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专题 01 全等模型-倍长中线与截长补短
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三
角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添
加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角
形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则 ；若连结EC，则
；
2、中点型:如图2， 为 的中点.
证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 ;
若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 .
3、中点+平行线型：如图3, ，点 为线段 的中点.
证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 .
例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根
据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到 的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在 中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使 ，交AD的延长线于点E，求证：
证明∵ （已知）
∴ ， （两直线平行，内错角相等）．
在 与 中，
∵ ， （已证），
（已知），
∴ ，
∴ （全等三角形的对应边相等）．
（1）【方法应用】如图①，在 中， ， ，则BC边上的中线AD长度的取值范围是
______．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中， ，点E是BC的中点，若AE是 的平分线，
试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知 ，点E是BC的中点，点D在线段AE上， ，若
， ，求出线段DF的长．例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得
到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并
说明理由．
例4．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在 中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在
证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使 ，连
接CF，证明 ，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是 的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且 ，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使 ，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边 中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线
段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD
的数量关系，并给出证明．
模型2.截长补短模型
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，
可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE例1．（2022秋·山东八年级课时练习）如图所示， 平分 平分 ；
（1）求 与 的数量关系，并说明你的理由．
（2）若把 条件去掉，则（1）中 与 的数量关系还成立吗?并说明你的理由．
例2．（2022秋·重庆市·八年级专题练习）如图，在 中， ， 平分 ．
（1）如图1，若 ，求证： ；（2）如图2，若 ，求 的度数；
（3）如图3，若 ，求证： ．
例3．（2023·广西·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；
（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、
DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．例4．（2022秋·绵阳市·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分
， ．求证： ．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间
的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过
点D作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系．课后专项训练：
1．（2022·四川成都·八年级期中）如图 中，点 为 的中点， ， ， ，则
的面积是______．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图， 与 有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，
则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）
3．（2022·北京·中考真题）在 中， ，D为 内一点，连接 ， ，延长 到点
，使得 (1)如图1，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ，若 ，求证：
；
(2)连接 ，交 的延长线于点 ，连接 ，依题意补全图2，若 ，用等式表示线段
与 的数量关系，并证明．4．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄
弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1)求证： OAC和 OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王
同学根据所△要求的结△论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这
个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造 BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝
2OP． △
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在 中， 是 边的中线， 交 延长
线于点 ， ．（1）求证 ；（2）如图2， 平分 交 于点 ，交 于点 ，
若 ， ，求 的值．6．（2022·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你
和他们一起活动吧．
(1)【阅读理解】如图1，在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围．小聪同学
是这样思考的：延长 至E，使 ，连接 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角
形三边关系即可求出中线 的取值范围．
在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线 的取值范围是______．
(2)【理解与应用】如图2，在 中，点D是 的中点，点M在 边上，点N在 边上，若
．求证： ．
(3)【问题解决】如图3，在 中，点D是 的中点， ， ，其中
，连接 ，探索 与 的数量关系，并说明理由．
7．（2022·山东临沂·八年级期末）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是 ；
②在图2中，求证：AD＝CD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰
ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC．
△
8．（2022·北京·九年级专题练习）如图，在三角形 中， ， ， 是 边的高线，
将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接 交 于点F．
(1)依题意补全图形，写出 ____________°
(2)求 和 的度数；(3)用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
9．（2022·吉林·公主岭市范家屯镇第二中学校九年级期末）我们定义：如图1，在 中，把 绕点A
顺时针旋转 得到 ，把 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．当 时，
我们称 是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A
叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”．①如图2，当 为等边三角形时， 与 的数量关系为 ________ ；
②如图3，当 时，则 长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．
10．（2022·湖北孝感·八年级期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易
知DB，DC数量关系为： ．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜
90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝
DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．
11．（2022·辽宁大连·八年级期末）已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD， ．(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，
∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出 的值（用k的代数式表示）．
12．（2022秋·重庆八年级课时练习）在 中，BE，CD为 的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证： ；（2）已知 ．①如图1，若 ， ，求CE的长；
②如图2，若 ，求 的大小．13．（2022秋·辽宁鞍山·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关
于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
14．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，在 中， 是 上一点，连接 ，已知 ，
， 是 的中线．求证： ．（提示：延长 至 ，使 ，连接
）
15．（2023春·成都市·七年级专题练习）（1）如图1，在 ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中
线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在 ACE中，利用三角形三边关系可得
AD的取值范围是 ；（2）如图2，在 ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋
CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分
别在BC，AB上，且∠EDF＝ ∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
