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第28章 锐角三角函数 A卷
满分120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 已知 是等腰直角三角形的一个锐角，则 的值为（ ）
√2
A. B. 2 C. D. 1
【答案】 B
【考点】等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值
√2
【解析】【解答】∵α是等腰直角三角形的一个锐角，∴α=45°，∴sinα=sin45°=
2
故答案为：B．
【分析】根据等腰直角三角形的性质及特殊锐角三角函数值得出答案。
2. ( 3分 ) sin30°等于（ ）
1 1 √3 √3
A. B. - C. D. -
2 2 2 2
【答案】 A
【考点】特殊角的三角函数值
1
【解析】【分析】根据sin30°= 直接解答即可．
2
1
【解答】sin30°= ．
2
【点评】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
3. ( 3分 ) 如图，在 Rt螖ABC 中， .若 AC=4 ， BC=3 ，则下列结论中正确的是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司3 5 3 3
A. sin A= B. cosA= C. tan A= D. cosA=
4 3 4 5
【答案】 C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ，
AC=4
，
BC=3
∴AB= √AC2+BC2=5
BC 3
∴ sin A= = ，故A选项错误；
AB 5
AC 4
cosA= = ，故B、D选项错误；
AB 5
BC 3
tanA= = ，故C选项正确.
AC 4
故答案为：C
【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据三角函数的定义解答即可.
√3 √2
4. ( 3分 ) 在锐角△ABC中，|sinA﹣ |+（cosB﹣ ）2=0，则∠C的度数是（ ）
2 2
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】 D
【考点】特殊角的三角函数值
√3 √2
【解析】【解答】解：由题意得，sinA﹣ =0，cosB﹣ =0，
2 2
√3 √2
则sinA= ， cosB= ，
2 2
∠A=45°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣45°﹣45°=90°．
学科网（北京）股份有限公司故选D．
【分析】根据非负数的性质求出∠A和∠B的度数，然后求出∠C的度数．
5. ( 3分 ) 如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向
前进12 m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于( )
A. 6（√3＋1）m B. 6 (√3-1) m C. 12 (√3＋1) m D. 12（√3－1）m
【答案】 A
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】
【分析】利用所给的角的三角函数用AB表示出BD，CB；根据BC-DB=CD即可求出建筑物AB的高度．
√3
【解答】根据题意可得：BC= = AB，BD= =AB．
∵CD=BC-BD=AB（√3-1)=12，
∴AB=6（√3＋1)
故选A．
【点评】本题通过考查仰角的定义，构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力
2
6. ( 3分 ) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，则BC的长为（ ）
3
18√3 12√3
A. 4 B. 2√5 C. D.
13 13
【答案】 A
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
学科网（北京）股份有限公司∵∠C=90°，
BC
∴cosB= ，
AB
2
∴BC=ABcosB=6× =4，
3
故选：A．
BC
【分析】根据cosB= 知BC=ABcosB，即可得解．
AB
7. ( 3分 ) 用计算器求cos15°，正确的按键顺序是（ ）
A. cos15= B. cos15 C. Shift15 D. 15cos
【答案】 A
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】先按键“cos”，再输入角的度数15，按键“=”即可得到结果.
故选A
【分析】根据用计算器算三角函数的方法：先按键“cos”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果.
8. ( 3分 ) 如图，已知l1∥l2∥l3∥l4 ， 相邻两条平行直线间的距离相等.若等腰直角 的三个顶点分
别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（ ）
2√13 3√13 3 2
A. B. C. D.
13 13 2 3
【答案】 A
【考点】平行线的性质，解直角三角形，三角形全等的判定（AAS）
学科网（北京）股份有限公司√3
【解析】【解答】如图，过点A作 于D，过点B作 于E，设 间的距离为 a(a>0)
3
则 AD=3a,BE=2a
是等腰直角三角形
∵ ，
∴
在 和 中，
∴
∴ CE=AD=3a
在 中， CB=√CE2+BE2=√(3a) 2+(2a) 2=√13a
则
故答案为：A.
【分析】如图（见解析），过点A作 于D，过点B作 于E，先根据同角的余角相等求
出 ，再根据三角形全等的判定定理与性质可得 CE=AD ，然后利用勾股定理列式求出
BC的长，最后根据锐角的正弦定义列式计算即可得.
√2
9. ( 3分 ) 若∠A为锐角，cosA= ，则∠A的度数为（ ）
2
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
学科网（北京）股份有限公司【答案】 C
【考点】特殊角的三角函数值
√2
【解析】【解答】解：由∠A为锐角，cosA= ，得
2
∠A的度数为45°，
故选：C．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
10. ( 3分 ) 等腰三角形的底角为15，腰长a为，则此等腰三角形的底长为（ ）
√3−1 1+√3 √6+√2
a a
A. 2 B. 2 C. D. 2 a
【答案】 D
【考点】等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得，∠B=∠C=15°，AB=AC，
BD
则cos∠B=cos15°= ，AB=a，
AB
∴BC=2BD=2AB•cos15°．
√6+√2
又cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°= ．
4
√6+√2
∴BC=2AB•cos15°= a．
4
故答案为：D．
【分析】先作出图形，过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出BC=2BD=2AB•cos15°，再
根据cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°，然后根据BC=2AB•cos15°，计算即可求出答案。
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 ________.
学科网（北京）股份有限公司1
【答案】
2
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
在直角三角形 中，
，
1
故答案为： .
2
【分析】根据正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做 的正切，记作tanA，利用网格计
算即可.
12. ( 4分 ) 计算：tan60°﹣cos30°=________．
√3
【答案】
2
【考点】特殊角的三角函数值
√3
【解析】【解答】tan60°﹣cos30°= = 2 .
√3
故答案为： .
2
【分析】根据特殊角的三角函数值，直接计算即可求解。
1
13. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，AC=2，∠A=45°，tanB= ， 则BC的长为________．
2
学科网（北京）股份有限公司【答案】 √10
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC=2，∠A=45°，
√2
∴CD=AC•sin∠A=2•sin45°=2× =√2 ，
2
1
∵tanB= ，
2
√2
CD
∴BD= = 1 =2√2 ，
tanB
2
∴BC= = = ．
√CD2+BD2 √(√2) 2+(2√2) 2 √10
故答案为√10 ．
【分析】过点C作CD⊥AB于D，利用∠A的正弦值求出CD，再根据∠B的正切值求出BD，利用勾股定
理列式求出BC的长．
14. ( 4分 ) 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在 处，若
的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为________．
学科网（北京）股份有限公司√10
【答案】
10
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90°，
∴∠BA'C=90°，
在Rt△A'CB中， ，
设AE=x，则A'E=x，
∴DE=10 x，CE=A'C+A'E=8+x，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，（10 x）2+36=（8+x）2 ，
∴x=2，
∴AE=2，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE= ，
√AB2+AE2=2√10
AE √10
∴sin∠ABE= = ，
BE 10
√10
故答案为： ．
10
【分析】先利用勾股定理求出A'C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数
即可得出结论．
15. ( 4分 ) 在 中， ， ， 的面积为12，则 的度数为________．
【答案】 30°或150°
【考点】三角形的面积，解直角三角形
【解析】【解答】由于题意未准确告知 形状，所以可分两种情况讨论：
若 为锐角三角形，如图，过点
C
作 ，
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ CD=3 ，
CD 3 1
在 中， sin A= = = ，
AC 6 2
∴ ；
若 为钝角三角形，如图，过点
B
作 ，
∵ ， ，
∴ BD=4 ，
在 中， ，
∴ ,
则 ．
综上所述， 的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．
学科网（北京）股份有限公司【分析】分两种情况讨论，当三角形为锐角三角形和对角三角形时，再利用三角形的面积和解直角三角
形求解即可。
16. ( 4分 ) 计算： ________．
【答案】 1
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式 ．
故答案是：1．
【分析】利用特殊角三角函数值进行解答即可.
17. ( 4分 ) 将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，DE、CF为折痕，折叠后点A和点B都落在点O处．若
AB
△EOF是等边三角形，则 的值为________．
AD
【答案】 √3
【考点】等边三角形的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵△EOF是等边三角形，
∴EF=OE=OF，∠OEF=60°，
由折叠的性质可得：OE=AE，OF=BF，∠AED=∠OED，
∴AB=3AE，∠AED= =60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
AD
∴tan∠AED= =√3 ，
AE
∴AD= √3 AE，
AB 3AE
∴ = =√3 ．
AD √3AE
学科网（北京）股份有限公司故答案为： √3
【分析】先根据△EOF是等边三角形，可得EF=OE=OF，∠OEF=60°，然后根据折叠的性质可得
OE=AE，OF=BF，∠AED=∠OED，从而确定AB=3AE，∠AED的度数，根据矩形的性质利用∠AED的正
切函数定义可得正切值，利用AD与AE的关系即可确定所求的值.
18. ( 4分 ) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ √37 ，D是CB延长线上一点，以BD为边向上
作等边三角形EBD，连接AD，若AD＝11，且∠ABE＝2∠ADE，则tan∠ADE的值为________．
2
【答案】 √3
5
【考点】等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，在线段DA上取一点T，使得DT＝TE，连接ET，BT，AE，延长BT交DE
于K，作TH⊥BD于H．
∵△BDE是等边三角形，
∴BE＝BD，∠EBD＝60°，
∵TE＝TD，BT＝BT，
∴△BTE≌△BTD（SSS），
∴∠EBT＝∠DBT＝30°，
∵BE＝BD，
∴BK⊥DE，EK＝DK，
∵TE＝TD，
∴∠TED＝∠TDE，
∴∠ATE＝∠TED+∠TDE＝2∠TDE，
∵∠ABE＝2∠ADE，
∴∠ABE＝∠ATE，
∴A，B，T，E四点共圆，
∴∠EAT＝∠EBT＝30°，
学科网（北京）股份有限公司1
∴∠EAB＝ ∠EBD，
2
∴点A在B为圆心，BE为半径的⊙B上，延长AB交⊙B于J，连接DJ．
∵AJ是直径，
∴∠ADJ＝90°，
∴DJ＝
DJ 3√3
∴tan∠DAJ＝ = ，
AD 11
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD，
3√3
∴tan∠BDA＝ ，
11
∵TH⊥DH，
TH 3√3
∴ ＝ ，设TH＝ 3√3 k，则DH＝11k，
DH 11
在Rt△BHT中，BH＝ ＝9k，
∴BD＝BH+DH＝20k＝ √37 ，
√37
∴k＝ ，
20
3√111
∴BT＝2TH＝ ，
10
√111
∵BK＝BD•cos30°＝ ，
2
√111
∴TK＝BK﹣BT＝ ，
5
√37
∵DK＝ ，
2
√111
TK 5 2√3
∴tan∠ADE＝ = = ．
DK √37 5
2
2√3
故答案为： ．
5
学科网（北京）股份有限公司【分析】如图，在线段DA上取一点T，使得DT＝TE，连接ET，BT，AE，延长BT交DE于K，作
1
TH⊥BD于H．想办法证明∠EAB＝ ∠EBD，推出点A在B为圆心，BE为半径的⊙B上，延长AB交
2
⊙B于J，连接DJ．解直角三角形求出TK，DK即可解决问题．
三、解答题
19. ( 6分 ) 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为
60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．
（精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）
【答案】 解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66米．
BC
∵sin40°= ，∴BC≈0.64×660=422.4米≈422米．
AB
答：山的高度BC约为422米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用正弦函数的定义由sin40°=BC ∶AB得出B错的长度，从而得出答案。
20. ( 6分 ) 如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根
较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的
高度为42cm，AB＝43cm，CF＝42cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°．求两根较粗钢管AD和BC的长．
学科网（北京）股份有限公司（结果精确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，
tan60°≈1.73）
【答案】 解：作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如图2，FH＝42cm，
FH
在Rt△BFH中，∵sin∠FBH＝ ，
BF
∴BF＝ ≈48.28，
∴BC＝BF+CF＝48.28+42≈90.3（cm）；
DQ
在Rt△BDQ中，∵tan∠DBQ＝ ，
BQ
∴BQ＝ ，
DQ
在Rt△ADQ中，∵tan∠DAQ＝ ，
AQ
∴AQ＝ ，
∵BQ+AQ＝AB＝43，
∴ + ＝43，解得DQ≈56.999，
学科网（北京）股份有限公司DQ
在Rt△ADQ中，∵sin∠DAQ＝ ，
AD
∴AD＝ ≈58.2（cm）．
答：两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2cm、90.3cm．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，由已知可得FH=42，在Rt△BFH中，利用解直角三角
形求出BF，再由BC＝BF+CF求出BC的长，再在Rt△BDQ中，求出BQ，在Rt△ADQ中求出AQ的长，
由BQ+AQ=AB=43，建立方程求出DQ的长，然后在Rt△ADQ中，利用解直角三角形求出AD的长。
21. ( 6分 ) 如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西
60°向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏
西75°方向上，A、B两地之间的距离为16海里．求A、C两地之间的距离．（保留根号）
【答案】 解：过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，
由题意得，∠ACB=60°﹣30°=30°，
∠ABC=75°﹣60°=15°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
在Rt△ABD中，AB=16海里，∠DAB=45°，
∴BD=AD=ABcos45°=8 √2 （海里），
BD
在Rt△CBD中，CD= =8 √6 ，
tan300
∴AC=（8 √6 ﹣8 √2 ）（海里），
答：A、C两地之间的距离是8（ √6 ﹣ √2 ）海里．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，根据题意可得∠ACB和∠ABC的度数，然后根
据三角形外角定理求出∠DAB的度数，已知AB=12海里，可求出BD、AD的长度，在Rt△CBD中，解直
角三角形求出CD的长度，继而可求出A、C之间的距离．
22. ( 6分 ) 计算：|﹣3|+√3•tan30°﹣√38﹣（2008﹣π）0 ．
学科网（北京）股份有限公司√3
【答案】 解：原式=3+√3• -2-1=3+1﹣2﹣1=1．
3
（注：只写后两步也给满分．）
【考点】相反数及有理数的相反数，实数的运算，0指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值
√3
【解析】按照实数的运算法则依次计算：|﹣3|=3，tan30°= ， √38=2，（2008﹣π）0=1．
3
1 1
23. ( 10分 ) 如图，抛物线 y= x2+ x+c 与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C
4 4
在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．
（1）求c的值及直线AC的函数表达式；
（2）点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交
AB于点N，若M为PQ的中点．
①求证：△APM∽△AON；
②设点M的横坐标为m ， 求AN的长（用含m的代数式表示）．
15 15 3
【答案】 （1）解：把点C（6， ）代入抛物线得: =9+ +c.
2 2 2
解得c=-3.
学科网（北京）股份有限公司1 1
当y=0时， x2+ x-3=0.
4 4
解得：x=-4,x=3.
1 2
∴A(-4,0).
设直线AC的函数表达式为：y=kx+b(k≠0）.
15
把A(-4,0)，C（6， ）代入得：
2
{ k= 3 )
解得： 4
b=3
3
∴直线AC的函数表达式为：y= x+3.
4
OB 3 OB 3
（2）①证明：∵在Rt△AOB中，tan∠OAB= = . 在Rt△AOB中，tan∠OAD= = .
OA 4 OA 4
∴∠OAB=∠OAD.
∵在Rt△POQ中,M为PQ中点.
∴OM=MP. ∴∠MOP=∠MPO. 又 ∵∠MOP=∠AON. ∴∠APM=∠AON. ∴△APM△AON.
②解：如下图，过点M作ME⊥x轴于点E.
3 4
∵OM=MP.∴OE=EP.又∵点M的横坐标为m.∴AE=m+4,AP=2m+4.∵tan∠OAD= .∴cos∠EAM=cos∠OAD=
4 5
5 5(m+4) AM AP 5m+20
.∴AM=4AE= 4 .∵△APM∽△AON.∴ AN =AO.∴AN= = 2m+4 .
学科网（北京）股份有限公司【考点】待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
15
【解析】【分析】(1)把点C（6， ）代入抛物线求出c的值，令y=0求出A点坐标，再用待定系数法求
2
出直线AC的函数表达式.
OB 3 OB 3
(2)①在Rt△AOB中，tan∠OAB= = . 在Rt△AOB中，tan∠OAD= = .从而得出∠OAB=∠OAD；
OA 4 OA 4
在Rt△POQ中,M为PQ中点得出OM=MP.∠APM=∠AON；从而证明△APM∽△AON.
②如上图，过点M作ME⊥x轴于点E；由OM=MP.得出OE=EP；点M的横坐标为m；得出
AE=m+4,AP=2m+4.
3 4 5m+20
根据tan∠OAD=4.求出cos∠EAM=cos∠OAD=5 ；再根据△APM∽△AON；得出AN= = 2m+4 .
四、综合题
12
24. ( 12分 ) 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
13
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值.
12
【答案】 （1）解：∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
13
学科网（北京）股份有限公司BD 12
∴ = ，
AB 13
BD 12
即 = ，
13 13
解得：BD＝12；
（2）解：∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
BD 12 3
∴tan∠C＝ = =
DC 8 2
【考点】锐角三角函数的定义
BD 12
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数sinA= = 可求解；
AB 13
（2）在直角三角形ABD中用勾股定理可求得AD的值，由线段的构成可求得CD的值，再根据锐角三角
BD
函数tan∠C= 可求解.
DC
25. ( 12分 ) 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点
E，过点D作DF⊥AC于点F.
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，求tanC.
【答案】 （1）解：连接OD，
∵OB=OD，
学科网（北京）股份有限公司∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE= ，
BE 2√2AE √2
在RT△BEC中，tanC= = = .
CE 4AE 2
【考点】勾股定理，圆周角定理，切线的判定，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形的性质可证得∠B=∠ODB，∠B=∠C，可推出
∠ODB=∠C，利用平行线的判定定理可得到OD∥AC，结合已知条件可证得OD⊥DF，然后根据切线的判定
定理可证得结论.
（2）连接BE，利用圆周角定理可证得∠AEB=90°，再利用勾股定理表示出BE的长，然后利用锐角三角
函数的定义可求出tanC的值.
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
