文档内容
第一讲
和差倍中的隐藏条件
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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -之前我们已经学习了基础的和差倍问题，而很多时候，无法一眼看出问题中的数量关系，这时候
就需要把“隐藏”了的和差倍关系找出来，其中寻找不变量就是一个重要的手段．
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例题1
小高和墨莫玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的一枚棋子．一开始小高有18枚棋子，墨莫则有
22枚．玩了若干局之后，小高反而比墨莫多了10枚棋子．请问：此时小高有多少枚棋子？
分析:在游戏过程中，两人的棋子数始终在变化．那有没有什么量是不变的？
练习1
有大小两个水瓶，分别装有690毫升和210毫升水．现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水没有
溢出），大瓶里的水量变成了小瓶的2倍．请问：从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶？
小 故 事
阿呆和阿瓜去包子铺买包子，一共买了250个包子，阿呆看阿瓜不够吃，分了10个包子
给阿瓜，阿瓜不好意思，把自己的一半拿出来给了阿呆，阿呆不高兴了，把自己的包子
分成10份，挑了其中的8份给阿瓜，阿瓜执拗不过阿呆，最后给了阿呆一个包子，这么
折腾下来，现在两人一共有多少个包子？
从上面的故事你能得到什么样的结论？
总结：___________________________________________________________________________．例题2
小高家有两根绳子，长的那根有163米，短的只有97米．他把两根绳子剪去同样多的长度，结果
长绳所剩长度比短绳所剩长度的7倍还多6米．那么两根绳子都剪去了几米？
分析:两条绳子同时剪短，那它们的长度和就不是不变量了．这一次，不变量又会是谁呢？
练习2
两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条，“叽叽”吃的面条比较长，有40厘米；“喳喳”吃的
比较短，只有25厘米．它们吃面条的速度相同，过了一段时间后，长面条的长度是短面条的2
倍．那么此时短面条还剩多少厘米？
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前面2道例题都是通过寻找不变量来进行解决的，不变量主要有两种情形：“和不变”与
“差不变”，在寻找不变量时，有两句小口诀可以记下：
给来给去和不变，同增同减差不变 ．
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小 判 断
小山羊把10捆草分给大山羊，不变量：______．
两根木头，每次锯掉的部分一样长，不变量：______．
小糊涂和大糊涂去炒股，最后都赚了250元，不变量：______．
儿子和爸爸比年龄，无论过了几年，不变量：______．
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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -当然，并不是所有的题目都能有不变的“和”或“差”，这时分析倍数所对应的和或差就非常重
要，我们常用的方法是画出线段图．
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例题3
阿呆和阿瓜一共有130元钱．每包瓜子5元钱，阿呆买了两包瓜子两人分着吃，吃完后阿瓜把自
己的钱两人平分，这时阿呆的钱是阿瓜的5倍．那么后来阿呆有多少钱？
分析:寻找题目中的倍数关系，这时的倍数关系所对应的和或差，你知道哪个？
练习3
阿呆和阿瓜一起一共有100元钱．阿呆花了10元买零食，阿瓜花了40元买玩具，这时阿呆的钱
是阿瓜的4倍．那么后来阿呆有多少钱？
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下面，我们来看看如何找出隐藏的“差”条件．
画图举例
例子：阿呆比阿瓜多18块糖，阿瓜给阿呆2块后，谁的糖多？多多少块？
后
阿瓜
2
后 阿呆糖多，多22块．
阿呆
18 2
22练习画图
练1：阿呆和阿瓜一样多，阿呆又买了4块，阿瓜买了29块，谁的糖多？多多少
块？
练2：阿呆比阿瓜多10个，阿呆又买了4块，阿瓜吃了2块，谁的糖多？多多少
块？
练3：阿瓜给阿呆2块后阿呆和阿瓜一样多，之前谁的糖多？多多少块？
练4：阿瓜给阿呆8块后阿瓜比阿呆多27块，之前谁的糖多？多多少块？
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例题4
有两根蜡烛，粗蜡烛比细蜡烛长15厘米．把它们同时点燃．1小时后细蜡烛缩短了20厘米，而
粗蜡烛只缩短了15厘米．此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍．请问：粗蜡烛还剩多长？
分析：寻找3倍关系下粗蜡烛和细蜡烛的长度差？
练习4
莉娅和萱萱都在织围巾，现在两人已经织好的围巾长度相同，但萱萱织得比较快．在接下来的两
个月里，萱萱可以织120厘米，而卡莉娅只能织45厘米，因此两个月后，萱萱围巾的长度将会是
卡莉娅的2倍．那么现在卡莉娅的围巾有多长？例题5
红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多5个．如果从红盒中取出12个球，然后向蓝
盒中放入19个球，那么蓝盒中的球就是红盒的3倍．求最后红盒和蓝盒中各有多少个球？
分析：寻找3倍关系下蓝盒和红盒的球数差？试着画出线段图表示一下．
例题6
有甲、乙两堆卡片，如果从甲堆中拿出16张放到乙堆中，则两堆卡片的张数相等；如果从乙堆
卡片中拿出11张放入甲堆中，则甲堆的张数是乙堆的3倍多10．求甲、乙两堆卡片各有多少
张？
分析：开始时甲堆和乙堆中的卡片差几张？分析清楚倍数关系下甲乙两堆差多少张？课 堂 内 外
爱迪生与电灯
爱迪生是美国人，生于1847年．他从小很喜欢问大人“为什么”，让大人无法回答．5岁
时，他看见鹅在孵蛋，就把鹅赶走，自己蹲在那里，想帮母鹅孵蛋．爱迪生进小学读了3个
月，老师说他是低能儿，只好回家靠妈妈的教导及自修努力学习．
爱迪生13岁在火车上边卖报边做实验，一次意外实验的时候磷倒了出来，烧坏了车箱地板，
他被管理员打伤右耳，从此成了半个聋子．23岁到纽约闯天下，发明了一部电报机，赚了
40000美元，辞掉工作专心研究．
爱迪生在1879年10月31日发明电灯．他每天工作超过18小时以上，不停的努力，不断发明
有用的东西．他一生中发明1093件专利．有人认为他是天才，他认为天才是百分之一的灵感
加上百分之九十九的努力，他有很大的勇气和坚强的毅力承受失败的打击，他也常常鼓励别
人．他到80岁还在研究他完全不懂的植物．
作业
1. 有大小两个水瓶，分别装有430毫升和250毫升水．现在从大瓶中倒了一些水到小瓶后（水没有
溢出），大瓶里的水量和小瓶一样多．则从大瓶中倒了多少毫升水到小瓶？
2. 小高的积分比墨莫多30分．老师给他们每人发了100分后，小高的积分比墨莫的2倍少90分．
那么墨莫后来有多少分？
3. 有两支粗细、材料都相同的蜡烛，长的能烧100分钟，短的能烧70分钟．同时点燃这两支蜡烛，
过多少分钟后，长蜡烛长度是短蜡烛的3倍？
4. 小山羊和卡莉娅两人开始有一样多的饼干．小山羊比较贪吃，过了几天，小山羊已经吃了 39块饼
干，而卡莉娅只吃了17块．此时卡莉娅剩下的饼干数量是小山羊的3倍，那么卡莉娅原来有多少
块饼干？
5. 红、蓝两个盒子中各有一些球，红盒中的球比蓝盒多7个．如果向红盒中放入28个球，并从蓝盒
中取出5个球，此时红盒中的球是蓝盒的3倍．则后来红盒里有多少个球？
