策略，甲要抢占到92，首先报2，之后与乙配对和为5或10即可．
解：甲有必胜策略，甲要抢占到92，甲首先报2，之后与乙配对和为5或10即可，即乙选
7，则跟着选3，若乙选5，则甲跟着选5，若乙选2，则甲选3…一定甲首先报92，乙即使报
最大的数7，加上92，只是99，甲然后报四个中任意一个都可获胜；则甲必胜．
点评：此题主要考查了数字变化规律，根据游戏规则得出数字变化规律是解题关键．4：把一枚棋子放在图中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动
棋子，只能向上、向右或者向右上方沿45°角移动，一次可以移动任意多格．谁把棋子移到了
右上角的方格中即为输，试问：如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么？
【标准答案】
甲首先走1格，乙直接到达最上端红格，甲不得不走到顶点；甲若首先走2格，则乙直接到
达第2个红格，甲只能到达它旁边的三个格，然后乙到达第一个红格，甲不得不输；依此类
推，只要乙跟在甲的后面控制这5个点，乙一定获胜．
【思路分析】
根据游戏规则，谁首先把棋子移到了右上角方格的下一个格，则另一人必须把棋子移到了右
上角的方格中即为输，所以如果甲先走，则乙有必胜的策略．如下图所示，甲首先走，则乙
跟着只要首先到达下面的五个点，无论怎么走甲都不可能一步到达右上角方格的下一个格，
乙即可获胜．
解：甲首先走1格，乙直接到达最上端红格，甲不得不走到顶点；甲若首先走2格，则乙直
接到达第2个红格，甲只能到达它旁边的三个格，然后乙到达第一个红格，甲不得不输；依
此类推，只要乙跟在甲的后面控制这5个点，乙一定获胜．
点评：甲首先移动，乙跟在后面有选择权，6步后，乙向上同样控制5个红格，乙必胜．10.如图，五角星上共有10个交点和15条小线段．甲首先将一枚棋子放在A点上，
并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到
下一个相邻的交点上，之后甲再走，…，如此下去．如果要求每条小线段都不能重复经过，
并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略？
答案：没有．乙必胜．
分析：有5个顶点，外围有10条小线段，甲先走，从外到里，无论怎么走，乙就跟着从里到
外，5次后回到原点，甲一定会走重复的路，甲没有必胜策略，且乙必胜，甲只能由角上的
点走到中间，乙再走回角上的5个点．
详解：乙必胜，甲只能由角上的点走到中间，乙再走回角上的5个点，如图所示：
11.有十个村，坐落大县城出发的一条公路上（如下图所示，距离单位是千米），要
安装水管，从县城送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村 用水，
细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元，把粗管和细管
适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最 节约的办法，费用应是多少？
答案：工程总费用最少为414000元
详解：试题分析：设十个村分别为A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A ，在A 之后，粗
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管可以换成3根或更少根细管，费用将减少，在A 和A 之间，不论安粗管还是四条细管，花
6 7
的钱一样多，在A 以前如果不安粗管安细管，需要5条以上的细管，费用将增加．因此，工
6
程的设计是：从县城到A （A ）安一条粗管；A 、A 之间安三条细管；A 、A 之间安二条细管；
7 6 7 8 8 9A 、A 之间安一条细管这样做，工程总费用最少．
9 10
解：如图，设十个村分别为A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 、A ，
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工程的设计是：从县城到A （A ）安一条粗管；A 、A 之间安三条细管；A 、A 之间安二条细
7 6 7 8 8 9
管；A 、A 之间安一条细管这样做，工程总费用最少．
9 10
（30+5+2+4+2+3+2）×8000+（6+4+5）×2000=414000（元）
答：工程总费用最少为414000元．
点评：粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元，4根细管的价格和1根粗管相等，
3根以下细管比粗管节约是解决此题的关键．
12.2008个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放
一枚．规定如下：每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋
子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输．如果乙一开
始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必胜策略？
答案：乙有必胜的把握．
分析：因为甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚．规定如下：每个空格至多放
一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，
甲必须隔一个位子放．
本题考查最佳对策问题：注意结合条件仔细分析才能找出最佳对策．
详解：根据条件可知：
甲所放的棋子有很大的受限，从左边数的第二个格子，甲不能放，那么乙先空着，所以最后
乙可以放在左数第二个格子里，而甲无处可放，故此乙有必胜的把握．
