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§8.2 两条直线的位置关系
考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交
点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间
的距离．
一、两条直线的平行与垂直
1．两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线l，l，若其斜率分别为k，k，则有l∥l⇔k ＝ k.
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(2)当直线l，l 不重合且斜率都不存在时，l∥l.
1 2 1 2
2．两条直线垂直
(1)如果两条直线l，l 的斜率存在，设为k，k，则有l⊥l⇔k · k ＝－ 1.
1 2 1 2 1 2 1 2
(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l⊥l.
1 2
二、两条直线的交点坐标
已知两条直线l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0相交，则交点P的坐标是方程组的
1 1 1 1 2 2 2 2
解．
三、三种距离公式
1．两点间的距离公式
(1)条件：点P(x，y)，P(x，y)．
1 1 1 2 2 2
(2)结论：|PP|＝.
1 2
(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
2．点到直线的距离
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0
3．两条平行直线间的距离
两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0之间的距离d＝.
1 1 2 2
微思考
1．已知直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B 不同时为0；A，B 不同时为
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2
0)，则l∥l 的充要条件是什么，l⊥l 的充要条件是什么？
1 2 1 2
提示 l∥l⇔AB＝AB，且BC ≠BC (或AC ≠AC )；l⊥l⇔AA＋BB＝0.
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
2．点P(x，y)关于点A(a，b)的对称点的坐标是什么？
0 0
提示 (2a－x 2b－y)．
0, 0
3．点P(x，y)，Q(x，y)关于直线y＝kx＋b(k≠0)对称，列出P，Q坐标的关系式．
1 1 2 2提示
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l 和l 斜率都存在时，一定有k＝k⇒l∥l.( × )
1 2 1 2 1 2
(2)已知直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B，C ，A，B，C 为常数)，若
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直线l⊥l，则AA＋BB＝0.( √ )
1 2 1 2 1 2
(3)点P(x，y)到直线y＝kx＋b的距离为.( × )
0 0
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )
题组二 教材改编
2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案 1
解析 由题意知＝1，
所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.
3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
答案 －9
解析 由得
所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
4．两平行直线l：2x＋3y－8＝0，l：2x＋3y－10＝0之间的距离为________．
1 2
答案
解析 因为l∥l，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝＝.
1 2
题组三 易错自纠
5．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案 C
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠(m≠0)，故m＝2或－
3.故选C.
6．(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标
可能是( )
A．(2,0) B．(0,2)
C．(4,6) D．(6,4)
答案 AC解析 设B(x，y)，根据题意可得
即
解得或所以B(2,0)或B(4,6)．
故选AC.
题型一 两条直线的平行与垂直
1．已知两条直线l：(a－1)x＋2y＋1＝0，l：x＋ay＋3＝0平行，则a等于( )
1 2
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
答案 D
解析 方法一 ∵直线l：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．
1
又∵l∥l，∴＝－，
1 2
∴a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等．
∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行．
方法二 由AB－AB＝0得，(a－1)a－1×2＝0，
1 2 2 1
解得a＝－1或a＝2.
由AC －AC ≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.
1 2 2 1
所以a＝－1或a＝2.
2．若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c等于( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案 B
解析 由已知得×＝－1，a＋4c－2＝0,2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a＋b
＋c＝－4.
3．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是( )
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
答案 A
解析 因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的
方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0.
4．已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的
取值集合为( )
A. B.
C. D.答案 D
解析 由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1
＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0,4x＋3y
＋5＝0分别平行时，m＝或－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交
点时，m＝－.所以实数m的取值集合为.
思维升华 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率
存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y的系数不能同时
为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
题型二 两直线的交点与距离问题
1．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是
________．
答案
解析 由方程组
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－
