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第九讲 和差问题
森林运动会的比分谜团
在阳光明媚的大森林里，热闹非凡的森林运动会刚刚落下帷幕。小兔子跳跳和小猴子灵灵
所在的队伍在篮球比赛中表现出色，进入了决赛。
决赛结束后，小兔子跳跳满心欢喜地在森林广场等待公布最终比分。这时，小猴子灵灵蹦
蹦跳跳地跑了过来，一脸神秘地说：“跳跳，我刚刚听到裁判说我们两队的总得分是 100 分
呢，不过我们队比对方队多得了 20 分。你猜猜我们队和对方队各得了多少分呀？”
小兔子跳跳挠了挠长长的耳朵，大眼睛咕噜噜一转，思考起来：“嗯…… 让我想想。我
们可以把这次比分问题当作一个和差问题来解决。已知两队得分总和是 100 分，这就
是‘和’；两队得分的差是 20 分，这就是‘差’。”
小兔子跳跳一边说，一边用树枝在地上画了起来：“如果把对方队的得分看作较小数，根
据和差问题的公式，较小数 = （和 - 差）÷ 2 ，那对方队的得分就是 (100 - 20)÷ 2 =
40 分。”
小猴子灵灵眼睛一亮，连忙拍手：“跳跳你太聪明啦！那我们队的得分就是用总得分减去
对方队得分，100 - 40 = 60 分，或者按照较大数 = （和 + 差）÷ 2 来算，(100 + 20)÷
2 也等于 60 分 。”
就在它们算出比分，开心讨论时，小松鼠蹦蹦从旁边的大树上跳下来，着急地说：“不好
啦，我刚刚听到裁判说统计错啦，实际两队总得分是 120 分，不过两队的分差还是 20
分。”
小兔子跳跳和小猴子灵灵先是一愣，然后相视一笑。小兔子跳跳不慌不忙地说：“没关系，
重新算一下就好。按照刚才的方法，对方队得分是 (120 - 20)÷ 2 = 50 分，我们队得分就
是 120 - 50 = 70 分。”小猴子灵灵点点头，补充道：“用另一个公式算，我们队得分就是 (120 + 20)÷ 2 = 70
分，结果一样。”
小松鼠蹦蹦佩服地竖起大拇指：“你们俩太厉害啦，这么快就算出来了！” 三个小伙伴
在欢声笑语中，结束了这场有趣的数学探索。
已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问题。掌
握了和差问题的特征和规律，我们解答起来就很方便了。
解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大数同样
多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。
用数量关系表示：
（和＋差）÷2=大数
（和－差）÷2=小数
1：小小正在读一本263页的故事书，不小心合上了。
（1）小小记得刚读完的连续两页页码之和是105，她刚读完的两页页码分别是多少？
（2）如果小小每天读30页，剩下的几天能读完？
【思路分析】
（1）刚读完的连续两页的页码之和是105，相邻两页的页码之差是1，然后根据和差公式：
大数＝（和＋差）÷2，小数＝（和－差）÷2，解答即可。
（2）由（1）中可得出读了53页，则用总页数减去读了的页数，即可求出这本故事书还剩多
少页没读；用剩下的总页数除以每天读的页数，即可求出剩下的页数几天能读完。
【标准答案】
（1）（105＋1）÷2
＝106÷2＝53（页）
（105－1）÷2
＝104÷2
＝52（页）
答：她刚读完的两页页码分别是52页和53页。
（2）（263－53）÷30
＝210÷30
＝7（天）
答：剩下的7天能读完。
1.实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小
减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗？
2. 甲乙共储蓄32元，乙丙共储蓄30元，甲丙共储蓄22元，三人各储蓄多少元？
3．一个三层书架共放书108本。上层比中层多放11本，下层比中层少放5本，上、
中、下三层各放书多少本？2：四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲
多8张。如果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张？
【思路分析】
小玲得到选票最少，我们以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下；观察线段图，把小
玲获票张数看作1份，把小华获票 张数去掉8张，把小明获票张数去掉（8＋14）张，都凑
成1份，总张数减少为：54－8－（8＋14）＝24（张）。所以小玲获票张数为：24÷3＝8
（张）；小华获票张数为：8＋8＝16（张）；小明获票张数为：16＋14＝30（张）。
【标准答案】
以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下：
54－8－（8＋14）＝24（张）
24÷3＝8（张）
8＋8＝16（张）
16＋14＝30（张）
答：小玲获票张数为8张；小华获票张数为16张；小明获票张数为30张。
4．小琴、小静、小莲三人年龄和是20岁，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁。
三人的年龄各是几岁？
5．甲、乙、丙三个数的和是105，甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，求丙数。6．有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米。每
块布料各长多少米？
3：第七届“小机灵杯”数学竞赛复赛 甲校原来比乙校多48人，为方便就近入学，甲
校有若干人转入乙校，这时甲校反而比乙校少12人。甲校有多少人转入乙校？
【思路分析】
利用移多补少思想思考， （人），当甲校转入乙校24人时，那么甲乙两校的人数就
一样多，当甲校继续有同学转入到乙校时，每转入一个同学，甲校就比乙校少2人，当再从
甲校转入（12÷2）人到乙校时，甲校就比乙校少12人，所以甲校一共转入乙校：24＋6＝30
（人）时，甲校就比乙校少12人。
【标准答案】
48÷2＋12÷2
＝24＋6
＝30（人）
答：甲校有30人转入乙校。
7．兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？
8．今年小玲6岁，她父亲34岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？9．方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本。问：
方方和圆圆原来各有图书多少本？
4：甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同
样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包？
【思路分析】
根据“从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多”可知，乙比甲多：8×2＝16
（包）；由此即可求出甲、乙两个仓库大米的包数。
【标准答案】
（56＋8×2）÷2
＝72÷2
＝36（包）
56－36＝20（包）
答：甲仓库有大米20包，乙仓库有大米36包。
点睛：本题主要考查了和差问题，熟记：小数＝（和－差）÷2或：大数＝（和＋差）÷2，是
解答此题的关键。
10.周明和王刚两人数学成绩的和是182分。周明如果多考5分，就比王刚多3分。
周明和王刚的数学各考了多少分？11.兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈
让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白
兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？
12.甲、乙两个笼子里共有小鸡20只，甲笼里新放4只，乙笼里取出1只，这时乙笼
还比甲笼多1只，求甲、乙两笼原来各有鸡多少只？
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风筝史话
小朋友们，你们了解风筝吗？今天让我们一起走近风筝，了解风筝的历史。
风筝史于中国。中国最早的风筝是两千多年前春秋战国时期杰出的思想家、政治家、哲学
家墨子制造的。相传他研究了三年，终于用木头制成了一只木鸟，但只飞了一天就坏了。他
制造的这只木鸟，就是中国最早的风筝。
中国风筝问世后，很快就被用于传递信息、飞跃险阻等军事活动中。唐宋时期，由于造纸
业的出现，风筝改由纸糊，很快传入民间，成为人们娱乐的玩具。
宋朝风筝已在民间广泛流行，随着国际交往的增加，中国的风筝逐渐流传到世界各地。1：小小正在读一本263页的故事书，不小心合上了。
（1）小小记得刚读完的连续两页页码之和是105，她刚读完的两页页码分别是多少？
（2）如果小小每天读30页，剩下的几天能读完？
【思路分析】
（1）刚读完的连续两页的页码之和是105，相邻两页的页码之差是1，然后根据和差公式：
大数＝（和＋差）÷2，小数＝（和－差）÷2，解答即可。
（2）由（1）中可得出读了53页，则用总页数减去读了的页数，即可求出这本故事书还剩多
少页没读；用剩下的总页数除以每天读的页数，即可求出剩下的页数几天能读完。
【标准答案】
（1）（105＋1）÷2
＝106÷2
＝53（页）
（105－1）÷2
＝104÷2
＝52（页）
答：她刚读完的两页页码分别是52页和53页。
（2）（263－53）÷30
＝210÷30
＝7（天）
答：剩下的7天能读完。
1.实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小
减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗？
答案：1056人；1290人
分析：实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等。在实验一小人数
没有增加，实验二小人数没有减少之前，两校的人数相差：146＋88＝234（人），利用（和＋差）÷2＝大数，就可以求出实验二小实际的人数。
详解：根据题意画线段示意图如下：
（2346＋146＋88）÷2
＝2580÷2
＝1290（人）
2346－1290＝1056（人）
答：实验一小1056人；实验二小为1290人。
点睛：找出两个学校的人数差，利用和差公式解题即可；也可以用和倍方法解题。
2. 甲乙共储蓄32元，乙丙共储蓄30元，甲丙共储蓄22元，三人各储蓄多少元？
答案：12元；10元；20元
分析：根据题意可知：甲乙＋乙丙＋甲丙＝32＋22＋30＝84（元）；即2倍的（甲＋乙＋
丙）等于84元；据此即可求出甲、乙、丙各自储蓄的钱数。
详解：甲、乙、丙三人储蓄总额：（32＋22＋30）÷2＝42（元）
丙：42—32＝10（元）
甲：42—30＝12（元）
乙：42—22＝20（元）
答：甲12元，丙10元，乙20元。
点睛：求出甲、乙、丙三人储蓄的总额，是解答此题的关键。
3．一个三层书架共放书108本。上层比中层多放11本，下层比中层少放5本，上、
中、下三层各放书多少本？
答案：45本；34本； 29本
分析：根据题意可知，把中层书的本数看作一份量，书的总本数减去上层比中层多的11本，
加上下层比中层少放5本，就是中层放书的本数的3倍，据此即可求出中层，进而求出上层和下层放书的本数。
详解：中：（108－11＋5）÷3＝34（本）
上：34＋11＝45（本）
下：34－5＝29（本）。
答：上、中、下三层各放书45本、34本、29本。
点睛：选择一个标准量，是解答此题的关键。
2：四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲
多8张。如果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张？
【思路分析】
小玲得到选票最少，我们以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下；观察线段图，把小
玲获票张数看作1份，把小华获票 张数去掉8张，把小明获票张数去掉（8＋14）张，都凑
成1份，总张数减少为：54－8－（8＋14）＝24（张）。所以小玲获票张数为：24÷3＝8
（张）；小华获票张数为：8＋8＝16（张）；小明获票张数为：16＋14＝30（张）。
【标准答案】
以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下：
54－8－（8＋14）＝24（张）
24÷3＝8（张）
8＋8＝16（张）
16＋14＝30（张）
答：小玲获票张数为8张；小华获票张数为16张；小明获票张数为30张。
4．小琴、小静、小莲三人年龄和是20岁，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁。
三人的年龄各是几岁？
答案：7岁；8岁；5岁
分析：以小静为标准，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁，把小琴比小静大的1岁，补给小莲，那么小琴现在和小静一样大，而小莲比小静就只小1岁，如果再加上1岁，也和小
静一样大。那么现在小静年龄的3倍就应该是 （岁）。接下来就可以分别求出三人
的年龄。
详解：画线段示意图如下：
（1）小静年龄的3倍是： （岁）
（2）小静现在的年龄是： （岁）
（3）小琴现在的年龄是： （岁）
（4）小莲现在的年龄是： （岁）
答：小静年龄 岁，小琴年龄 岁，小莲年龄 岁。
点睛：根据题意，画出线段示意图是解答此题的关键。
5．甲、乙、丙三个数的和是105，甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，求丙数。
答案：31
分析：已知甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，可求出甲数比丙数多（4＋4）。如果甲数少
8，乙数少4，则甲、乙、丙三数相等，则[105－（4＋4＋4）]正好是丙的3倍，除以3便可
求出丙数。
详解：105－（4＋4＋4）
＝105－12
＝93
93÷3＝31
答：丙数是31。
点睛：把丙可知标准量，是解答此题的关键。
6．有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米。每块布料各长多少米？
答案：40米；60米；90米
分析：先画线段图，从线段图可以看出，以第一块为标准，第二块减少20米，第三块减少：
（米），总和减少： （米），即： （米）。120米相当于第
一块布料长的3倍，求出第一块布料的长度，第二块、第三块就可以求出。
详解：画线段示意图如下：
（1）第一块布料长度的3倍是： （米）；
（2）第一块布料的长度是： （米）；
（3）第二块布料的长度是： （米）；
（4）第三块布料的长度是： （米）；
答：第一块布料的长度40米，第二块布料的长度60米，第三块布料的长度90米。
点睛：本题主要考查了和差问题，用画线段图的方法解题容易理解题意。
3：第七届“小机灵杯”数学竞赛复赛 甲校原来比乙校多48人，为方便就近入学，甲
校有若干人转入乙校，这时甲校反而比乙校少12人。甲校有多少人转入乙校？
【思路分析】
利用移多补少思想思考， （人），当甲校转入乙校24人时，那么甲乙两校的人数就
一样多，当甲校继续有同学转入到乙校时，每转入一个同学，甲校就比乙校少2人，当再从
甲校转入（12÷2）人到乙校时，甲校就比乙校少12人，所以甲校一共转入乙校：24＋6＝30
（人）时，甲校就比乙校少12人。
【标准答案】
48÷2＋12÷2
＝24＋6
＝30（人）
答：甲校有30人转入乙校。7．兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？
答案：15岁；13岁
分析：3年前哥哥比弟弟大2岁，现在哥哥仍比弟弟大2岁，他们的年龄差不变。哥哥：（28
＋2）÷2＝15（岁）；弟弟：28－15＝13（岁）。
详解：（28＋2）÷2＝15（岁）
28－15＝13（岁）
答：哥哥现在15岁，弟弟现在13岁。
点睛：本题主要考查了和差问题，熟记：小数＝（和－差）÷2或：大数＝（和＋差）÷2，是
解答此题的关键。
8．今年小玲6岁，她父亲34岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？
答案：43岁；15岁
分析：题中没有给出小玲和父亲的年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么两人的年龄差
是：34－6＝28（岁），不论再过多少年，两人的年龄差是保持不变的，所以当两人年龄和为
58岁时，他们的年龄差仍是28岁，根据和差问题就可解此题。
详解：父亲的年龄：
〔58＋（34－6）〕÷2
＝〔58＋28〕÷2
＝86÷2
＝43（岁）
小玲的年龄：
58－43＝15（岁）
答：当两人年龄和为58岁时，父亲的年龄是43岁，小玲的年龄是15岁。
点睛：本题主要考查了和差问题，熟记：小数＝（和－差）÷2或：大数＝（和＋差）÷2，是
解答此题的关键。
9．方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本。问：方方和圆圆原来各有图书多少本？
答案：38本；32本
分析：方方给圆圆5本后，圆圆比方方多4本。，那么芳芳比圆圆多： （本）图书。
原来方方有： （本），圆圆有： （本）。
详解：[70＋（5×2－4）]÷2
＝[70＋（10－4）]÷2
＝[70＋6]÷2
＝76÷2
＝38（本）
70－38＝32（本）
答：方方和圆圆原来各有图书38本、32本。
点睛：本题主要考查了和差问题，熟记：小数＝（和－差）÷2或：大数＝（和＋差）÷2，是
解答此题的关键。
4：甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同
样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包？
【思路分析】
根据“从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多”可知，乙比甲多：8×2＝16
（包）；由此即可求出甲、乙两个仓库大米的包数。
【标准答案】
（56＋8×2）÷2
＝72÷2
＝36（包）
56－36＝20（包）
答：甲仓库有大米20包，乙仓库有大米36包。
点睛：本题主要考查了和差问题，熟记：小数＝（和－差）÷2或：大数＝（和＋差）÷2，是
解答此题的关键。
10.周明和王刚两人数学成绩的和是182分。周明如果多考5分，就比王刚多3分。周明和王刚的数学各考了多少分？
答案：92分；90分
分析：已知周明和王刚两人数学成绩的和是182分，根据条件“周明如果多考5分，就比王
刚多3分“可知，王刚的数学成绩比周明多： （分）。转换成和差问题解答即可。
详解：[182＋（5－3）]÷2
＝[182＋2]÷2
＝184÷2
＝92（分）
92－2＝90（分）
答：王刚考了92分，周明考了90分。
点睛：本题主要考查了和差问题，熟记：小数＝（和－差）÷2，或：大数＝（和＋差）÷2，
是解答此题的关键。
11.兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈
让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白
兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？
答案：19个；10个
分析：小白兔给了小黑兔5个后，小黑兔又比小白兔多出1个萝卜，可以得出小白兔原来的
萝卜比小黑兔多： （个）。这时就可以根据和差问题问题来解决了。
详解：[29＋（5×2－1）]÷2
＝[29＋（10－1）]÷2
＝[29＋9]÷2
＝38÷2
＝19（个）
29－19＝10（个）
答：小白兔19个，小黑兔10个.
点睛：这道题关键也是要找到暗差，再根据和差公式解题即可。
12.甲、乙两个笼子里共有小鸡20只，甲笼里新放4只，乙笼里取出1只，这时乙笼还比甲笼多1只，求甲、乙两笼原来各有鸡多少只？
答案： 只； 只
分析：这样想：已知甲、乙两个笼子里小鸡的和是20只，根据甲笼里放入4只，乙笼里取出
1只，还剩1只可知，甲、乙两个笼里小鸡只数相差：4＋1＋1＝6（只）。
详解：（1）乙笼比甲笼多多少只？
4＋1＋1＝6（只）
（2）甲笼原来有小鸡多少只？
（20－6）÷2
＝14÷2
＝7（只）
（3）乙笼里原来有小鸡多少只？
20－7＝13（只）
或（20＋6）÷2＝13（只）
答：甲笼里原有小鸡7只；乙笼里原有小鸡13只。
点睛：找出甲、乙两个笼里小鸡只数的差，是解答此题的关键。
