文档内容
2016 年呼和浩特市中考试卷
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.互为相反数的两个数的和为( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
2.将数字“6”旋转180°,得到数字“9”,将数字“9”旋转180°,得到数字“6”,现将数字
“69”旋转180°,得到的数字是( )
A.96 B.69 C.66 D.99
3.下列说法正确的是( )
A.“任意画一个三角形,其内角和为360°”是随机事件
B.已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6,则他投十次可投中6次
C.抽样调查选取样本时,所选样本可按自己的喜好选取
D.检测某城市的空气质量,采用抽样调查法
4.某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,
则5月份的产值是( )
A.(a-10%)(a+15%)万元 B.a(1-90%)(1+85%)万元
C.a(1-10%)(1+15%)万元 D.a(1-10%+15%)万元
5.下列运算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.(-2a2)3÷(a) 2=-16a4
2
1
C.3a-1= D.(2√3a2-√3a)2÷3a2=4a2-4a+1
3a
6.如图,△ABC是一块绿化带,将阴影部分修建为花圃.已知AB=15,AC=9,BC=12,阴影部分是
△ABC的内切圆.一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上,则小鸟落在花圃上的概率为
( )
1 π π π
A. B. C. D.
6 6 8 5
7.已知一次函数y=kx+b-x的图象与x轴的正半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而增大,
则k,b的取值情况为( )
A.k>1,b<0 B.k>1,b>0 C.k>0,b>0 D.k>0,b<0
8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.4π B.3πC.2π+4 D.3π+4
9.如图,面积为24的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、
√6
FD上.若BF= ,则小正方形的周长为( )
2
5√6 5√6 5√6 10√6
A. B. C. D.
8 6 2 3
10.已知a≥2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,则(m-1)2+(n-1)2的最小值是( )
A.6 B.3 C.-3 D.0
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.本题要求把正确结果填在横线上,不需要解
答过程)
11.下图是某市电视台记者为了解市民获取新闻的主要途径,通过抽样调查绘制的一个条形统
计图.若该市约有230万人,则可估计其中将报纸和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人
数大约为 万人.
1
12.已知函数y=- ,当自变量的取值为-13(x-1),
19.(6分)已知关于x的不等式组 有四个整数解,求实数a的取值范围.
1 3
x≤8- x+2a
2 2
20.(7分)在一次男子马拉松长跑比赛中,随机抽得12名选手所用的时间(单位:分钟)得到如下样本数据:140 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148
(1)计算该样本数据的中位数和平均数;
(2)如果一名选手的成绩是147分钟,请你依据该样本数据中位数,推断他的成绩如何.
21.(7分)已知,如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一
点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)求证:2CD2=AD2+DB2.
22.(7分)某一公路的道路维修工程,准备从甲、乙两个工程队中选一个队单独完成.根据两队
每天的工程费用和每天完成的工程量可知,若由两队合做此项维修工程,6天可以完成,共需工
程费用385 200元,若单独完成此项维修工程,甲队比乙队少用5天,每天的工程费用甲队比
乙队多4 000元.从节省资金的角度考虑,应该选择哪个工程队?
k
23.(8分)已知反比例函数y= 的图象在二四象限,一次函数为y=kx+b(b>0).直线x=1与x轴
x
交于点B,与直线y=kx+b交于点A;直线x=3与x轴交于点C,与直线y=kx+b交于点D.
(1)若点A、D都在第一象限,求证:b>-3k;
ED 3
(2)在(1)的条件下,设直线y=kx+b与x轴交于点E,与y轴交于点F,当 = 且△OFE的面积
EA 4
27 k
等于 时,求这个一次函数的解析式,并直接写出不等式 >kx+b的解集.
2 x24.(9分)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交
△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.
(1)求证:∠FBC=∠FCB;
(2)已知FA·FD=12,若AB是△ABC外接圆的直径,FA=2,求CD的长.
25.(12分)已知二次函数y=ax2-2ax+c(a<0)的最大值为4,且抛物线过点(7 9).点P(t,0)是
,-
2 4
x轴上的动点,抛物线与y轴的交点为C,顶点为D.
(1)求该二次函数的解析式及顶点D的坐标;
(2)求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标;
(3)设Q(0,2t)是y轴上的动点,若线段PQ与函数y=a|x|2-2a|x|+c的图象只有一个公共点,求t
的取值.答案全解全析：
一、选择题
1.A 互为相反数的两个数的和为0.故选A.
2.B 根据数字“6”和“9”的特点及旋转的定义知,数字“69”旋转180°得到“69”.故选
B.
3.D 选项A中事件是不可能事件,选项A错;投中的概率为0.6,不代表投十次可投中6次,选
项B错;抽样调查选取样本时应注意要有广泛性和代表性,选项C错.故选D.
4.C 由题意知4月份产值为a(1-10%)万元,所以5月份产值为a(1-10%)(1+15%)万元.故选
C.
5.D 因为a2与a3不是同类项,不能合并,所以选项A错;因为(-2a2)3÷(a) 2 =-8a6· 4 =-32a4,所
2 a2
3
以选项B错;因为3a-1= ,所以选项C错.故选D.
a
AC+BC-AB 1
6.B 设△ABC内切圆的半径为r,则r= =3,则其面积为9π.S = AC·BC=54,
△ABC
2 2
9π π
则小鸟落在花圃上的概率为 = .故选B.
54 6
{
k-1>0,
7.A 根据题意得 解得{k>1,故选A.
b
- >0, b<0.
k-1
8.D 由几何体的三视图可知此几何体为圆柱的一半,其底面半圆的半径为1,高为2,所以该
1
几何体的表面积为4+π+ ×2π×2=3π+4.故选D.
2
9.C ∵正方形ABCD的面积为24,∴其边长为√24=2√6,
√6 3√6
又∵BF= ,∴CF= ,∵四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形,∴∠B=∠C=90°,
2 2
∠EFG=90°,∴∠DFC+∠CDF=90°,∠BFE+∠DFC=90°,∴∠BFE=∠CDF,
EB FC 3√6
∴△EFB∽△FDC,∴ = ,∴EB= .
BF CD 8
5√6 5√6
在Rt△EBF中,EF=√EB2+BF2= ,∴小正方形EFGH的周长为4EF= ,故选C.
8 2
评析 本题考查了正方形的性质、三角形相似的判定与性质及勾股定理.属中档题.
10.A 由题意知m,n可看作一元二次方程x2-2ax+2=0的两个实数根,所以m+n=2a,mn=2.
则(m-1)2+(n-1)2=m2+n2-2(m+n)+2
=(m+n)2-2(mn+m+n)+2
=4a2-4a-2
=4( 1) 2-3.
a-
2因为a≥2,所以当a=2时,4( 1) 2 -3有最小值6,
a-
2
即(m-1)2+(n-1)2的最小值是6.故选A.
二、填空题
11.答案 151.8
解析 由条形统计图知本次共调查了260+400+150+100+90=1 000人.其中将报纸和手机
上网作为获取新闻的主要途径的人数为660人,占调查人数的66%,所以估计该市将报纸和手
机上网作为获取新闻的主要途径的总人数大约为230×66%=151.8(万人).
1
12.答案 y>1或- ≤y<0
2
1 1
解析 函数y=- ,在每个象限内,y都随x的增大而增大,所以当-11或-
x 2
≤y<0.
5
13.答案
16
解析 画树状图如图.
本次试验结果共16个,记“分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,两名同学的植树总棵数
5
为19”为事件A,事件A包含的结果有5个,所以P(A)= .
16
14.答案 24
解析 因为☉O的周长为26π,所以其半径r=13<18,因为平行线AB、CD间的距离为18,则
弦心距为18-13=5,所以CD=2 =24.
√132-52
15.答案 (-a-2,-b)或(-a+2,-b)
解析 因为AB∥x轴,A(a,b),且AB=2,所以B的坐标为(a+2,b)或(a-2,b),因为 ▱ABCD是中心
对称图形,其对称中心与原点重合,所以点B与点D关于原点对称,所以点D的坐标为(-a-2,-b)
或(-a+2,-b).
16.答案 ①②③④
解析 对应角相等的两个三角形相似,面积相等则有对应边相等,所以两三角形全等,①正确;
“若 x2-x=0,则x=0”的逆命题为“若 x=0,则x2-x=0”,是真命题,②正确;由-x+y-a=0 得
y=x+a,代入bx-y+1=0中,得(b-1)x=a-1,当b-1=a-1=0时,x有无数个值,即a=b=1时,方程组
有无数多组解,③正确;5xy+3y-2x2y=-y(2x2-5x-3)=-y(2x+1)(x-3),故④正确.所以正确命题的序
号是①②③④.
三、解答题
√3
17.解析 (1)原式=4+2-√3+3× (3分)
3
=6-√3+√3
=6.(5分)1 x-3 x-3
(2)原式= + · (2分)
x+1 (x-3)2 x(x+1)
1 1
= + (3分)
x+1 x(x+1)
x+1 1
= = .(4分)
x(x+1) x
1
3 2
当x=- 时,原式= 3 =- .(5分)
2 - 3
2
18.解析 已知∠BCA=35°,BC=80 m,由题意得∠EDA=50°,DC=30 m.
AC
在Rt△ABC中,cos 35°= ,
BC
∴AC=BCcos 35°=80cos 35°(m).(2分)
AE
在Rt△ADE中,tan 50°= ,(3分)
AD
∵AD=AC+DC=(80cos 35°+30)m,(4分)
∴AE=[(80cos 35°+30)tan 50°]m.(5分)
答:塔高为[80cos 35°+30)tan 50°]m.(6分)
{5x+2>3(x-1),(1)
19.解析
1 3
x≤8- x+2a,(2)
2 2
5
解不等式(1)得x>- ,(2分)
2
解不等式(2)得x≤a+4.(4分)
由不等式组的解集有四个整数解得1≤a+4<2,(5分)
所以-3≤a<-2.(6分)
148+152
20.解析 (1)中位数为 =150(分钟).(2分)
2
设基准数a=140,则新数据为0 6 3 35 -15 24 -6 15 12 28 22 8,(3分)
0+6+3+35+(-15)+24+(-6)+15+12+28+22+8
∴x=140+ =151(分钟).(5分)
12
(2)依据(1)中得到的样本数据的中位数可以估计,在这次马拉松比赛中,大约有一半选手的成
绩快于150分钟.有一半选手的成绩慢于150分钟.这名选手的成绩是147分钟,快于中位数
150分钟,可以推断他的成绩比一半以上选手的成绩好.(7分)
21.证明 (1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,
∴CD=CE,AC=BC,∠ECD=∠ACB=90°,
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,
即∠ECA=∠DCB.(1分)
{
EC=DC,
在△ACE与△BCD中, ∠ACE=∠BCD,(3分)
AC=BC,
∴△ACE≌△BCD.(4分)
(2)∵△ACE≌△BCD,∴AE=BD.(5分)
∵∠EAC=∠BAC=45°,∴∠EAD=90°.
在Rt△EAD中,ED2=AD2+AE2,
∴ED2=AD2+BD2.(6分)
又ED2=EC2+CD2=2CD2,
∴2CD2=AD2+DB2.(7分)
22.解析 设甲队单独完成此项维修工程需x天.(1分)
1 1 1
依据题意可列方程: + = .(3分)
x x+5 6
解得x =10,x =-3(舍去),
1 2
经检验,x=10是原方程的解.(4分)
设甲队每天的工程费用为y元.
依据题意可列方程:6y+6(y-4 000)=385 200,
解得y=34 100.(5分)
∴甲队完成此项维修工程的费用为34 100×10=341 000(元),
乙队完成此项维修工程的费用为30 100×15=451 500(元).(6分)
答:从节省资金的角度考虑,应该选择甲工程队.(7分)
23.解析 (1)证明:由反比例函数的图象在二四象限可知k<0.(1分)
∴一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小,
∵A、D两点都在第一象限,
∴3k+b>0,且k+b>0,(2分)
∴b>-3k.(3分)
ED CD
(2)由题意得 = ,
EA AB
3k+b 3
∴ = ,①(4分)
k+b 4
∵E( b ),F(0,b),(5分)
- ,0
k
∴S
△OEF
=1·(
-
b)·b=27,②(6分)
2 k 2
1
解由①②联立的方程组,得k=- ,b=3,
3
1
∴这个一次函数的解析式为y=- x+3.(7分)
3
9-√85 9+√85
解集为 .(8分)
2 2
24.解析 (1)证明:∵四边形AFBC内接于圆,
∴∠FBC+∠FAC=180°,
又∵∠CAD+∠FAC=180°,
∴∠FBC=∠CAD,(1分)
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,
∴∠EAD=∠CAD,又∵∠EAD=∠FAB,
∴∠FAB=∠CAD.(2分)
又∵∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB.(3分)
(2)由(1)知∠FBC=∠FCB,∠FCB=∠FAB,
∴∠FAB=∠FBC,(4分)
又∵∠BFA=∠BFD,∴△AFB∽△BFD.(5分)
BF FA
于是有∠FBA=∠FDB, = ,即BF2=FA·FD=12,∴BF=2√3.(6分)
FD BF
而FA=2,∴FD=6,AD=4,
∵AB为圆的直径,∴∠BFA=∠BCA=90°,(7分)
AF 2 √3
∴tan∠FBA= = = ,∴∠FBA=30°,(8分)
BF 2√3 3
又∵∠FBA=∠FDB,
∴∠FDB=30°,∴CD=2√3.(9分)
25.解析 (1)y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=1,
所以抛物线过(1,4)和(7 9)两点.(1分)
,-
2 4
{
a-2a+c=4,
代入解析式得 (2分)
49 9
a-7a+c=- ,
4 4
解得a=-1,c=3,
∴y=-x2+2x+3,(3分)
∴顶点D的坐标为(1,4).(4分)
(2)∵C、D两点的坐标为(0,3),(1,4),
由三角形两边之差小于第三边可知|PC-PD|≤|CD|,(5分)
∴P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值,此时最大值为|CD|=√2.(6分)
易知CD所在直线的方程为y=x+3,
将P(t,0)代入得t=-3,
∴此时对应的点P为(-3,0).(7分)
(3)y=a|x|2-2a|x|+c的解析式可化为
y={-x2+2x+3(x≥0),(8分)
-x2-2x+3(x<0).
设线段PQ所在直线的方程为y=kx+b(k≠0),将P(t,0),Q(0,2t)代入得到线段PQ所在直线的方
程为y=-2x+2t,(9分)
∴①当线段PQ过点(0,3),即点Q与点C重合时,线段PQ与函数
y={-x2+2x+3(x≥0),有一个公共点,此时t=3,
-x2-2x+3(x<0) 2
当线段PQ过点(3,0),即点P与点(3,0)重合时,t=3,此时线段PQ与y={-x2+2x+3(x≥0),
-x2-2x+3(x<0)有两个公共点,所以当3≤t<3时,线段PQ与y={-x2+2x+3(x≥0),有一个公共点.(10分)
2 -x2-2x+3(x<0)
②将y=-2x+2t代入y=-x2+2x+3(x≥0)得-x2+4x+3-2t=0,
7
令Δ=16+4(3-2t)=0,解得t= >0,
2
所以当t=7时,线段PQ与y={-x2+2x+3(x≥0),也有一个公共点.(11分)
2 -x2-2x+3(x<0)
③当线段PQ过点(-3,0),即点P与点(-3,0)重合时,线段PQ只与y=-x2-2x+3(x<0)有一个公共
点,此时t=-3,
所以当t≤-3时,线段PQ与y={-x2+2x+3(x≥0),也有一个公共点.
-x2-2x+3(x<0)
3 7
综上所述,t的取值为 ≤t<3或t= 或t≤-3.(12分)
2 2
评析 本题为二次函数综合题,考查了用待定系数法求二次函数解析式,三角形三边关系,一
次函数与二次函数图象的交点个数问题,需要根据变量t的不同取值分类讨论,此处是本题的
解题关键.属难题.
(说明:本试卷各题只要方法合理,可依据情况酌情给分)
