文档内容
专题 15.3 分式的加法和减法
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 同分母分式加减法】................................................................................................................................1
【考点二 异分母分式加减法】................................................................................................................................4
【考点三 整式与分式相加减】................................................................................................................................8
【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】....................................................................................................9
【考点五 分式加减混合运算】..............................................................................................................................12
【考点六 分式加减的实际应用】..........................................................................................................................14
【考点七 分式加减乘除混合运算】......................................................................................................................15
【考点八 分式化简求值】......................................................................................................................................17
【考点九 分式混合运算错解复原问题】..............................................................................................................18
【过关检测】............................................................................................................................................................23
【典型例题】
【考点一 同分母分式加减法】
例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）计算： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： ．
2．（23-24八年级下·全国·单元测试）化简下列式子：
(1) ；
(2) ．
3．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）计算：
(1) ；(2) ．
4.（24-25八年级上·广西来宾·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【考点二 异分母分式加减法】
例题：（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算．
(1) ；
(2) ．
2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
3．（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）计算题：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
【考点三 整式与分式相加减】
例题：（22-23八年级下·全国·假期作业）计算： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：
(1) (2)
2．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）计算：
(1) ； (2) ．
【考点四 已知分式恒等式，确定分子或分母】
例题：（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的 值都有 ，则 ，
值为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料：
若 ，试求A、B的值
解：等式右边通分，得根据题意，得 ，解之得 ．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知 （其中M、N为常数）求M、N的值；
(2)若 对任意自然数n都成立，则 _________， _________．
(3)计算： _________．
【考点五 分式加减混合运算】
例题：（23-24八年级上·全国·假期作业）计算：
(1) ； (2) ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5) ．
【考点六 分式加减的实际应用】例题：（2024八年级·全国·竞赛）某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产 个零
件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前
小时完成生产任务．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）甲乙两地相距 千米，提速前火车从甲地到乙地要用 小时 ，
提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了 千米/小时．
2．（20-21八年级上·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原
计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 ．
（用含a、b、m的最简分式表示）．
【考点七 分式加减乘除混合运算】
例题：（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）计算：
(1) (2)
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
2．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算：
(1) ； (2) ．
【考点八 分式化简求值】
例题：（甘肃省武威市2023-2024学年九年级下学期数学第一次模拟测试题）先化简，再求值：，其中 ．
【变式训练】
1．（2023·四川乐山·模拟预测）先化简，再求值： ，再从 ，0， 中选取适合的
数字求这个代数式的值．
2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）先化简: ，然后从 的范
围内选取一个你喜欢的整数作为 的值代入求值．
【考点九 分式混合运算错解复原问题】
例题：（2024·江西九江·一模）先化简，再求值，其中x是满足条件 的合适的非负整数．以下是某同
学化简分 的部分运算过程：
解：原式 ①
②
③…
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应
任务：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错
误的具体原因是_____．
②任务二：请写出完整的解答过程．
【详解】解：①观察解题过程可知，第三步是进行分式的通分，依据是分式的分子分母都乘（或除以）同
一个不为0的整式，分式的值不变），第四步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是“ ”去掉括
号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；
故答案为：三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是
“ ”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；
2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题：
解： ．
第一步
第二步第三步
第四步
第五步
第六步
(1) 以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
请写出正确的化简结果： ．
(2)先化简再求值： ，已知 ．
【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）以下是乐乐同学在学习分式运算时解答的四道题：① ；② ；③ ；④ ，其中解答正确的有（ ）
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
3．（24-25八年级上·河北衡水·阶段练习）下列等式中，正确的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25八年级上·山东济南·期中）如果 ，那么代数式 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的
x的值的和为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）对于正数x，规定 ，例如： ，
， ，则 的值为（ ）
A．2023 B． C． D．
二、填空题
7．（24-25八年级上·全国·期末）计算 的结果是 ．
8．（2023·四川成都·模拟预测）如果 ，那么代数式 的值是 ．
9．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）若 ，则 ．
10．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知 则 的值为 ．11．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）对于代数式 ， ，定义运算“ ”：
，例如： ，若 ，则 ．
12．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于任意两个非零实数 ， ，定义新运算“*”如下：
，例如： ．则
（1） ．
（2）若 ，则 的值为 ．
三、解答题
13．（23-24八年级上·广东云浮·阶段练习）化简： ．
14．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算：
(1) ；
(2)
15．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
16．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）已知 ，求A，B的值
17．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）先化简，再求值： ，其中 ．18．（24-25八年级上·河北沧州·期中）先化简再求值： ，然后从0，1，
2，3，4中选取一个合适的x值代入求值．
19．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值： ，请从不等式组
的整数解中选择一个合适的值代入求值
20．（24-25八年级上·山东青岛·期中）解决下面问题
(1)先化简 ，再从 ，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值；
(2)先化简，再求值： ，其中 ， 满足 ．
21．（2024九年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：
(1) ，其中 ；
(2) ，其中x是满足条件 的合适的非负整数；
(3) ，其中 ；
(4) ，其中 ．
22．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知
(1)化简W；
(2)若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值．
23．（24-25八年级上·北京通州·期中）我们定义：如果两个分式 与 的差为常数，且这个常数为正数，
则称 是 的“优式”，这个常数称为 关于 的“优值”．
例如：分式 ， ， ，则 是 的“优式”， 关于 的“优值”为1．
(1)已知分式 ， ，判断 是否为 的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并
求出 关于 的“优值”；
(2)已知分式 ， ， 是 的“优式”，且 关于 的“优值”是1， 为整数，且 的值
也为整数，求 所代表的代数式及所有符合条件的 的值．
24．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】
阅读下面的解题过程：已知： ，求 的值；
解：由 知 ， ，即 ①
②，故 的值为 ．
（ ）第②步 运用了公式：________；（要求：用含 的式子表示）
【类比探究】
（ ）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知： ，求 的值．
【拓展延伸】
（ ）已知： ， ， ．求 的值．
25．（24-25八年级上·北京延庆·期中）对于形如 的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取
“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如：
，
．
解决问题：
(1)分式 可以表示成 的形式，且 为整式，用含 的式子表示 ；(2)已知 为整数．
①若 可以表示成一个整式，求 的值；
②若 ， 为整数，且 的结果也为整数，直接写出 的值．
