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第十八讲
阵列问题
上一讲讨论了有关直线和环形上的排列问题，其实在日常生活中我们遇到的更多是排成一个阵列，
最常见的就是正方形阵和长方形阵，例如：
其中正方形阵又可以简称为方阵，这就是本讲主要讨论的问题，前图中的小山羊、卡莉娅和蛋糕
就一起组成了一个三层的方阵，大家可以仔细观察图中小山羊、卡莉娅和蛋糕的位置和数量，从中找
出一些关于方阵的规律来．
先来看看小山羊的数量，一边上有6个小山羊，一共有20只小山羊，并不是 只，因为角
落上的小山羊都被算了2次，要减去多算的1次，所以有 只．
数一数，图中小山羊比卡莉娅多几个？卡莉娅又比蛋糕多了几个？不难发现，每个方向上的小山
羊要比卡莉娅多2个，每个方向上的卡莉娅要比蛋糕多2个，而小山羊、卡莉娅和蛋糕分别占据了这
个方阵的三层，并且小山羊比卡莉娅多8个，卡莉娅比蛋糕多8个．一般来说：
方阵里相邻的两层之间每条边上的人数差2，而每层的人数总和差8．
但只有一种情况下不符合这条规律：当这个方阵最里层只有1个人的时候此层不符合．
例题1．若干名同学站成一个 的方阵，请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？
从里向外的第七层有多少人？
「分析」方阵的最外一层每边有15人，是不是最外面一层共有 人呢？
练习：
1. 一批同学站成一个 的方阵，请问：最外一层共有多少人？从外向里的第3层有多少人？
例题2．一个实心方阵，最外面一层共有44人，请问：
（1）这个方阵共有多少人？
（2）如果让这个方阵减少一行一列，一共需要减少多少人？
「分析」（1）这个方阵最外一层每边有多少人？
（2）减少一行一列，那么最外一层每边多少人？
练习：
2. 一个实心方阵，最外面一层共有36人，如果要让这个方阵增加一行一列，需要增加多少人？
前两个例题是有关实心方阵的，相比之下空心方阵的问题要稍难一些，而“相邻层每边差 2，总
人数差8”仍然适用．
例题3．某小学三年级共有学生120人，排成一个三层的空心方阵．这个方阵最外层每边有多少人？
如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那应该增加几个人？如果在内部再加一层，变成一个
五层的空心方阵，那么还需要增加几个人？
「分析」要回答后面两问，第一问是关键，所以搞清楚这三层每边的人数，就可以了解方阵的结
构．然后解决这个问题．
练习：
3. 共有240人排成一个5层空心方阵，这个方阵最里面一层每边多少人？如果要在内部加一层，
变成6层空心方阵，还需要增加多少人？例题4．用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖400块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外圈铺的是红
色瓷砖，由外到内的第二圈是绿色瓷砖，第三圈是红色瓷砖，第四圈又是绿色瓷砖，……，这样依次
铺下去．请问这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？
「分析」先不看颜色，400块瓷砖一共铺了多少层？最外面一层是红色，那么最里面一层是什么
颜色呢？
练习：
4. 用黑、白两种颜色的正方形瓷砖共256块铺满一面正方形的墙，最外一层是黑色，第二层是
白色，第三层是黑色，……，这样下去，那么整面墙上共有黑色瓷砖多少块？
前几个例题都是关于方阵的，但阵列的形式其实是很多的，除了方阵，还有三角阵、六边形阵等
等．这些阵列也具有非常有趣的性质，只要稍加观察，也可以像方阵那样，总结出很多简单的数量关
系与计算方法．
右图就是一个每边7人的三角形阵列．如果我们从上往下数，就会发觉人数正好构成一个自
1
然
个
数
2个
列．最上面那层是1个人，第二层是2个人，第三层是3人，……，最后一层正好是7个人，总数3就个
4个
等于1234567=28． 5个
6个
7个
由此可见，只要知道三角形阵列的大小，就可以从上往下把总人数加出来．上图是一个每边7人
的阵列，所以总人数正好是1一直加到7，如果是每边8个人，总人数就应该是从1一直加图到 4 8．如果
每边人数是n，那总人数就是：
这就是实心三角形阵列总数的求法．
下面来看一个有关三角形阵列的问题．
例题5．如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成．
现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点都种上（即图中的A、B、 草地
A B
C点），且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，且每条边上有 10朵花．
水池
请问：整个绿地一共要种多少朵花？
草地 草地
「分析」总共有三片草地，每一片草地上应该种多少朵花？有没有花同时
C
算在两片草地里的？例题6．在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中
的阵列类似．从外向内一共8层，分别站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同
学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126名，那么：
（1）最外层有多少人？
（2）现在阵列中一共有多少人？
（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？课 堂 内 外
马其顿方阵
自公元前333年的伊萨斯之战和公元前332年的高伽米拉会战以来，马其顿方阵的威名传遍
了古代地中海区域，马其顿的敌人提起马其顿方阵就会感到颤栗，因为亚历山大大帝使得方
阵变成了一种传奇：他是不可战胜的．马其顿方阵，是一种早期步兵作战时的战术．在荷马
时代以前，步兵打起仗来像一窝蜂似地杂乱无章，所以，具有严格阵法的马其顿方阵能轻易
地打败数量上占优势但较混乱的敌人，这在当时可以说是战术上的创新．古代战争同现代战
争一样，战术也是很重要的因素．马拉松之战希腊人之所以大胜波斯人，主要就是在战术上
占了上风．
.
作业：
1. 请问：一个 的方阵中，最外一层共有多少人？从里向外的第3层有多少人？
2. 一个实心方阵，最外面一层共有56人，那么这个方阵一共有多少人？
3. 共有200人排成一个5层空心方阵，这个方阵最外面一层每边多少人？如果要在最外面增加
一行一列，那么需要增加多少人？
4. 用白、蓝两种颜色的正方形瓷砖铺满一面正方形的墙，共用了 324块，最里面一层是蓝色的，
第二层是白色，第三层是蓝色，……，这样下去，最外面一层是什么颜色？整面墙上共有白色瓷砖多
少块？5. 某班所有学生恰好可以排成一个每边为8人的三角阵，请问：这个班共有多少人？
