文档内容
第十二讲 用假设法解题
第一部分：趣味数学
钱学森回国前的故事
1949年，当第一面五星红旗在天安门广场上徐徐升起时，当时任加利福尼亚工学院超音
速实验室主任和“古根罕喷气推进研究中心”负责人的钱学森深为祖国的新生而高兴。他打
算回国，用自己的专长为新中国服务。
1950年9月中旬，钱学森辞去了加利福尼亚工学院超音速实验室主任和“古根罕喷气推
进研究中心”负责人的职务，办理了回国手续。他买好了从加拿大飞往香港的飞机票，把行
李也交给了搬运公司装运。
然而，就在他打算离开洛杉矶的前两天，忽然收到美国移民及归化局的通知——不准回
国！移民局威胁道，如果私自离境，抓住了就要罚款，甚至坐牢！
又过了几天， 钱学森被抓进了美国移民及归化局看守所，“罪名”是“参加过主张以武
力推翻美国政府的政党”。
钱学森交给搬运公司的行李遭到美国海关及联邦调查局的检查，据说从中“查出”电报
密码、武器图纸等类似文件。移民及归化局要“审讯”钱学森，说钱学森是“美国共产党
员”。后来又说钱学森在美国念书时认识的几
个美国同学之中，有几个是美国共产党员。移
民及归化局扬言钱学森“违反美国移民法”，
要把钱学森“驱逐出境”。这话说出口没多久
又连忙改口。因为要把钱学森“驱逐出境”，
这正是钱学森求之不得的! 在看守所，钱学森
像罪犯似的，被监禁着。钱学森曾回忆道：
“我被拘禁的15天内，体重就下降了30磅。
在拘留所里，每天晚上，特务要隔一小时就进
来把你喊醒一次，使你得不到休息，精神上陷于极度紧张的状态。”
移民及归化局迫害钱学森引起了美国科学界的公愤。不少美国友好人士出面营救钱学森，
为他找辩护律师。他们募集了 15000 元美金作为保金，才算把钱学森从看守所里保释出来。1955年 6 月，钱学森写信给当时的全国人大常委会副委员长陈叔通同志，请求党和政府
帮助他早日回到祖国的怀抱。周总理得知后非常重视此事，并指示有关人员在适当时机办理
此事。经过努力，1955年10月18日，钱学森一家人终于回到了阔别20年的祖国。不久，他
便被任命为中国科学院力学研究所所长。
【启示】爱国，是一种使命。作为一个中国人，无论走到哪里，无论干什么工作，我们
的一言一行都应与爱国紧密相连。“国家”是“国”与“家”的组合，意味着祖国与家庭和
个人的命运密切相关。有国才有家，国兴才家旺，国泰才民安，祖国日益强盛，家庭才愈加
温馨，生活才愈加幸福。
第二部分：奥数小练
专题简析：
假设是数学中思考问题的一常见的方法，有些应用题乍看很难求出答案，但是如果我们
合理地进行假设，往往会使问题得到解决。所谓假设法就是依照已知条件进行推算，根据数
量上出现的矛盾，作适当的调整，从而找到正确答案。我国古代趣题“鸡兔同笼”就是运用
假设法解决问题的一个范例。
解答“鸡兔同笼”问题的基本关系式是：
兔数=（总脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数－每只鸡脚数）
用假设法解答类似“鸡兔同笼”的问题时，可以根据题意假设几个量相同，然后进行推
算，所得结果与题中对应的数量不符合时，要能够正确地运用别的量加以调整，从而找到正
确的答案。
【例题1 】 鸡、兔共30只，共有脚84只。鸡、兔各有多少只？
【思路导航】假设全是鸡，共有脚：30×2=60只；
比实际少：84－60=24只；
这是因为把4只脚的兔子都按2只脚的鸡计算了。
每把一只兔子算作一只鸡，少算：4－2=2 只脚，现在共少算了 24 只脚，说明把：
24÷2=12只兔子按鸡算了。
所以，共有兔子12只，有鸡30－12=18只。
练习一：
1.鸡、兔共100只，共有脚280只。鸡、兔各多少只？2.鸡、兔共50只，共有脚160只。鸡、兔各几只？
【例题2 】 鸡、兔共笼，鸡比兔多30只，一共有脚168只，鸡、兔各多少只？
【思路导航】因为鸡比兔多30只，则可以把30只鸡的脚从总数中去掉，剩下的鸡兔
就同样多了。每一对鸡和兔共4＋2=6只脚，用6去除剩下的鸡兔总脚数，就可求出兔的只数。
兔的只数：（168－2×30）÷（4＋2）=18只；
鸡的只数：18＋30=48只。
练习二：
1.鸡兔共笼，鸡比兔多25只，一共有脚170只。鸡、兔各几只？
2.买甲、乙两种戏票，甲种票每张4元，乙种票每张3元，乙种票比甲种票多买了9张，
一共用去97元。两种票各买了几张？
3.鸡兔共有脚48只，如果将鸡的只数与兔的只数互换则共有脚42只。鸡、兔各几只？
【例题3】 某学校举行数学竞赛，每做对一题得 9分，做错一题倒扣3分。共有12
道题，王刚得了84分。王刚做错了几题？
【思路导航】这类题实与鸡兔同笼同类，还用假设法进行思考。
若全做对，应得9×12=108分，现在少了108－84=24分。为什么会少24分，因为做错
一题，不但得不到9分，反而需要倒扣3分，里外少了12分，所以错了24÷12=2题。
练习三：
1.某小学进行英语竞赛，每答对一题得 10分，答错一题倒扣2分，共15题，小华得了
102分。小华答对几题？
2.运输衬衫400箱，规定每箱运费30元，若损失一箱，不但不给运费，并要赔偿100元。
运后运费为8880元，损失了几箱？
3.某车间生产一批服装共250件，生产1件可得25元，如果有1件不符合要求，则倒扣
20元。生产后得到费用5350元，有几件不符合要求？
【例题4】 水果糖的块数是巧克力糖的3倍，如果小红每天吃2块水果糖，1块巧克
力糖，若干天后，水果糖还剩下7块，巧克力糖正好吃完。原来水果糖有几块？
【思路导航】水果糖的块数是巧克力糖的3倍，如果小红每天吃1块巧克力糖，3块水
果糖，那若干天后，两种糖正好同时吃完。现在小红每天吃 2块水果糖，少吃3－2=1块，结果若干天后水果糖还剩下7块。所以共吃了7÷1=7天，水果糖有2×7＋7=21块。
练习四：
1.小英家有些梨和苹果，苹果的个数是梨的 3倍，爸爸和小英每天各吃1个苹果，妈妈
每天吃1个梨。若干天后，苹果还剩9个，而梨恰巧吃完。原来苹果有多少个？
2.某商店有些红气球和黄气球，红气球的只数是黄气球的 4倍。每天卖出2只红气球和
1只黄气球，若干天后，红气球剩下12只，黄气球刚好卖完。红气球原来有多少只？
3.四（3）班有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔是彩色粉笔的7倍。每天用去2盒白
粉笔和1盒彩色粉笔，当彩色粉笔全部用完时，白色粉笔还剩10盒。原来白色粉笔有多少盒？
【例题5 】 学校买来8张办公桌和6把椅子，共花去1650元。每张办公桌的价钱是
每把椅子的2倍，每张办公桌和每把椅子各多少元？
【思路导航】假设学校买的全部是办公桌，根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的 2
倍”，则买6把椅子的价钱只能买6÷2=3张办公桌，那么1650元就相当于8＋3=11张办公桌
的价钱。
所以，每张办公桌：1650÷11=150元
每把椅子：150÷2=75元。
练习五：
1.买4张办公桌9把椅子共用252元，1张桌子和3把椅子的价钱正好相等。桌、椅单
价各多少元？
2.学校买来4个篮球和5个排球，共用了185元。已知1个篮球比1个排球贵8元，那
么篮球每个多少元？排球每个多少元？
3.小明买2个乒乓球和4个皮球共用去52元，6个乒乓球的价钱相当于1个皮球的价钱。
乒乓球、皮球的单价各多少元？
第三部分：数学史话
数学家的故事：秦九韶
秦九韶，南宋数学家，1247年完成著作《数书九章》，其 中“中国剩
余定理”、三斜求积术和秦九韶算法(高次方程正根的数值求法)是有世界意义的重要贡献。在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，
他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，
他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报
数，然后记下最后一个士兵所报之数;再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数;
最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数;这样，他很快就算出了自己部队士
兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的
部队究竟有多少名士兵?因为《孙子算经》
早就对这类问题有过研究，但只是初具雏
形，还远远谈不上完整。 因此，后人把这
一命题及其解法称为“孙子定理”主要是
推崇《孙子算经》在这一类问题处理上的
时间领先，其实想法的成熟，还有待提高。
为了解决 “孙子问题”中的不足，秦九韶
推广了“孙子问题”的解法，从而提出了“中国剩余定理”。秦九韶经过长期的积累和苦心
钻研，于公元1247年写成《数书九章》。这部中世纪的数学杰作，在许多方面都有所创造，
其中求解一次同余组的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”，更是具有世
界意义的成就。正是因为这样，在西方数学史著作中，一直公正地称求解一次同余组的剩余
定理为“中国剩余定理”。
参考答案：
练习一：
1.100×4-280=120（只）
鸡：120÷（4-2）=60（只）
兔子：100-60=40（只）
2.50×4-160=40（只）
鸡：40÷（4-2）=20（只）兔子：50-0=30（只）
练习二：
1. 25x2=50(只） 170-50=120（只）
兔：120÷（2+4）=20（只）
鸡：20+25=45（只）
2. 97-9×3=70（元）
甲种票：70÷（3+4）=10（张）
乙种票：10+9=19（张）
分析：因为乙种票比甲种票多买了9张，乙种票每张3元，也就是说乙种票比甲种票共多花
27元。即甲乙购买相同张数时共花费97-27=70元，由甲种票每张4元，乙种票每张3元，可
知一张甲票一张乙票共4+3=7（元），所以70÷7=10(张)即甲种票买了10张，那么乙种票买
了19张。
3.48+42=90（只） 90÷6=15(只） （15×4）-48=12（只）
鸡：12÷（4-2）=6（只）
兔：12-6=6（只）
练习三：
1.10×15=150（分） 150-102=48（分）
错的题数：48÷（10+2）=4（题）
答对题数：15-4=11（题）
分析：答对一题得10分，答错一题扣2分，那么，这道题答对的人与答错的人就相差 12分。
15道题，小明假设全答对得150分，但他只有102分，相差48分，那么48÷12=4(题)，也就
是说，有4道题答错，那么就有11道题答对。
2.400×30=12000（元） 100+30=130（元）
12000-8880=3120（元） 3120÷130=24（箱）
分析：如果一箱不失，有多少钱：400×30=12000（元）
如果丢失一箱，要损失的钱数为：100+30=130（元）
一共损失的钱数为：12000-8880=3120（元）
再算一下，丢失了多少箱： 3120÷130=24（箱）
3.25×250=6250（件） 6250-5350=900（件）
900÷（25+20）=20(件)
练习四：1.9÷（3-1-1）=9（天） 9×（1+1）+9=27（个）
2.12÷（4-2）=6（天） 2×6+12=24（个）
3.10÷（7-2）=2（天） 2×2+10=14（盒）
练习五：
1.假设全买了桌子有：4+（9÷3）=7（张）
桌子单价：252÷7=36（元）
椅子单价：36÷3=12（元）
2..185-4×8=153（元）
排球单价：153÷（4+5）=17（元）
篮球单价：17+8=25（元）
3.4×6=24(个)
乒乓球单价：52÷（24+2）=2（元）
皮球单价：2×6=12（元）
