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第十一讲 用还原法解题
第一部分：趣味数学
没有什么不可能
汤姆·邓普西生下来的时候只有半只左脚和一只畸形的右手，父母从未让他因为自己残
疾而感到不安。
后来他学踢橄榄球，他发现，自己能把球踢得比别的男孩子都远。他专门请人设计了一
只鞋子，参加了踢球测验，并且得到了冲锋队的一份合约。
但是教练却婉转地告诉他，说他“不具备做职业橄榄球员的条件”，请他去试试其他的
职业。最后他申请加入新奥尔良圣徒球队，并且请求教练给他一次机会。教练虽然心存怀疑，
但是看到这个孩子这么自信，对他顿生好感，因此就接受了。
他一生中最重要的一次比赛到来了。那天，球场上坐了66万名球迷。球是在28码线上，
比赛只剩下了几秒钟。这时球队把球推进到45码线上。“邓普西，进场踢球。”教练大声喊。
当邓普西进场时，他知道他的队距离得分线只有55码
远，那是由巴第摩尔雄马队毕特·瑞奇踢出来的。球传接
得很好，邓普西一脚全力踢在球身上，球在笔直地前进。
但是踢得够远吗？几十万名球迷屏气观看，球在球门横杆
之上几英寸的地方越过，接着终端得分线上的裁判举起双
手，表示得了 3分，邓普西的球队以 19比17获胜。球迷
们疯狂了，他们被邓普西创造的奇迹震撼了，很多人泪如
雨下。因为这个“极限球”是一个只有半只左脚和一只畸形右手的球员踢出来的。
【启示】身怀坚定信念的人，在生活中根本就不会存在“不可能做到”的念头。那些在
常人眼中的可望而不可即的成就与成绩，实际上是坚定信念与毅力产生的结果。
第二部分：奥数小练
专题简析：
“一个数加上 3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是 3，这个数是几？”像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原
问题”。解答还原问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。
解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想
直到问题解决。同时，可利用线段图表格帮助理解题意。
【例题1 】 一个减24加上15，再乘8得432，求这个数。
【思路导航】我们可以从最后的结果432出发倒着推想。最后是乘8得432，如果不乘
8，那应该是432÷8=54；如果不加上15，应该是54－15=39；如果不减去24，那应该是39＋
24=63。
因此，这个数是63。
练习一：
1.一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3。这个数是几？
2.一个数的4倍加上6减去10，再乘2得88，求这个数。
3.一个数缩小2倍，再缩小2倍得80，求这个数。
【例题2 】 一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，还剩8米。这段布
原来长多少米？
【思路导航】根据题意，画出线段图。
全_ 长的一半 余_ 下的一半 8_米
?_ 米
从 上 面 的 线段图可以看出：剩下的 8 米
和余下的一半同样多，那么原长的一半是：8×2=16米，原来长：16×2=32米。
练习二：
1.某水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半，第二次卖掉剩下的一半，这时还剩10只西
瓜。原有西瓜多少只？2.某人乘船从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他睡醒时发现船又行了睡前
剩下的一半，这时离乙地还有40千米。甲、乙两地相距多少千米？
3.有一箱苹果，第一次取出全部的一半多1个，第二次取出余下的一半多1个，箱里还剩
下10个。箱里原有多少个苹果？
【例题3 】 甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三人的本
数同样多。乙原来比丙多多少本？
【思路导航】因为乙给丙5本后，两人同样多，可知乙比丙多5×2=10本，而这10本中
又有3本是甲给的，所以原来乙比丙多10－3=7本。
练习三：
1.小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明 10个，小明给小航6个后，三
人的个数同样多。
2.甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组 13本后，乙组又送给丙组6本，
这时三个组的图书本数同样多。原来乙组和丙组哪组的图书多，多几本？
3.甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给甲3
张，那么他们每人各有30张。原来3人各有年历卡多少张？
【例题4】 李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多 10个，下午又卖出剩下的一半
多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。李奶奶原来有多少个鸡蛋？
【思路导航】根据题意，画出线段图。
从图上可以看出，最后剩下的 65个鸡蛋加上10个正好是余下的一半，余下的一半为
65+10=75个，所以上午卖出后余下75×2=150个；150个加上10个就是总数的一半，所以总
数的一半是150+10=160个，总数为：160×2=320个。
练习四：
1.竹篮内有若干个李子，取它的一半又1枚给第一人，再取余下的一半又2枚给第二人，
还剩6枚。竹篮内原有李子多少枚？
2.王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多 10元存入银行，又拿出余下的一半多 5
元买米、米，剩下80元买菜。王叔叔拿工资多少元？3.妈妈买来一些橘子，小明第一天吃了一半多2个，第二天吃了剩下的一半少2个，还
剩下5个。妈妈买了多少个橘子？
【例题5 】 小红、小青、小宁都喜爱画片，如果小红给小青11张画片，小青给小宁
20张画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。已知他们共有画
片150张，他们三人原来各有画片多少张？
【思路导航】三人画片进行交换，其总张数是不会改变的。交换以后三人张数相等，那
每人应有：150÷3=50张。再对照题中条件，把各人的画片还原，便可得到他们三人原来画
片的张数。
小红：50＋11=61张；
小青：50－11＋20=59张；
小宁：50－20＋5=35张。
练习五：
1.三筐苹果共放90千克，如果从甲筐取出15千克放入乙筐，从乙筐取出20千克放入丙
筐，从丙筐取出17千克放入甲筐，这时三筐苹果就同样重。甲、乙、丙筐原来各有苹果多少
千克？
2.三年级三个班共有学生156人，若从一班调5人到二班，从二班调8人到三班，从三
班调4人到一班，这时每个班的人数正好相同。三个班原来各有学生多少人？
3.小林、小方、军军、小敏四个好朋友都爱看书，如果小林给小方 10本书，小方给军
军12本书，军军给小敏20本，小敏再给小林14本，四个人书的本数同样多。已知他们共有
112本书，他们4人原来各有多少本书？
第三部分：数学史话
数学家花拉子密的遗嘱
阿拉伯数学家花拉子密的遗嘱，当时他的妻子正怀着他们的第一胎小孩。“如果我亲爱
的妻子帮我生个儿子，我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一；如果是生
女的，我的妻子将继承三分之二的遗产，我的女儿将得三分之一。”。
而不幸的是，在孩子出生前，这位数学家就去世了。之后，发生的事更困扰大家，他的
妻子帮他生了一对龙凤胎，而问题就发生在他的遗嘱内容。如何遵照数学家的遗嘱，将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢？
参考答案：
练习一：
1.3×3=9 9+3=12 12÷3=4 4-3=1
2.88÷2=44 44+10=54 54-6=48 48÷4=12
3.80×2=160 160×2=320
练习二：
1.10×2×2=40（只）
2.40×2×3=160（千米）
3.(10+1)×2+1=23(个) 23×2=46（个）
练习三：
1.10-6=4（个） 6-4=2(个)
分析：小松给小明10个，小明得到10-6=4个，小航得到6个，6-4=2（个）；小航多得到2
个后两人一样多，所以小明原来比小航多2个。
2.6×2=12（本） 13-12=1（本）
分析：从乙组给丙组6本图书后两个组图书的本数同样多，可知乙组比丙组多6×2=12（本）
图书，而甲组借给乙组13本图书，12＜13，所以原来丙组比乙组的图书多，多13-12=1
（本）。
3.甲：30+13-3=40(张)
乙：30+23-13=40（张）
丙：30+3-23=10(张)
练习四：1.（6+2）×2=16（枚） （16+1）×2=34（枚）
2.（80+5）×2=170（元） （170+10）×2=360（元）
3.（5-2）×2=6（个） （6+2）×2=16（个）
练习五：
1.90÷3=30（千克）
甲筐原有：30-15+17=28（千克）
乙筐原有：30-15+20=35（千克）
丙筐原有：30-20+17=27（千克）
2.156÷3=52（人）
一班原有：52-4+5=53（人）
二班原有：52+8-5=55（人）
三班原有：156-53-55 =48（人）
3.112÷4=28（本）
小林：28+10-14=24（本） 小方：28+12-10=30（本）
军军：28+20-12=36（本） 小敏：28+14-20=22（本）
