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第一章 三角形全等
1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；
②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全
等；
③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2.全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；
②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3.全等三角形的判定：
①边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4.证明两个三角形全等的基本思路：
⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.
⑵已知一边一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.
⑶已知两角：①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.第二章 轴对称
1.轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。
2.轴对称的性质：
①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂
直平分线；
3.线段的垂直平分线：
①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
②判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
4.角的角平分线：
①性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
②判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。
拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。
5.等腰三角形：
①性质定理：
⑴等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）
⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。（三线合
一）
②判断定理：
一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边）
6.等边三角形：
①性质定理：⑴等边三角形的三条边都相等；
⑵等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；
拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。
②判断定理：
⑴三条边都相等的三角形是等边三角形；
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形；
⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
7.直角三角形推论：
⑴直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
⑵直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。
逆推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三
角形．
第三章 勾股定理
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
1.勾股定理：
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。
2.勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
3.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。
常见勾股数：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13；7,24,25；8,15,17。
4.简单运用：
⑴勾股定理——常用于求边长、周长、面积；
⑵勾股定理的逆定理——常用于判断三角形的形状；
理解：①确定最大边（不妨设为c）；
②若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
⑶难点：运用勾股定理立方程解决问题。
第四章 实数
2.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
3.算术平方根：4.立方根：
5.开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
6.实数定义与分类：
⑴无理数：无限不循环小数叫做无理数。
理解：常见类型有三类：
①开方开不尽的数：如,等；
②有特定意义的数：如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等；
③有特定结构的数：如0.1010010001……等；(注意省略号)
⑵实数：有理数和无理数统称为实数。
⑶实数的分类：①按定义来分 ②按符号性质来分
7.实数比较大小法：
理解：⑴正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；
⑵数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；
⑶绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。
⑷平方法：a、b是两负实数，若a2＞b2，则a＜b。
8.实数的运算：
①六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方
②实数的运算顺序：
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
③实数的运算律：
加法交换律、加法结合律 、乘法交换律、乘法结合律 、乘法对加法的分配律。
9.近似数：
由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确
的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。
取近似值的方法——四舍五入法。
10.科学记数法：
把一个数记为（其中1≤a＜10,n是整数)的形式，就叫科学计数法。
11.实数和数轴：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。
实数与数轴上的点是一一对应的关系。
第五章 平面直角坐标系
1.在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
2.平面直角坐标系及有关概念：
⑴平面直角坐标系：
定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；
铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。
它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；
建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
⑵象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的
四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
⑶点的坐标的概念：
①对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应
的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
②点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，
横、纵坐标的位置不能颠倒。
③平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。
④平面内点的与有序实数对(坐标)是一一对应的关系。
⑷不同位置的点的坐标的特征:
①各象限内点的坐标的特征：点P(x,y)在第一象限：x>0,y>0；点P(x,y)在第二象限：x<0,y>0；
点P(x,y)在第三象限：x<0,y<0；点P(x,y)在第四象限：x>0,y<0。
②坐标轴上的点的特征：
点P(x,y)在x轴上：y=0，x为任意实数；
点P(x,y)在y轴上：x=0，y为任意实数。
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上：即是原点坐标为（0，0）。
③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上：x与y相等；
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线（直线y=-x）上：x与y互为相反数。
④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
⑤关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征：
点P与点p’关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于
x轴的对称点为P’（x，-y）
点P与点p’关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于
y轴的对称点为P’（-x，y）
点P与点p’关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的
对称点为P’（-x，-y）
⑥点P(x,y)平移n个单位：
向左平移n个单位后，坐标为（x-n，y）；
向右平移n个单位后，坐标为（x+n，y）；
向上平移n个单位后，坐标为（x，y+n）；
向下平移n个单位后，坐标为（x，y-n）
⑦点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：第六章 一次函数
1.函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯
一的值与其对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
2.自变量取值范围：
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全
体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方
面考虑。
3.函数的三种表示法：
⑴关系式（解析）法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及
数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
⑵列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，
这种表示法叫做列表法。
⑶图像法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
4.由函数关系式画其图像的一般步骤：
①列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
②描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
③连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
5.正比例函数和一次函数概念与性质：
⑴正比例函数和一次函数的概念：①一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则
称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
②特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函
数。
③正比例函数是特殊的一次函数。
⑵一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-b/k，0）或（1，k+b）作直线
y=kx+b．
一次函数图像之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|
个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
⑶一次函数、正比例函数图像的主要特征：
①一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；
②正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
⑷正比例函数的性质：
一般地，正比例函数有下列性质：
①当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
②当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
⑸一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函
数从左到右下降．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直
线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负
半轴．
（6）一次函数图像与系数的关系
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直
线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负
半轴．①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
一次函数图像上点的坐标特征
一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点
坐标是（-b/k，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
（7）一次函数图像与几何变换
直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成-y：-y=kx+b，即y=-kx-b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成-x：y=k（-x）+b，即y=-kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：-y=k（-x）+b，即y=kx-b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
6.正比例函数和一次函数解析式的确定：
理解：⑴确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数y=kx（k≠0）中的常数k。
⑵确定一个一次函数，需要确定一次函数y=kx+b(k≠0)中的常数k和b。
⑶解这类问题的一般方法是待定系数法。
具体方法：过点必代，交点必联。
7.一次函数与一元一次方程的关系：
理解：①任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形
式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数(y)值为0
时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．②由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的
形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的
值．
③从图像上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值。
