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1.1 集合（精练）
1．（2023·河北）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形 B．抛物线 上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近 的所有实数
【答案】D
【解析】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性．
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对AD，两集合的元素类型不一致，则 ，AD错；
对B，由集合元素的无序性可知， ，B对；
对C，两集合的唯一元素不相等，则 ，C错；
故选：B
3．（2023·天津和平·统考一模）已知全集 ，则 中元素个数
为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解析】因为 ， ，
∴ ， ，
∴ ， 中元素个数为4个，
故选：B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，集合 ，所以集合 ，所以
.故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）定义集合 且 ，已知集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合 且 ， ，
所以 故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）集合 的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合 ，
所以集合 的元素个数为9个．故选：B．
7.（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】由题意 可知，两集合元素全部相等，得到 或 ，又根据集合互异性，可知
，解得 (舍)， 和 (舍)，所以 ， ，则 ，故选：
A
8．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知集合 满足 ，那么这
样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】因为 ，所以集合 可以为： ，
共8个，故选：C.
9．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，因为 ，所以集合 是由所有奇数的一半组成，
而集合 是由所有整数的一半组成，故 .故选：B
10．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知集合 ， ，
则 的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由 解得 ，由 可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】；所以 ，即 的元素个数为2个.故选：B．
11．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题 可得 ，故 ，
解 可得 ，则 ,故 ，
故选：C
12．（2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意得 ， ，所以 ．故选：C．
13．（2023·北京通州·统考模拟预测）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】全集 ，集合 ，
由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
14．（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知全集 ，集合
， ，则集合 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
，
又因为 ，所以， ．
故选：D.
15．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，即 ，
由 ，得 或 ，即 ，
所以 .故选：B.
16．（2023·河北邯郸·统考二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，所以 ，不等式 的解集为 ，
所以 ，所以 或 ，所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知集合 为数集，集合 表示点集，
二者元素类型不同，所以 ，
故选：D.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则集合A的子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】集合 ，
则集合A的子集有： ，共8个，
所以集合A的子集的个数为8.
故选：D
19．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）设集合 ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合 ，
则 ，x是6的倍数，且为正整数，可知x必是3的倍数，即 ，
所以 ，则 ，
又 ，所以 .
故选：C．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】20．（2023·全国·高三专题练习）设集合 ， ，则 的元素个数是
（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】联立 ，即 ，解得： 或 ，
即 ，
故 的元素个数为3.
故选：C
21．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合 ， ，则 的非空子
集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【解析】因为 ，又 ，
所以 ，
所以 的元素个数为3，其非空子集有7个．
故选:A．
22．（2023·江苏常州·校考二模）已知集合 和 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ， , A、B选项错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，故C错误，D正确.故选：D
23．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，若 ，则a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，解得 ，故 ，因为 ，所以 .故选：A
24．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，且 ，所以 .故选：B
25．（2023·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，解得 ，即 ，则 ，故选：A.
26．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知集合 ，
，则下列关系中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由已知 ， ，
可得 或 ，故集合 不是B的子集，A错误；
，C错误；
又 ， ,
则 ，则 不是 的子集，B错误，D正确，
故选：D
27．（2023·吉林·统考三模）已知全集 ，集合 ， ，则下图阴影
部分所对应的集合为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】由题意知 ，则 ,
由图可知阴影部分所对应的集合为 .
故选：A
28．（2023·贵州·校联考二模）已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】由图可得，图中阴影部分表示的集合为 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ，
所以 .
故选：B.
29．（2023·黑龙江）设集合 ，则下列说法一定正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 有4个元素 D．若 ，则
【答案】D
【解析】（1）当 时， ， ；
（2）当 时， ， ；
（3）当 时， ， ；
（4）当 时， ， ；
综上可知A，B，C，不正确，D正确故选：D
30．（2022·全国·高三专题练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余
20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学
生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】D
【解析】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元
素，集合B有33个元素.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合 的元素个数为 ，如图，
由Venn图可知， ，即 ，解得 ，
所以对A，B都赞成的学生有21人.
故选：D
1．（2023·四川·）集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D． ．
【答案】D
【解析】因 ,
,所以 故选：D
2．（2023·河南郑州·统考一模）一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含
有3个元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】4个元素的集合所有子集共 个，设此集合为 ，
事件A：“所取子集中含有3个元素”，则事件A的基本事件个数为4个，即 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以 .故选：D．
3．（2022·浙江·舟山中学高三阶段练习）若集合 ， ，则能使
成立的所有a组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时，即 ， 时成立；
当 时，满足 ，解得 ；综上所述： .故选：C.
4．（2023·陕西·统考一模）在R上定义运算 ，若关于x的不等式 的解
集是集合 的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，
即 ，解得 ，由题设知 ，解得 .故选：C.
5．（2023·辽宁丹东·统考一模）已知集合 ， ，若 且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】当 时， ，不符合题意；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，不符合题意；
当 时， ，又 ， 且 ，
则 ，故 得取值范围为 ，故符合条件的 .
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）设常数 ，集合 ， ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合 ， ，由 ，可知
当 时， 或 ， ，
结合数轴知： ，解得 ，即得 ；
当 时， ， ，满足 ，故 符合；
当 时， 或 ， ，
结合数轴知： ，解得 ，即得 由①②③知 .故选：B.
7．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知集合
，则 中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【解析】由题可知：集合 表示半圆上的点，集合 表示直线上的点，联立 与 ，
可得 ，整理得 ，即 ，
当 时， ，不满足题意；故方程组有唯一的解 .
故 .故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则集合B中
所含元素个数为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【解析】当 时，有 ，6个元素；
当 时，有 ，5个元素；
当 时，有 ，4个元素；
当 时，有 ，3个元素；
当 时，有 ，2个元素；
当 时，有 ，1个元素，
综上，一共有21个元素．
故选：B．
9．（2023·山西·统考模拟预测）已知函数 ，集合 中恰有
3个元素，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【解析】因为函数 ，所以 ，
因为集合 含有 个元素，所以 时在 上只有三解，即 ，
解得： 或 ，故 或 ，
要使其落在 上，故只有 、 、 ，其他值均不在 内，
故 ，解得 ，故 ，故选：D.
10．（2023·全国·高三专题练习）设A是集合 的子集，只含有3个元素，且不含相邻的
整数，则这种子集A的个数为（ ）
A．32 B．56 C．72 D．84
【答案】B
【解析】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；
若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21个.
若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有5+4+3+2+1=15个.
若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有4+3+2+1=10个.
若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有3+2+1=6个.
若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有2+1=3个.
若6,8,10在集合A内，只有1个.
总共有21+15+10+6+3+1=56个
故选：B.
11．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素， 且各有14，28个元素，则
的元素个数最少是（ ）
A．14 B．30 C．32 D．42
【答案】A
【解析】设 中有 个元素，则 ,
所以 中的元素个数为 ，因此 中的元素个数为 中的元素减去
中的元素个数，即为 ，
由于 ，所以 ，故当 时，有最小值14
故选：A
12．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）集合 或 ，
，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 或 ， ，
当 时 ，此时 ，符合题意；
当 时，
若 则 ，因为 ，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
若 则 ，因为 ，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上可得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C
13．（2023·全国·高三专题练习）集合 或 ， 若 ，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，
①当 时，即 无解，此时 ，满足题意．
②当 时，即 有解，
当 时，可得 ，要使 ，则需要 ，解得 ．
当 时，可得 ，要使 ，则需要 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上，实数 的取值范围是 ．
故选：A．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，
若集合 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 得到 ； 得到 ；
因为 所以 ， ，所以 交 是否是空集取决于 的范围，
因为 ，所以 ，
当 时， ；当 时， 所以当集合 时，实数 的取值范围是：
故选：A．
15．（2023海南）已知不等式 的解集为 ，关于x的不等式 的解集为B，且
，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ， ，解得 ，
因为 ，所以
所以可得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，故只需 ，
，当 时， ，故 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B
16．（2023北京）设集合 ，集合 . 若 中恰含有2个
整数，则实数a的取值范围是________
【答案】
【解析】解：由 中不等式变形得： ，
解得 或 ，即 或 ，
函数 的对称轴为 ，
， ， ，
由对称性可得，要使 恰有个整数，
即这个整数解为2，3,
（2） 且 （3） 且
即 ，
解得 ，
则 的取值范围为 ， ．
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】17．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，
若 ，则 的取值范围是______________．
【答案】
【解析】因为集合A表示如图的边长为2的正方形及正方形的内部，则对角线的长为 ，
集合B表示以C（a，a）为圆心，半径为1的圆及圆的内部，且圆心在直线y=x上，
先画出以（0,0）为圆心，半径为 的圆，沿着直线y=x，进行移动，可得当A∩B不等于 时，
，即 ，解得 ，
故答案为： .
18．（2023江西）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，集合C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜
0}，若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围______．
【答案】[1，2]
【解析】由已知得A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，
所以，A∩B＝{x|2＜x＜3}，
C＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}，
①当a＞0时，C＝{x|a＜x＜3a}，如右图所示：
则C⊇（A∩B）等价为： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得，1≤a≤2，经检验符合题意；
②当a＜0时，C＝{x|3a＜x＜a}；
C是负半轴上的一个区间，而A∩B是正半轴上的一个区间，
因此C⊇（A∩B）是不可能的，故无解；
③当a＝0时，C＝∅，此时C⊇（A∩B）是不可能的，也无解．
综合以上讨论得，a∈[1，2]．
故答案为：[1，2]．
19．（2023浙江）已知函数 ，A＝{x|t≤x≤t+1}，B＝{x||f(x)|≥1}，若集合
A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是____．
【答案】0＜t＜1
【解析】 要解|f(x)|≥1，需要分类来看，
当x≥0时，|2x2﹣4x+1|≥1∴2x2﹣4x+1≥1或2x2﹣4x+1≤-1∴x≥2或x≤0或x＝1，又x≥0
∴x≥2或x＝1或x＝0．
当x＜0时，|﹣2x2﹣4x+1|≥1∴﹣2x2﹣4x+1≥1或﹣2x2﹣4x+1≤﹣1
∴﹣2≤x≤0或 或 ，又x＜0∴﹣2≤x＜0或
综上可知B＝{x|-2≤x≤0或 或x≥2或x＝1}
∵集合A∩B只含有一个元素，∴t＞0且t+1＜2∴0＜t＜1故答案为：0＜t＜1
20．（2023甘肃）已知集合M＝ ，若 ，则实数a的取值范围是____．
【答案】
【解析】由集合M＝ ，得(ax－5)(x2－a)<0，
当a＝0时，得 ，显然不满足题意，
当a>0时，原不等式可化为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，则解得 或 ，所以只需满足 ，解得 ；
若 ，则解得 或 ，所以只需满足 ，解得9
