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第五讲 盈亏问题
第一部分：趣味数学
小羊的登山之旅
有一只小羊，每天它都看到小鸟们在固定的时间飞到远处的高山上 停留，
互相嬉戏玩耍一会儿。小羊想：山上一定有美丽的风景、肥美的水草，要不然，小鸟们为什
么会每天都去呢？于是，小羊决定一定要攀上远处那座高高的山峰。
小羊开始了它宏伟的爬山计划。其他小羊知道后，都劝它，不要整天想着爬山。我们羊，
从来都是生活在草原上的。
小羊很固执，它坚信，既然小鸟儿每天都去，那高山上一定是一片乐土。于是，它开始
向高山进发。期间，不知经历了多少苦难，多少挫折，可小羊都挺过来了。
幸福的时刻到了，小羊终于登上了梦想中的山顶。
可是，山顶上光秃秃的，什么都没有，除了经年的鸟粪。
【启示】像那只小羊一样，我们也常常做这样的事，看到别人做什么，我们也立刻去做
什么，却不去考虑它是不是真正适合自己，也不去想自己是不是真正需要。终于千辛万苦地
拥有了，然后却发现，它根本不是自己想要的。
第二部分奥数小练
专题简析：
把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；
每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏
问题。
盈亏问题的基本解法是：
份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差，物品数可由其中一种分法的份和盈亏数求出。
解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配
者人数，进而求出物品的数量。【例题1】 小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。如果每人分 5个，就多出10个；如果每人
分6个，就少2个。小明全家有多少人？这篮梨有多少个？
【思路导航】根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人分5个，多10个；
第二种分法：每人分6个，少2个。
这说明全家人数为：10＋2=12人，也就是说：
不足的个数＋多余的个数=全家的人数
这篮梨的个数是：5×12＋10=70个；
练习一：
1.幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们，如果每人分 10粒糖，则多了8粒糖；如果每人
分11粒糖，则少了16粒糖。一共有多少个小朋友？这袋糖有多少粒？
2.有一根绳子绕树4圈，余2米；如果绕树5圈，则差6米。树周长是多少米？绳子长
多少米？
3.一些同学去划船，如果每条船坐5人，则多出3个位置；如果每条船坐4人，则有3
个人没有位置。一共有多少条船？一共有多少个同学？
【例题2 】 幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具；如果每
班分10个玩具，则少12个玩具。幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？
【思路导航】根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每班分8个，多2个；
第二种分法：每班分10个，少12个。
从上面的条件中，我们可看出：第二种分法比第一种分法每班多分10－8=2个，所以，
所需的玩具总个数从多2个变成了少12个，也就是说在多2个的基础上再加12个，才能保证
每班分10个；第二种分法所需的玩具个数比第一种多12＋2=14个，那是因为每班多分了2
个。根据这一对应关系，即可求出班级的个数为：14÷2=7个，玩具的总个数为8×7＋2=58
个。
练习二：
1.小明带了一些钱去买苹果，如果买3千克，则多出2元；如果买6千克，则少了4元。苹果每千克多少元？小明带了多少钱？
2.一个小组去山坡植树，如果每人栽 4棵，还剩12棵；如果每人栽8棵，则缺4棵。这
个小组有几人？一共有多少棵树苗？
3.一组学生去搬书，如果每人搬2本，还剩下12本；如果每人搬3本，还剩下6本。这
组学生有几人？这批书有几本？
【例题3】 老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则多了14本
如果每人分7本，则多了2本。优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？
【思路导航】根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人5本，多了14本；
第二种分法：每人7本，多了2本。
从上面可知第二种分法比第一种分法每人多分了 7－5=2本，这样就从原来的多 14本变
为多2本，两种分配方法的结果相差了14－2=12本，每人多分了2本，多少人会多分了12本
呢？根据这一对应关系，可求出优秀少先队员的人数为 12÷2=6人，练习本的本数为：5×6
＋14=44本。
练习三：
1.把一袋糖分给小朋友们，如果每人分4粒，则多了12粒；如果每人分6粒，则多了2
粒。有小朋友几人？有多少粒糖？
2.妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分6个，则多了12个；如果每人分7个，则
多了6个。全家有几人？妈妈共买回多少个苹果？
3.某学校有一些学生住校，每间宿舍住8人，则空出床位24张；如果每间宿舍住10人，
则空出床位2张。学校共有几间宿舍？住宿学生有几人？
【例题4 】 学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6棵，则差4棵；如果每人
搬8棵，则差18棵。学生有几人？这批树苗有多少棵？
【思路导航】根据题意，我们可知搬树苗的两种方案：
第一种方案：每人搬6棵，差4棵；
第二种方案：每人搬8棵，差18棵。
比较两种方案，每人多搬了8－6=2棵树苗，所需的树苗就从差4棵变为差18棵，结果
相差了18－4=14棵，每人多搬了2棵，多少人会多搬了 14棵呢？根据这一对应关系，可以求出学生人数为：14÷2=7人，树苗的棵数为：6×7－4=38棵。
练习四：
1.自然课上，老师发给学生一些树叶。如果每人分 5片叶子，则差3片叶子；如果每人
分7片叶子，则差25片树叶。学生有几人？一共有树叶多少片？
2.数学兴趣小组的同学做数学题，如果每人做 6道，则少4道；如果每人做8道，则少
16道。有几个学生？多少道数学题？
3.学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少2人；如果每行排9人，则有一行少7
人。一共要排几行？一共有多少人？
【例题5 】 三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少一条船；如果每
条船坐6人，则多出4条船。公园里有多少条船？三（1）班有多少学生？
【思路导航】为了帮助理解，我们可以将题目中的条件进行转化。
将条件“如果每条船坐 4人，则少一条船”转化为：“如果每条船坐 4人，则多出 4
人”；再将条件“如果每条船坐 6人，则多出4条船”转化为：“如果每条船坐 6人，则差
6×4=24人”。
这样两种分配方法就相差了24＋4=28人，这是因为每条船多坐了6－4=2人。根据这一
关系，可求出船的条数：28÷2=14条，学生人数：4×（14＋1）=60人。
练习五：
1.学校给新生分配宿舍，如果每间住 8人，则少2间房；如果每间住10人，则多出2间
房。共有几间房？新生有多少人？
2.同学们去划船，如果每条船坐5人，则少2条船；如果每船坐7人，则多出2条船。
共有几条船？有多少个同学？
3.小明从家到学校，如果每分钟走40米，则要迟到2分钟；如果每分钟走50米，则早
到4分钟。小明家到学校有多远？
第三部分：数学史话
祖先识数
原始文明只能分辨1、2和“许多”。埃及人用|表示1，用││││∩∩∩表示 34。 炎黄始祖首创十进制位值记数，独领风骚数千年。《周易》八卦，现代电脑，有根有据一脉相
承。补天女娲，治水大禹，无规无矩难成方圆。
自古以来，我国就流传着一个神话：在最古最古的时候，天地初分混沌开，有一个人，
叫做盘古。他生在天地的中间，天每天高了一丈，地也每日厚了一丈，盘古也每天长了一丈。
他老是顶天立地的生活着。经过了一万八千年，天极高，地极厚，盘古也极长。
这里讲的宇宙是不断膨胀中的，速度是每日二丈。这倒和现代的“大爆炸宇宙学”有些
类似，不过我们现在倒不必去谈天体物理，还是看看这里的数学：一万八千年后，天长高多
少?地长厚多少?这是个很简单的计算。天高暂且不论，地厚就是 18000丈，合6000千米左右，
这不正是地球的半径吗!
像这样的创世神话，全世界各民族都有。
《圣经》中说，大初的时候，地上全是水，无边无际，水面上空虚混沌，暗淡无光。上
帝说：“要有光!”这样就有了白天和夜晚。第二天，上帝说：“要有穹窿!”于是就有了穹
窿。上帝称穹窿为天。
上帝如此这般辛苦工作了六天，天上就有了日月星辰，地上就有了万物生长，还造出了
人类的始祖――亚当、夏娃。
看来，中国的盘古要比西方的上帝悠久得多，光开天辟地就用了一万八千年，远远超了
纪录。
不知是不是咱中国人在很久很久以前，数学比他们学得好，早就知道了很大很大的数?
也许有人要笑：一万八千算个什么大数啊!咱小学二三年级的小娃娃，哪一个不是十万百
万地朝大了说，几亿几亿地往本上写?请不要着急，且容我细细道来。
且说在一个原始部落里，有两位智者，很受大家尊重，经常充当咨询顾问一类的角色。
但他们之间却往往互不服气，于是决定在部落大会上搞一次智力竞赛。比赛的题目很单纯：
谁说出的数大，谁就赢。
比赛开始了。甲先说出：“一。”
乙看了看甲，想了半天说出个数：“二。”
这回轮到甲再伤脑筋了。他拍了一会儿脑门，突然高兴地大声说：“三!”
发言权又转到乙的手上。他绞尽脑汁，最后不得不沮丧地对甲说：“你赢了。”
这个故事多少有些挖苦人，似乎只能算笑话，但却千真万确是原始社会对数的认识的一
种写照。探险考古队员在本世纪到达某些原始部落中发现，那里的人确实只能说出简单有限
的几个数，最大的数不超过5。这样看来，现在的小娃娃要比原始时代的智者强得多。他们从呀呀学语开始，首先就分
清了“一”和“许多”。随后就慢慢能扳着手指数出“一、二、三”来。到了两三岁，差不
多就能数到“十”了。小学三年级就基本完成了对自然数的认识过程。
这么个认识数的过程和整个人类认识数的过程是基本一致的，只不过时间大大缩短了。
这倒很像小娃娃在他母亲的肚子里孕育的情况，从头到尾重复了一遍生命从低级到高级的各
个阶段，十分有趣而又十分令我们深思。
可以说，世界上无论那个民族，在最初的原始阶段，那几下蹒跚学步，应该是基本一样
的。
人类在最原始的时代首先分清的也是一和许多。随着社会逐步进化，人们当然需要更多
的数和对数的认识。一个部落必须知道它有多少成员、有多少敌人;一个人也感到需要知道他
羊群里的羊有没有少了。
或许最早的计数方法是用原始人个个都有的“计算器”――手来进行。比如，数羊的只
数时，每数一只羊就扳一个手指头，这就叫做“屈指可数”。
当然也可能用的是小石子来进行数数。英语 Calculus(计算)一词，原来的含义就是小石
头块。北美印地安人直到前不久还有用小石头块计数的。
切不可小瞧这么一种方法!这样一种方法实际上不就是我们常说的“一一对应”嘛!把羊
群里的羊一只一只地和一块一块石头逐一对应起来，或者逐一扳下手指头，这就是所谓一一
对应。这样，石头子有多少(或者手指头有多少)，羊就有多少。
这种方法虽然历史古远，平平常常，大家好像也并不陌生，但真要用好用活，得出精髓，
却真正能做出一篇轰轰烈烈的大文章。上世纪末本世纪初，就有这么一位奇才，将此法用得
出神入化，鬼斧神工，给数学史上平添一道炫目之光。这是后话，暂且放下不提。
“识”了数，还需要“记”。我们的先民为了探索记数之法，走过了一段漫长的道路。
说到“记”，不免要多说几句。所谓“记”，就是把一些信息用一定的方式在载体上留
下痕迹，留下记号，并且能使群体中的成员了解其记的意义，解读出原来的信息。
“记”的载体可以多种多样。从古代的绳、石、手指，到后来的甲骨青铜，绢帛竹简，
一直到四大发明中的纸张的出现，再至现代的音碟光碟，电脑中的内存外存，软驱硬盘，林
林总总，数不胜数。小孩子在树干上划个刻痕，标下身高，是“记”;做间谍的在窗台上放盆
花，告诉同伙：安全如故，亦是“记”，周幽王烽火戏诸侯，乱“记”一通，丢了周朝八百
年江山;秦始皇焚书坑儒，毁“记”一旦。一部人类的文明史，实在是“记”的历史，是
“记”的发展史。那么，先民又是如何开始记数的呢?
最早，当然是用语音这种载体。但一开始，对于两只羊和两个人所用的语音(词)是不同
的――尽管他们都是两个。例如，在英语中有 teamofhorses(共同拉车、拉犁的两匹马)，
yokeofoxen(共轭的两头牛)，braceofpartridge(一对鹧鸪)，Pairofshoes(一双鞋)。你看，
这里都有2这个数，但在不同的对象中有不同的说法。把2这种共同性质加以抽象，并采用
与任何具体事物都无关的某个语音来代表它，或许在很长时间以后才实现的。我们现在用的
数词，起初很可能是指一些具体事物的，但是二者之间的这种关系，我们现在都不知道了。
现在的数词，是有相同数目的各类事物，它们所具有的共同性质的一个抽象表示。因此我们
可以说，数学在它的萌芽状态，就有了抽象性这么个特点。
用语音作载体，毕竟有个很大的弱点：它太容易消失了，不太牢靠，不太稳定，有时还
会产生不同的理解。怎么办呢?先民们就用当时能有的材料，当时能有的条件进行着创造。
能用的材料当然首先是身边的一些物体，比如小石块啦，贝壳啦，等等。但随后最普遍
的，恐怕就是结绳这种方法了。在没有文字以前，人们大都用这种方法记数，记事。春秋时
期的古书《易经》上有“上古结绳而治”的记载。结绳记数最迟在新石器时代早期(约8000
年前)就普遍使用了。
参考答案：
练习一：
1.（8+16）÷（11-10）=24（个）
24×10+8=248（粒）
2.（6+2）÷（5-4）=8（米）
8×4+2=34（米）
3.（3+5）÷（5-4）=8（条）
4×8+5=37（人）
练习二：
1.（2+4）÷（6-3）=2（元）
2×3+2=8（元）
2.（12+4）÷（8-4）=4（人）4×4+12=28（棵）
3.12-6=6（人）
2×6+12=24（本）
练习三：
1.（12-2）÷（6-4）=5（人）
4×5+12=32（粒）
2.（12-6）÷（7-6）=6（人）
6×6+12=48（个）
3.（24-2）÷（10-8）=11（间）
8×11+24=112（人）
练习四：
1.（25-3）÷（7-5）=11（人）
5×11-3=52（片）
2.（16-4）÷（8-6）=6（个）
6×6-4=32（道）
3.（7-2）÷（9-8）=5（行）
5×8-2=38（人）
练习五：
1.（8◊2+10◊2）÷（10-8）=18（间）
（18+2）×8=160（人）
2.（2×5+2×7）÷（7-5）=12（条）
12×5+10=70（人）
3.（40×2+50×4）÷（50-40）=28（分）
（28-4）×50=1200（米）
