文档内容
第六讲 和倍问题
第一部分：趣味数学
自己飞翔
小明和爸爸到公园玩。
突然，小明看到一只被茧包裹着的蝴蝶，它正努力地从茧中挣脱出来。可是，茧口很小，
它努力了那么长时间，只出来一点点。
小明想：“蝴蝶一定是被卡住了，好可怜啊！”
于是，他决定帮蝴蝶这个忙。
他跑去向爸爸要来一把小刀，小心翼翼地用小刀把茧口弄大了一点点。蝴蝶终于破茧而
出，小明高兴极了，蝴蝶终于可以飞翔了！可是，小明却发现，怎么这只蝴蝶的翅膀又干又
小，身躯也又干又瘪呢？
爸爸看了，告诉小明：“蝴蝶不是被卡住了，这是它要飞翔的必经过程。蝴蝶从茧中挣
脱出来时会分泌液体，使翅膀丰满，如果没有了这个过程，它就不能飞翔。”
【启示】蝴蝶需要自己挣脱茧的束缚才可以飞翔，而我们，同样也要靠自己的力量成长，
才可能有灿烂的人生。不经历磨炼就不会成长，更不会看到风雨之后美丽的彩虹。
第二部分奥数小练
专题简析：
已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通
常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使
数量关系一目了然，从而正确列式解答。
解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出 1倍数，
再求出几倍数。数量关系可以这样表示：
两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）
小数×倍数=大数（几倍数）
两数和－小数=大数【例题1】 学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的 2
倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？
【思路导航】将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。
1倍数
_ ?
二_ 年级
?_ 本
共_ 360本
?_??
?_本
由图可知，二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（1＋2）倍，则二年级
所得图书本数的360÷（1＋2）=120本，三年级为120×2=240本。
练习一：
1.小红和小明共有压岁钱 800元，小红的钱数是小明的 3倍。小红和小明各有压岁钱多
少元？
2.学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本。
二、三年级各得图书多少本？
3.甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶
的5倍？
【例题2】 小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青给小宁多少枝后，
小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？
【思路导航】我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作1倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯
的枝数和相当于变化后小青枝数的9倍，所以变化后小青的枝数为（30＋15）÷（1＋8）=5
枝，再用15－5=10枝，则表示小青给小宁的枝数。
练习二：
1.红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳
必须给红红多少张邮票？
2.甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙
水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？3.甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班图书管理员又买来图书16本，怎样分配
才能使甲书架图书的本数是乙书架的2倍？
【例题3】 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？
【思路导航】由商是7可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1份数，被除
数就有这样的7份，一共7＋1=8份。
除数：320÷8=40
被除数：40×7=280
练习三：
1.被除数和除数和为120，商是7，被除数和除数各是多少？
2.被除数、除数、商的和为79，商是4，被除数、除数各是多少？
3.两个整数相除商是21，余数为1，已知被除数、除数、商、余数的和一共是441。被
除数、除数各是多少？
【例题4 】 两数相除商为17余6，被除数、除数、商和余数的和是479。被除数和
除数分别为多少？
【思路导航】：被除数、除数、商和余数的和是 479，减去商17和余数6，得到被除数
与除数的和为479－17－6=456；又因为被除数比除数的17倍多6，所以456－6=450就相当
于除数的（17＋1）倍，因此除数为450÷（17＋1）=25，被除数为25×17＋6=431。
练习四：
1.两个整数相除商14余2，被除数、除数、商和余数的和是243，被除数比除数大多少？
2.在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于240，而减数是差的5倍。差是多少？
3.学校买来83本书，其中科技书是故事书的2倍，故事书比文艺书多5本，这三种书各
多少本？
【例题5 】 两个数之和是792，其中一个数的最后一位数数字是0，如果把0去掉
就与另一个数相同。这两个数分别是多少？
【思路导航】把一个数的最后一位数字0去掉，就与另一个数相同，说明这两个数中大
数是小数的10倍。又已知两个数之和是792，那我们就可以求出这两个数分别是多少了。
小数：792÷（10＋1）=72
大数：72×10=720练习五：
1.两个数之和是253，其中一个数的最后一位数字是0，如果把0去掉，就与另一个数
相同。这两个数分别是多少？
2.师徒两人加工一批零件共693个，师傅加工零件个数的末位数字是0，如果去掉这个
0，加工的个数就与徒弟一样多。师徒二人分别加工零件多少个？
3.甲、乙两数的和是209，甲数缩小10倍就和乙数同样大，甲、乙两数分别是多少？
第三部分：数学史话
诺伯特维纳的故事
世纪著名数学家诺伯特·维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕
业了。几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国
哈佛大学的科学博士。 在博士学位的授予仪式上，执
行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面
询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分
巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次
方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、
2、3、4、5、6、7、8、
9，全都用上了，不重不漏。
这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大
事业。” 维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的
人，都在议论他的年龄问题。 这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业：他
成为信息论的前驱和控制论的奠基人。
参考答案：
练习一：
1.小明：800÷（3+1）=200（元）
小红：200◊3=600（元）
2.二年级：（360-60）÷（2+1）=100（本）
三年级：100◊2+60=260(本)
3.17-（25+17）÷（5+1）=10（千克）练习二：
1.（80+60）÷（4+1）=28（张）
60-28=32（张）
2.（69+36）÷(2+1)=35(吨)
（69-35）÷2=17（分）
3.（18+8+16）÷（2+1）=14（本）
乙书架放：14-8=6（本）
甲书架放：16-6=10（本）
练习三：
1.除数：120÷（7+1）=15
被除数：15◊7=105
2.除数：（79-4）÷（4+1）=15
被除数：15◊4=60
3.除数：（441-1-1-21）÷（21+1）=19
被除数：19◊21+1=400
练习四：
1.除数：（243-2-2-14）÷（1+14）=15
被除数：15◊14+2-15=197
2.差：240÷（1+5+6）=20
减数：20◊5=100
被减数：100+20=120
3.故事：（83+5）÷（1+1+4）=22（本）
科技书：22◊2=44（本）
文艺书：22-5=17（本）
练习五：
1.253÷（10+1）=23
23◊10=230
2.693÷（10+1）=63
63◊10=630
3.209÷（10+1）=19
19◊10=190
