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专题 11 一次函数的应用
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：一次函数应用问题的求解思路........................................................................................................2
考点二：建立函数模型解决实际问题的一般步骤........................................................................................2
考点三：一次函数图象解决实际问题一般步骤............................................................................................2
考点四：求最值的本质2种最优方案............................................................................................................2
模块二：题型分类....................................................................................................................................................2
题型一：行程问题............................................................................................................................................2
题型二：工程问题............................................................................................................................................6
题型三：最大利润问题....................................................................................................................................8
题型四：分配问题..........................................................................................................................................11
题型五：分段计费问题..................................................................................................................................13
题型六：调运问题..........................................................................................................................................16
题型七：计时问题..........................................................................................................................................19
题型八：体积问题..........................................................................................................................................21
题型九：现实生活相关问题..........................................................................................................................26
题型十：几何问题..........................................................................................................................................30专题 11 一次函数的应用
模块一：基础知识
考点一：一次函数应用问题的求解思路
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计
问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
考点二：建立函数模型解决实际问题的一般步骤
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
考点三：一次函数图象解决实际问题一般步骤
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
考点四：求最值的本质 2 种最优方案
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案
及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线
或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
模块二：题型分类
题型一：行程问题
1.某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘
坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60km
的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最
后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．
(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．2.快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min，结束
后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km/h．两车之间的距离
y(km)与慢车行驶的时间x(h)的函数图像如图所示．
(1)请解释图中点A的实际意义；
(2)求出图中线段AB所表示的函数表达式；
(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
3.周末，小明和小亮相约到公园游玩．已知小明、小亮家到公园的距离相同，小明先骑车6min到达超市，
购买了一些水果和饮用水，然后再骑车10min到达公园．小明出发10min后，小亮骑车从家出发直接去
公园．下面给出的图象反映的是小明、小亮骑行的情况．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
小明离开家的时间/
4 6 20
min
1500
(2)填空：
①小明在超市购物的时间是_____min； ②超市到公园的距离是_____m；
③小亮骑行的速度是_____m/min； ④小亮到达公园时，小明距离公园还有_____m；
(3)解答：当0≤x≤31时，请直接写出y 关于x的函数解析式．
14.绍兴首条智慧快速路于今年3月19日正式通车．该快速路上M，N两站相距20km，甲、乙两名杭州亚
运会会务工作志愿者从M站出发前往N站附近的比赛场馆开展服务．甲乘坐无人驾驶小巴，乙乘坐无人
驾驶汽车．图中OC，AB分别表示甲、乙离开M站的路程s(km)与时间t(min)的函数关系的图象．
(1)填空：甲比乙提前______分钟出发；无人驾驶小巴的速度为______km/min；当乙乘坐无人驾驶汽车到
达N站时，无人驾驶小巴离N站还有______km．
(2)求乙离开M站的路程s(km)与时间t(min)的函数关系式并说明图中两函数图象交点P的实际意义．
5.在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到
A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙
比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数
图象．
请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取
值范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．6.疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情严重地区．图中的折线、线段分别表示甲，乙两车所走
的路程y （千米），y （千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信
甲 乙
息，解决下列问题：
(1)由于汽车发生故障，甲车在途中停留了______小时；
(2)甲车排除故障后，立即提速赶往．请问甲车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
(3)为了保证及时联络，甲、乙两车在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过45千米，请通过计算
说明，按图象所表示的走法是否符合约定．
7.小明和小亮相约从学校前往博物馆，其中学校距离博物馆900米.小明因有事，比小亮晚一些出发，图
中y =k t、y =k t+b分别是小明、小亮行驶的路程y与小明追赶时间t之间的关系．
1 1 2 2
（1）观察图象可知，小亮比小明先走了_______米．
（2）求k 、k 的值，并解释k 的实际意义．
1 2 2
（3）通过计算说明，谁先到博物馆．8.甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、
乙两人到达Q地后均停止，已知P、Q两地相距200km，设乙行驶的时间为t(h)，甲、乙两人之间的距离
为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题：
(1)由图象可知，甲比乙晚出发______h．图中线段BC所在直线的函数解折式为 ．
(2)设甲的速度为v km/h，求出v 的值．
1 1
(3)根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）．
题型 二： 工程问题
1.甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组
因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x
（天）之间的关系如图所示．
(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
2.2024年至2026年，某区计划三年集中攻坚农村公路，提升修建200公里农村公路．已知A施工队每天
修建公路长度是B施工队每天修建公路长度的2倍，若A、B两个施工队分别独立完成整个任务，A施工
队比B施工队少用25天．
(1)求B施工队每天修建公路长度是多少公里；
(2)若该区需付给A施工队的费用为每天40万元，需付给B施工队的费用为每天12万元．考虑到要不超过
20天完成整个工程，该区安排B施工队先单独完成一部分，剩下的部分两个施工队再合作完成．求 B施
工队先单独做多少天，该区需付的全部费用最低？最低费用是多少万元？3.为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在
360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调研发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x(m2)之
间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式；
(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配
甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？
4.哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用
大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和
10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：
车型 绥化（元/辆） 鹤岗（元/辆）
大货车 620 700
小货车 400 550
(1)两种货车各有多少辆？
(2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少
于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？
5.为准备参加“全国文明城市”评选，某市计划对200公里的道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路
的长度是乙工程队每天维护道路的长度的2倍，若甲、乙两个工程队分别独立完成整个任务，甲工程队比
乙工程队少用25天．
（1）求乙工程队每天维护道路的长度是多少公里；
（2）若该市需付给甲工程队的费用为每天40万元，需付给乙工程队的费用为每天12万元．考虑到要不超
过20天完成整个工程，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成，乙工
程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？6.为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具
体信息如下：
信息—
工程
每天施工面积（单位：m2） 每天施工费用（单位：元）
队
甲 x+300 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的
施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
题型三：最大利润问题
1.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头
盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按
单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一
半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
2.某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，
但不超过2122万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
A B
成本（万元/套） 25 28
售价（万元/套） 30 34
(1)该公司对这两种户型住房共有几种建房方案？
(2)若该公司所建的两种户型住房可全部售出，则采取哪一种建房方案获得利润最大？最大利润是多少？3.某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
4
进价（元/件） 60
5
6
售价（元/件） 90
6
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，
但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A
种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
4.西安白鹿原樱桃以果大、汁多味甜、品质优良等特点远近闻名．袁浪浪家种植了 A，B两个品种的樱桃
共4亩，两种樱桃的成本（包括种植成本和设备成本）售价如表：
品种 种植成本（万元/亩） 设备成本（万元/亩） 售价（万元/亩）
A 1 0.2 3.5
B 1.5 0.3 4.2
设种植A品种樱桃x亩，若4亩地全部种植两种樱桃共获得利润y万元（利润=售价-种植成本-设备成本）．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，则A品种樱桃种植多少亩时利润最大？
并求最大利润．
5.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．
已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；
3
(2)某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的 ，该特产
2
店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店
获得利润最大，最大利润为多少元？6.西峡猕猴桃是河南省西峡县特产．某网店新进甲、乙两种猕猴桃，已知购进10件甲种猕猴桃和15件乙
种猕猴桃需950元，购进15件甲种猕猴桃和20件乙种猕猴桃需1350元．
(1)求甲、乙两种猕猴桃的进货单价；
(2)若该网店购进甲、乙两种猕猴桃共100件，甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进
价的2倍标价后再打七折销售，若甲、乙两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于5100元（不考虑损耗），
请你帮网店设计利润最大的进货方案，并说明理由．
7.某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经
调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需
要470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不
大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售
完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值
范围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，
利润
乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率= ）不低于16%，求m的最大值．
本金8.2022年第19届亚运会（(The19thAsianGamesHangzhou2022)），简称“杭州2022年亚运会”，将
于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活
力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．它融合了杭
州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A、
B两种杭州亚运会吉祥物礼盒共50个，共花去7500元，这两种吉祥物礼盒的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
A种礼
168 198
盒
B种礼盒 138 158
(1)求A、B两种吉祥物礼盒分别购进了多少个；
(2)由于销售情况很好，第一次购进的50个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过12000元购
进A、B两种礼盒共80个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润？最大利润为
多少？
题型四：分配问题
1.某班举行“学党史”知识竞赛活动，班主任安排小颖购买A，B两种物品，如图是小颖购买物品前与同
学的对话情景：
(1)请计算出A，B两种物品的单价；
(2)本次竞赛活动共需购买20个物品，且A物品的数量不少于B物品数量的一半，请设计出最省钱的购买
方案，并说明理由．
2.为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已
4
知足球的单价为篮球单价的 ．
5
(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？
(2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（m≤45）个，总费用为w元，请写出w与m的函
数关系式；
(3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费
用应为多少？
3.某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价
收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾
客准备购买x支钢笔和笔记本(x+10)本，设选择第一种方案购买所需费用为y 元，选择第二种方案购买
1
所需费用为y 元．
2
(1)请分别写出y ，y 与x之间的关系式：_____，_____；
1 2
(2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优
惠．
4.某园区准备进行二次绿化，计划购进A，B两种绿化树，经调查可知购进5棵A绿化树和10棵B种绿化
树共需1100元，购进10棵A种绿化树和8棵B种绿化树需1600元．
(1)求A，B两种绿化树每棵的价格；
(2)若最终决定购买A，B两种绿化树共24棵，且A种绿化树的数正不少于B种绿化树数量的3倍，请你设
计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用．
5.李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人
2000元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社
表示，若人数不超过20人，每人都按八五折收费，超过20人时，其中20人每人仍按报价的八五折收费，
则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行的人数均为x人．
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；
(2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有25人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收
取总费用较少的一家．
6.针对新冠疫情作积极防控，某公司计划生产A，B两种消毒产品共80箱，需购买甲、乙两种材料．已知
生产一箱A产品需甲种材料3千克，乙种材料4千克；生产一箱B产品需甲、乙两种材料各2千克．经测
算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140
元．
(1)求甲、乙两种材料的单价分别为每千克多少元；
(2)现公司用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且不低于8760元，求符合生产条件的生产方案
有哪几种；
(3)在（2）的条件下，若生产一箱A产品需加工费40元，生产一箱B产品需加工费50元，则应选择哪种
生产方案，使生产这80箱产品的成本最低，最低成本是多少元（成本=材料费+加工费）？7.某校为改善办学条件，计划购进A、B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，
具体情况如表：
线下 线上
规
格
单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个）
A 240 0 210 20
B 300 0 250 30
(1)如果在线上购买A、B两种书架20个，共花费y元，设其中A种书架购买x个，求y关于x的函数关系
式；
(2)在（1）的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计
算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．
题型 五： 分段计费问题
1.某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过3km时，计价器保持在8.5元；当行驶里程超过3km时，计价
器开始变化，行驶里程x（km）与车费y（元）之间的关系如图所示．
(1)当行驶里程超过3km时，求y与x之间的函数关系式；
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为28.5元，求这位乘客乘车的里程．
2.某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计
费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．
(1)月用电量为50度时，应交电费______元．
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式．
(3)月用电量为150度时，应交电费______元．
3.某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，0﹣15吨为基本段，15﹣22吨为
极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过的部分每吨4元，居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示：
(1)求出基本段每吨水费，若某用户该月用水5吨，问应交水费多少元？
(2)写出y与x的函数解析式．
(3)若某月一用户交水量48元，则该用户用水多少吨？
4.为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地采取表1的计费方式已知嘉淇家7月份用电量
为280度，缴纳电费为164元．
表1 某地居民用电计费方式
第一档电量 第二档电量 第三档电量
月用电量180度（含180 月用电量180度至300度（含300度） 月用电量300度以上的部分，
度），以下每度价格0.55元 的部分，每度比第一档提价a元 每度比第一档提价0.30元
(1)求出表1中a的值；
(2)设某用户每月用电量为x度，应缴纳电费为y元，求y与x的函数关系式；
(3)嘉淇在暑期社会实践活动中随机调查了20户家庭7月份的用电量，如表2所示试通过计算求出这20户
家庭缴纳电费的中位数和众数．
表2 20户家庭7月份用电量统计表
12
用电量（度） 160 200 260 320
0
户数 2 3 6 7 25.某景区售票处规定：非节假日的票价打 7折售票．节假日根据团队人数 x（人）实行分段售票，若
x≤10，则按原票价售票；若x>10，则其中10人按原票价售票，超过部分的按原价打8折售票．某旅行
社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y 元，在节假日的购票款为y 元，y 、y 与x之间的函
1 2 1 2
数图象如图所示．
（1）图象中m=_______，n=_________．
（2）该旅行社在今年5月1日带甲团（人数超过10人）与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，
两团合计100人，共付门票款6240元，求甲团人数与乙团人数．
6.据悉，上海市发改委拟于今年4月27日举行居民用水价格调整听证会，届时将有两个方案提供听证．如
图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y(元)与每户每月的用水量x(立方
米)之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元；方案二如图2表格所示，
每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2(精确到
0.01元)．
级数 水量基数(m3) 调整后的价格（元/m3）
第一级 0~15（含15） 2.61
第二级 15~25（含25） 3.92
第三级 25以上 n
(1)写出现行的用水价是每立方米多少元？
(2)求图1中m的值和射线OB所对应的函数解析式，并写出定义域；
(3)若小明家某月的用水量是a立方米，请分别写出三种情况下(现行的、方案一和方案二)该月的水费b(用
a的代数式表示)；
(4)小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图3所示，估计小明会赞同采用哪个方案请说明
理由．题型 六： 调运问题
1.某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，
乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调
运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘
机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元．设从A调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全
部调往灾区共耗资y万元．
(1)用含x的代数式填写下表：
甲
乙地
地
A
x
省
B省
(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)若总耗资不超过16.2万元，共有几种调运方案？哪种调运方案的总耗资最少？
2.自2020年12月以来，我国全面有序地推进全民免费接种新冠疫苗，现某国药集团在甲、乙仓库共存放
新冠疫苗450万剂，如果调出甲仓库所存新冠疫苗的60%和乙仓库所存新冠疫苗的40%后，剩余的新冠疫
苗乙仓库比甲仓库多30万剂．
（1）求甲、乙两仓库各存放新冠疫苗多少万剂？
（2）若该国药集团需从甲、乙仓库共调出300万剂新冠疫苗运往B市，设从甲仓库调运新冠疫苗m万剂，
请求出总运费W关于m的函数解析式并写出m的取值范围；
其中，从甲、乙仓库调运新冠疫苗到B市的运费报价如下表：
运费定价 调运疫苗不超过130万剂时 调运疫苗超过130万剂时
甲仓库
135元/万剂 不优惠 优惠10%m元/万剂
乙仓库 105元/万剂 不优惠
（3）在（2）的条件下，国家审批此次调运新冠疫苗总运费不高于33000元，请通过计算说明此次调运
疫苗最低总运费是否在国家审批的范围内？3.进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，我县某公司积极响应党的号召，帮助运
送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表：
乙种货车辆
甲种货车辆数 运送物资总数/吨
数
第一次 3 2 24
第二次 2 5 38
(1)求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资；
(2)如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数
w和m的关系式．
4.计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B
地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整
数）．
A地 B地
甲厂 7 10
乙厂 10 15
(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往 B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地
__________台．
(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？
(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其
它不变，且1<m<4，请你探究总费用的最小值．
5.某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商
品和3件B商品，需要1750元．
(1)求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
(2)若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售，已知每件A商
品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．
若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．设运往甲地的A商品为x（件），总运费为y
（元），
①请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②设投资的总费用为w元，怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总
费用＝购进商品的费用＋运费）6.6月份以来，猪肉价格一路上涨，为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由 A、B、C三市分别组织
10辆，10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输分别是18辆、10辆．已
知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别为200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别为300元
和700元，从C市到D、E两市的运费分别为400元和500元．若从A、B两市都派x辆车到D市，当这28
辆运输车全部派出时，
(1)求总运费W（元）与x（辆）之间的关系式，并写出x的取值范围；
(2)求总运费W最低时的车辆派出方案．
7.在抗击新型冠状病毒期间，科学合理调运各种防控物资是重要任务之一．在某市的甲、乙、丙、丁四地
中，已知某种消毒液甲地需要10吨，乙地需要8吨，正好丙地储备有12吨，丁地储备有6吨．该市新冠
肺炎疫情防控应急指挥部决定将这18吨消毒液全部调往甲、乙两地．已知消毒液的运费价格如下表（单
位：元/吨）．又知从丙地调运2吨到甲地、3吨到乙地共需420元；从丙地调运4吨到甲地、2吨到乙地
共需440元．如果设从丙地调运x吨到甲地．
起点/终点 甲地 乙地
丙地 a b
丁地 35 70
（1）确定表中a，b的值；
（2）求调运18吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（3）求出总运费最低的调运方案，并求出最低运费是多少．
8.“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购
进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表
销售量/件
月份 销售额/元
雪 容
冰墩墩
融
第1个月 100 40 14800
第2个月 160 60 23380
(1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．
(2)若某公司购进冰墩墩200件，雪容融300件，准备把这些吉祥物全部运往甲、乙两地销售．已知每件冰
墩墩运往甲、乙两地的运费分别为8元和10元；每件雪容融运往甲、乙两地的运费分别为7元和11元．若
运往甲地的吉祥物共240件，运往乙地的吉祥物共260件．
①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，请写出w与a的函数关系式；
②怎样调运、两种吉祥物可使总运费最少？最少总运费是多少元？题型 七： 计时问题
1.某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图 1）制作了一套“沙漏计时装置”，
该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上
的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下
实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．
表1
沉沙时间x(h) 0 2 4 6 8
1 4
电子秤读数y（克） 6 30 54
8 2
探索发现：
(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中
的数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函
数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估
算：
(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？
(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？
2.漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数
思想的创造性应用．某学校STEAM社团在进行项目化学习时依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时
工具模型．该实验小组通过观察，记录水位h(cm)、时间t(min)的数据，得到表格．
t（min） … 1 2 3 4 …
h（cm） … 1.6 2.0 2.4 2.8 …
为了描述水位h(cm)与时间t(min)的关系，现有以下三种函数模型供选择：h=kt+b(k≠0)，
k
h=at2+bt+c(a≠0)，h= (k≠0)．
t
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，
并画出这个函数的图象．(2)当水位高度h为4.8cm时，求对应的时间t的值．3.如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人
们根据壶中水面的位置计算时间．用x（小时）表示漏水时间，y（厘米）表示壶底到水面的高度，y是x
的一次函数．某次计时过程中，如表记录了四组数据，其中只有一组数据记录错误，它是（ ）
组数 1 2 3 4
漏水时间x/h 1 2.5 4 5.5
壶底到水面的高度
13 9 7 4
y/cm
A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组
4.沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃
球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不
计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余量y粒与流入时
间t秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第3秒时，上面玻璃球剩余沙粒1140粒，当流
入时间在第9秒时，上面玻璃球剩余沙粒1020粒．
(1)求出上面玻璃球沙粒余量y粒与流入时间t（秒）之间的函数关系式；
(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间．题型 八： 体积问题
1.如图1，一个正方体铁块放置在高为90cm的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为
止．容器顶部离水面的距离y(cm)与注水时间x(min)之间的函数图象如图2所示．
(1)求直线BD的解析式，并求出容器注满水所需的时间．
(2)求正方体铁块的体积．
2.如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B中盛满水．现以
6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水t(min)，水箱A的水位
高度为y (dm)，水箱B中的水位高度为y (dm)，根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积忽略不
A B
计）
（1）水箱A的容积为______；（提示：容积=底面积×高）
（2）分别写出y 、y 与t之间的函数表达式；
A B
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．3.小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，
解答下列问题：
(1)放入一个小球量桶中水面升高 cm；
(2)求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式；
(3)当量桶中水面上升至距离量桶顶部3cm时，应在量桶中放入几个小球？
4.下面是小明同学的一则日记，请仔细阅读，并完成相应的任务：
年*月*日 星期日
利用一次函数知识解决化学问题
今天我看到一则化学实验材料：
如图1，在一支10ml的试管中充满了NO 和O 的混合气体，将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发
2 2
生化学反应．
4NO +O +2H O=4HNO ①
2 2 2 3
当NO 和O 的体积比为4:1时，NO 和O 恰好完全反应．如果反应后NO 仍有剩余，则NO 会和水继
2 2 2 2 2 2
续发生化学反应．
3NO +H O =2HNO +NO②
2 2 2 3
化学反应②中参与反应的NO 与生成的NO的体积比为3:1．
2
根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中
的体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题．
设原混合气体中NO 的体积为xml，O 的体积为(10−x)ml，完全反应后试管内乘余气体的体积为yml
2 2
．
情况一：由反应①可知，当NO 和O 的体积比为4:1时，NO 和O 恰好完全反应，此时x=8，y=0．
2 2 2 2
x
情况二：当x<8时，由反应①可知NO 全部参加反应，O 过量，参加反应①的O 的体积 ，剩余O 的体
2 2 2 4 2
x 5x
积为10−x− =10− ．
4 45x 5x
因为不溶于水，故完全反应后试管内剩余气体的体积y=10− ，即y=− +10．
4 4
在平面直角坐标系中画出当0<x≤8时的函数图象如图2所示．
情况三：当8<x<10时，由反应①可知O 全部参与反应，NO 过量，参与反应①的NO 的体积为
2 2 2
4(10−x)ml，剩余的NO 和水发生反应②，产生不溶于水的NO气体．
2
任务：
(1)根据材料中的内容，求出当8<x<10时，y与x的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函
数图象；
(2)当完全反应后试管内剩余气体的体积为2ml时，求原混合气体中NO 的体积．
25.实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个高都为10cm圆柱形容器（甲、丙的底面积相同），用两个相
同的管子在容器的6cm高度处连通（即管子底离容器底6cm，管子的体积忽略不计）．现三个容器中，
只有甲中有水，水位高2cm，如图①所示．若每分钟同时向乙、丙容器中注入相同量的水，到三个容器
都注满水停止，乙、丙容器中的水位h（cm）与注水时间t（min）的图象如图②所示．若乙比甲的水位
高2cm时，注水时间m分钟，则m的值为（ ）
13
A．3或5 B．4或6 C．3或 D．5或9
3
6.将一块a×b×c(a<b<c)的长方体铁块（图1）平放在一个长方体水槽底部（图2），现向水槽内匀速
注水，直至注满水槽为止，因铁块在水槽内有3种不同的放置方式，所以水槽内的水深h与注水时间t的
函数关系用图象来反映，其全过程有三种不同的图象（图3，图4，图5）（注：长度单位：厘米；时间
单位：秒）
（1）判断t 与t 的大小关系：t_________________t；
1 2 1 2
（2）水槽深度为_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米；
（3）求铁块的体积．7.为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，避免造成水资源浪费．课外实践活动中，王老师安排数
学兴趣小组“慎思组”和“博学组”两组同学分别做水龙头漏水试验，“慎思组”同学用于接水的量筒
最大容量为200毫升，“博学组”同学用于接水的量筒最大容量为100毫升．
试验一：“慎思组”同学在做水龙头漏水试验时，每隔10秒观察一次量筒中水的体积，记录的数据如下
表(漏出的水量精确到1毫升)：
时间x(秒) 10 20 30 40 50 60 70
漏出的水量y(毫升) 2 5 8 11 14 17 20
根据以上信息，请你与他们一起完成以下问题：
(1)在图①的平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点，画出y与x的图象，并判断y是x的什么函数，且
求出此函数关系式．
(2)如果继续试验，请求出至少几秒后量筒中的水会满而溢出．
(3)按此漏水速度，1小时会漏水___________升(精确到0.1升)．
试验二：“博学组”同学根据自己的试验数据画出的图象如图②所示，
(4)为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？请说出你的理由．8.在做测量液体密度的实验中，晓华想对比甲，乙两种液体．他利用天平测出液体和量杯的总质量y（g
），记录此时液体的体积x（cm3），并根据实验数据画出甲、乙两种液体的总质量y（g）与液体的体积
x（cm3）之间的函数关系图像如图．
(1)求乙种液体的总质量y（g）与液体的体积x（cm3）之间的函数关系式；
(2)当甲，乙两种液体的体积都为60cm3时，甲液体的总质量比乙液体的总质量多多少克？
题型 九： 现实生活相关问题
1.顶碗舞是我国一种非常有特色的民间舞蹈，舞蹈演员头顶若干相同规格的碗还可以跳出优美的舞姿．如
图，规格相同的某种碗整齐地摞在一起，高度y(cm)为碗的个数x的一次函数．已知3个碗摞在一起的高
度为10cm，5个碗摞在一起的高度为13cm．
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)若某舞蹈演员可以顶12个这种碗，求此时碗摞在一起的高度．
2.千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以
用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x
（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数
据．
x（厘米） 1 2 4 8 10 12
y（斤） 0.75 1.00 1.50 2.50 3.00 3.50
(1)在图2中，通过描点的方法画出一次函数的图象，并求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式；
(2)当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少？3.杆秤是我国传统的计重工具，其历史由来已久．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤盘上所放
物体的重量．称重时，若记秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米），秤盘所放物体重量为y（斤），其部分
对应数据如下表．
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组
x（厘
1 3 4 6 11 12
米）
y（斤） 0.75 1.25 1.50 2.25 3.25 3.50
(1)在图2中，通过描点的方法，判断哪一组数据是错误的?
(2)据（1）的图象，选择合适的函数模型，并利用这种函数关系求当秤盘所放物体重量为5斤时秤砣到秤
纽的水平距离．
4.公司小李驾驶一辆小车到M市出差，将车停在了M市一个停车场里，该停车场收费标准如下表：
时段 收费标准 备注
07时—22 停车3小时以内（含3小时）5元/辆·
时（小车） 次，超过3小时，每小时加收3元．
持续几天停车，仅前3小时收费5元；超
白天
过3小时，不足1小时的按1小时计算收
停车 停车3小时以内（含3小时）10
07时—22 费．
元/辆·次，超过3小时，每小时加收5
时（大车）
元．
22时—07
无论停车时间长短10元/辆·次
时（小车）
夜间
停车
22时—07
无论停车时间长短20元/辆·次
时（大车）
（1）设小李白天停车时长为x小时，应交停车总费用为y元，请写出y与x的函数表达式；
（2）如果小李是4月23日上午10：05 时驾车进入停车（开始计时收费），至次日中午12：30时驾驶
车辆驶出停车场（收费计时结束），小李应交停车费多少元？
5.围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史．中国象棋也是中
华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买
一批象棋和围棋．已知购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元．(1)求每副象棋和围棋的单价；
(2)学校准备购买象棋和围棋总共120副，围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，请设计出所需总
费用最少的方案，并求出最少总费用．
6.在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计
的示数F拉力(N)与石块下降的高度x(cm)之间的关系如图所示．(温馨提示：当石块位于水面上方时，
F =G ;当石块入水后，F =G −F ．)则以下说法正确的是（ ）
拉力 重力 拉力 重力 浮力
A．当石块下降3cm时，此时石块在水里
3 25
B．当6≤x≤10时，F拉力(N)与x(cm)之间的函数表达式为F = x+
和 8 4
C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N
22
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底 cm
3
7.打车软件的出现很大程度上方便了我们的生活，其中“滴漓出行”是全球最大的站式多样化出行渠道，
现了解到某市“滴滴快车”普通时段的最新收费标准见下表；
里程/千米 收费/元
2千米以下（含2千米） 11.4
2千米以上，每增加1千米 1.95
（1）求“滴滴快车”的收费y（元）与行驶的里程数x（千米）之间的函数关系式；
（2）上周一，李老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费是15.3元，李老师家距离学校多少千米？已知
王老师家距离学校1.8千米，求王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费．8.随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不
断增加，人们使用手机时间、次数急速增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入
了大家的视线，据相关实验，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）存在一种函数关系．
某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余30%，为了不耽误助农直播卖农产品，他用
第一部手机一边充电一边直播（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量
剩余20%时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段BC对应的函数表达式；
(2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？
9.某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人
员工资等）为800元．为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车停放辆次与每辆次小车的收
费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此处停放的小车可达1440辆次；若
停车费超过5元，则每超过1元，每天来此处停放的小车就减少120辆次．为便于结算，规定每辆次小车
的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收入不低于2512元．（日
净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出）
（1）当x ≤5时，写出y与x之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；
（2）当x＞5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入．按此要
求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？题型 十： 几何问题
2
1.如图所示，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角
3
△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
1 1 1
A．y= x+2 B．y=− x+2 C．y= x+2 D．y=−2x+2
3 5 4
2.已知直线l过点A(0,−2)且平行于x轴，点B的坐标为(0,2)，将直线l绕点B逆时钟旋转60°，则旋转后
的直线对应的函数表达式为 ．
3.甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分
别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如下1图所示，则小亮与小莹相遇的
时刻为（ ）
A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
4.一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路
线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A
地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如上2图所示，请
结合图象解答下列问题：
(1)A，B两地之间的距离是______千米， ______；
(2)求线段 所在直线的函数解析式；
(3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）5.如下1图，菱形ABCD的顶点A(1,0)、B(7,0)在x轴上，∠DAB=60°，点E在边BC上且横坐标为
5
8，点F为边CD上一动点，y轴上有一点P(0,− √3)．当点P到EF所在直线的距离取得最大值时，点
3
F的坐标为 ．
6.矩形OABC在平面直角坐标系如图所示，OA=12，OC=24，点E、F分别是OA、OC上的动点，点E、
F分别从A、O同时出发，沿OA、OC方向，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向点O、
C运动，当运动 秒时，EF∥AC；当EF⊥OB时，直线EF的解析式为 ．
7.如下1图，直线l对应的函数表达式为y=x+1，在直线l上，顺次取点A (1,2)，A (2,3)，A (3,4)，
1 2 3
A (4,5)，……，A (n,n+1)，构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为S =3×2−2×1；
4 n 1
S =4×3−3×2；S =5×4−4×3；……
2 3
猜想并填空：
(1)S = ______；
5
(2)S = ______（用含n的式子表示）；
n
(3)S +S +S +⋅⋅⋅+S = ______（用含n的式子表示，要化简）．
1 2 3 n
8.已知，如上2图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，
点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，DQ的长为 ．9.阅读材料解答问题：
自主学习：在平面直角坐标系中，对于任意两点的“非常距离”给出如下定义：
若|x ﹣x |≥|y ﹣y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|x ﹣x |；
1 2 1 2 1 2 1 2
若|x ﹣x |＜|y ﹣y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|y ﹣y |．
1 2 1 2 1 2 1 2
例如：如图1所示，点P （1，2），点P （3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P 与点P 的“非常距
1 2 1 2
离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P Q与线段P Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P Q与垂直
1 2 1
于x轴的直线P Q的交点）
2
问题解决：
（1）计算：平面直角坐标系中两点A（﹣1，0），B（2，3）的“非常距离”．
应用拓展：
3
（2）已知点C（ ，0），点D为y轴上的一个动点：
2
①若点C与点D的“非常距离”为3，则点D的坐标为 ；
②在D点运动过程中，点C与点D的“非常距离”的最小值为 ；
问题延伸：
3
（3）已知：E是直线y＝ x+3上的一个动点，如图2，点F的坐标是（0，1），求点E与点F的“非常距
4
离”的最小值及相应点E的坐标．
1
10.如图，直线y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线
3
4
y=− x+2上的一动点，动点E(m，0)，F(m+3，0)，连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值
3
时，3BH+5DH的最小值是 ．2
11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象l 经过点A(−2,4)，且与正比例函数y=− x
1 3
的图象l 交于点B(m,2)，与x轴交于点C．
2
(1)求m的值及直线l 的解析式；
1
(2)求S 的面积；
△BOC
(3)设直线x=a与直线l ，l 交于E，F两点，当S =3S 时，请直接写出a的值．
1 2 △EFB △BOC
12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，过点A作AE⊥BC于点E，AB=5，BC=7，
BE=3．动点P从点B出发，沿B→A→D运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，△APE
的面积为y ．．
1
(1)请直接写出y 与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
1
(2)请在直角坐标系中画出y 的图象，并写出函数y 的一条性质；
1 1
(3)若直线y 的图象如图所示，结合你所画y 的函数图象，直接写出当y >y 时x的取值范围．（保留一
2 1 1 2
位小数，误差不超过0.2）
