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§8.1 直线的方程
考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解
直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率
的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两
点式及一般式)．
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准， x 轴正向 与直线l向上的方向之间所
成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 0° ≤ α <180° .
2．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，
即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)，其斜率k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y － y ＝ k ( x － x) 不含直线x＝x
0 0 0
斜截式 y ＝ kx ＋ b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x≠x，y≠y) 不含直线x＝x 和直线y＝y
1 2 1 2 1 1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A 2 ＋ B 2 ≠ 0) 平面直角坐标系内的直线都适用
微思考
1．直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
提示 不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0
k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大
2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？
提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是
一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ )
(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )
(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．( × )
题组二 教材改编
2．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
答案 A
解析 由题意得＝1，解得m＝1.
3．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________．
答案 或
解析 由|k|＝|tan α|＝1知tan α＝±1，
∴α＝或.
4．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．
答案 2
解析 因为A，B，C三点在同一直线上，所以k ＝k ，即＝，故m＝2.
AB BC
题组三 易错自纠
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．有的直线斜率不存在
B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α
C．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为
D．截距可以为负值
答案 ABD6．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.
答案 D
解析 ①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，∵k＝∈(－∞，－ ]∪，
∴α∈∪.
综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是.
(2)(2020·安阳模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
则k的取值范围是( )
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
答案 D
解析 直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，
∵k ＝＝－2，k ＝＝，
PA PB
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
∴－2≤k≤.
本例(2)直线l改为y＝kx，若l与线段AB相交，则k的取值范围是______．
答案 ∪[3，＋∞)
解析 直线l过定点P(0,0)，
∵k ＝3，k ＝，∴k≥3或k≤.
PA PB
思维升华 (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．
(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性．
跟踪训练1 (1)(2021·宿州模拟)若图中直线l，l，l 的斜率分别为k，k，k，则( )
1 2 3 1 2 3A．k0，b>0)，
则＋＝1.
又∵＋≥2⇒ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4.
此时，直线l的方程是＋＝1.
本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解 方法一 由本例知A，B(0,1－2k)(k<0)．
∴|MA|·|MB|＝·＝2＝2≥4.
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例知A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，＋＝1.
∴|MA|·|MB|＝|MA|·|MB|
＝－MA·MB＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)－5＝2≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
思维升华 (1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标．
(2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求
得多边形面积．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性
或基本不等式求解．
跟踪训练2 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S
的最小值并求此时直线l的方程．
(1)证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令解得
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线
不经过第四象限，则必须有
解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴S ＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
min
课时精练
1．(2021·清远期末)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝－x－2
C．y＝x＋2 D．y＝x－2
答案 B
解析 斜率为tan 120°＝－，利用斜截式直接写出方程，即y＝－x－2.
2．(2021·菏泽模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于( )
A．1±或0 B.或0
C. D.或0
答案 A
解析 由题意知k ＝k ，即＝，
AB AC
即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.
3．(2021·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的
取值范围是( )
A．(－2,1) B．(－1,2)
C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知<0，即<0，解得－20，c>0 B．a>0，c<0
C．a<0，c>0 D．a<0，c<0
答案 A
解析 ∵直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，
∴直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0.
5．直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1， ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， ]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
6．(多选)在下列四个命题中，错误的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是[0，π)
C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
答案 ACD
解析 对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A错误；
对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B正确；
对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，∴C错误；
对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，D错误．
故选ACD.
7．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
答案 ABC
解析 当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为 x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k，或1＋2＝
k，
求得k＝－1，或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0.综上知，所求的直线方程为 2x－y＝0，x－y＋1＝0，
或x＋y－3＝0.
8．(多选)垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上
的截距是( )
A．4 B．－4
C．3 D．－3
答案 CD
解析 设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别
是－，－，所以6＝××＝.所以d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.
9．直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b)在l上，则b的值为________．
答案 2 023
解析 直线l的方程为＝，
即＝，即y＝2x＋1.
令x＝1 011，得y＝2 023，∴b＝2 023.
10．设直线 l 的方程为 2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线 l 的斜率为－1，则 k＝
______；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________.
答案 5 1
解析 因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解
得k＝5.直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
11．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程
为____________．
答案 x＋13y＋5＝0
解析 BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
12．(八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线
的斜率分别为________．
答案 ，－3
解析 方法一 设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k＝tan α.
则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α＋，其斜率为tan.
依题意知：tan＝2，即＝＝2，∴tan α＝，
∴正方形一边的斜率k＝，可知相邻一边所在直线的斜率为－3.
方法二 正方形两条相邻边与对角线的夹角为，
设正方形的边所在直线的斜率为k，
则由夹角公式得tan＝⇒k＝或k＝－3.13．已知P(－3,2)，Q(3,4)及直线ax＋y＋3＝0.若沿PQ的方向延长线段PQ与直线有交点(不
含Q点)，则a的取值范围是________．
答案
解析 直线l：ax＋y＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a，易知PQ，QA，
l的斜率分别为：k ＝，k ＝，k＝－a.若l与PQ延长线相交，由图可知k
