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专题 16.3 二次根式（满分 100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022上·安徽·九年级校联考阶段练习）若α≤0，1<β<4（β为整数），则下列式子中一定为最简二
次根式的是（ ）
A．❑√α+β B．❑√β-2 C．❑√α0 D．❑√β
【思路点拨】
根据最简二次根式的概念判断即可．
【解题过程】
1
解：A、α≤0，1<β<4(β为整数)，则❑√α+β不一定是最简二次根式，例如α取− ，β取2，则
2
√3
❑√α+β=❑ 不是最简二次根式，A错误；
2
√1 √1
B、1<β<4(β为整数)，则β等于2或3，❑√β−2为❑ 或❑ ，均不是最简二次根式，B错误；
4 9
C、α≤0，当α=0时，❑√α0无意义；α<0时，❑√α0=1，C错误；
D、1<β<4(β为整数)，则β等于2或3，❑√β为❑√2或❑√3，均是最简二次根式，D正确．
故选：D．
2．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）设(2❑√21+❑√7)÷❑√7的整数部分是m，小数部分是n，则n的值
是（ ）
A．2❑√3+1 B．2❑√3−1 C．2❑√3−2 D．2❑√3−3
【思路点拨】
本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先根据二次根式的运算法则计算得出结果2❑√3+1，然后估算2❑√3+1取值范围即可得出其整数部分和小数部分．
【解题过程】
解：(2❑√21+❑√7)÷❑√7=2❑√3+1，
∵❑√1<❑√3<❑√4，
即1<❑√3<2，
∴2<2❑√3<4，
又∵2❑√3>3
∴4<2❑√3+1<5，
∴2❑√3+1的整数部分是m=4，小数部分是n= 2❑√3+1−4=2❑√3−3，
故选：D．
3．（2023上·山西晋中·八年级校联考期中）已知a，b均为有理数，若(❑√3−1) 2=a+b❑√3，则a−b的算术
平方根是（ ）
A．❑√3 B．2 C．❑√5 D．❑√6
【思路点拨】
由(❑√3−1) 2=a+b❑√3，可得3−2❑√3+1=4−2❑√3=a+b❑√3，由a，b均为有理数，可得a=4，b=−2，
a−b=6，然后求a−b的算术平方根❑√a−b即可．
【解题过程】
解：∵(❑√3−1) 2=a+b❑√3，
∴3−2❑√3+1=4−2❑√3=a+b❑√3，
∵a，b均为有理数，
∴a=4，b=−2，a−b=6，
∴a−b的算术平方根为❑√6，
故选：D．
4．（2022下·北京海淀·八年级101中学校考期中）已知m、n是两个连续自然数(m<n)，且q＝mn，设
p=❑√q+n+❑√q−m，则下列对p的表述中正确的是（ ）
A．总是偶数 B．总是奇数
C．总是无理数 D．有时是有理数，有时是无理数
【思路点拨】由题意可知，n=m+1，q=mn，代入p=❑√q+n+❑√q−m，根据非负数的算术平方根求解即可．
【解题过程】
解：由题意可知，n=m+1，q=mn，
而p=❑√q+n+❑√q−m,
则p=❑√mn+n+❑√mn−m=❑√n(m+1)+❑√m(n−1)=m+1+m=2m+1，
由于m是自然数，所以2m+1是奇数，
故选B
5．（2024上·江苏南通·八年级统考期末）已知正实数m，n满足2m+❑√2mn+n=2，则❑√mn的最大值为
（ ）
1 ❑√2 ❑√3 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
【思路点拨】
本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将2m+❑√2mn+n=2变形
为(❑√2m) 2+❑√2mn+(❑√n) 2=2，配方得到(❑√2m−❑√n) 2=2−3❑√2mn，根据(❑√2m−❑√n) 2 ≥0得到
2−3❑√2mn≥0，进而求解即可．
【解题过程】
解：∵m，n均为正实数，
∴2m+❑√2mn+n=2可化为(❑√2m) 2+❑√2mn+(❑√n) 2=2，
∴(❑√2m) 2 −2❑√2mn+(❑√n) 2=2−3❑√2mn，
即(❑√2m−❑√n) 2=2−3❑√2mn，
∵(❑√2m−❑√n) 2 ≥0，
∴2−3❑√2mn≥0，
❑√2
∴❑√mn≤ ，
3
❑√2
∴❑√mn的最大值为 ．
3
故选：B6．（2024·全国·八年级竞赛）已知正整数a、m、n满足❑√a2−4❑√5=❑√m−❑√n．则这样的a、m、n的
取值（ ）．
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
【思路点拨】
本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据
❑√a2−4❑√5=❑√m−❑√n，得出a2−4❑√5=m+n−2❑√mn，即可得出a2=m+n，mn=20，m>n，根据
20=20×1=10×2=5×4，分三种情况求出a2的值进行验证即可．
【解题过程】
解：∵❑√a2−4❑√5=❑√m−❑√n，
∴a2−4❑√5=m+n−2❑√mn，
∴a2=m+n，mn=20，m>n，
又∵20=20×1=10×2=5×4，
当m=20,n=1时，a2=21不合题意，
当m=10,n=2时，a2=12不合题意，
当m=5,n=4时，a2=9符合题意，
∴满足条件的取值只有1组．
故选：A．
7．（2024·全国·八年级竞赛）若a、b、m满足如下关系式：
❑√3a+5b−m−3+❑√a+b−2013=3❑√2013−a−b−2❑√2a+3b−m，则m−2012的平方根为
（ ）．
A．1 B．2 C．±1 D．±2
【思路点拨】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条
件，求出a+b=2013，得出❑√3a+5b−m−3+2❑√2a+3b−m=0，根据算术平方公的非负性得出¿，整
理得出a+b=m−3，从而得出m−3=2013，求出m=2016，最后求出结果即可．
【解题过程】
解：根据题意得：
a+b−2013≥0,2013−a−b≥0，∴a+b=2013，①
∴❑√3a+5b−m−3+2❑√2a+3b−m=0，
∴¿，
∴2(2a+3b−m)−(3a+5b−m−3)=0，
∴a+b=m−3，②
由①②得m−3=2013，
解得：m=2016，
∴m−2012=4，
∴m−2012平方根即为4的平方根，为±2．
故选：D．
1
8．（2023上·广东·九年级华南师大附中校考阶段练习）已知x= ，则
❑√2021−❑√2020
x6−2❑√2020x5−x4+x3−2❑√2021x2+2x−❑√2021的值为（ ）
A．0 B．1 C．❑√2020 D．❑√2021
【思路点拨】
由x的值进行化简到x=❑√2021+❑√2020，再求得x−❑√2020=❑√2021，把式子两边平方，整理得到
x2−2❑√2020x=1，再把x−❑√2021=❑√2020两边平方，再整理得到x2−2❑√2021x=−1，原式
x6−2❑√2020x5−x4+x3−2❑√2021x2+2x−❑√2021可变形为
x4 (x2−2❑√2020x−1)+x(x2−2❑√2021x+2)−❑√2021，利用整体代入即可求得答案．
【解题过程】
1
解∵x=
❑√2021−❑√2020
❑√2021+❑√2020
=
(❑√2021−❑√2020)(❑√2021+❑√2020)
=❑√2021+❑√2020
∴x−❑√2020=❑√2021
∴ (x−❑√2020) 2=(❑√2021) 2=2021
整理得x2−2❑√2020x+2020=2021
∴x2−2❑√2020x=1
∵x−❑√2021=❑√2020∴(x−❑√2021) 2=(❑√2020) 2=2020
整理得x2−2❑√2021x+2021=2020
∴x2−2❑√2021x+1=0
∴x2−2❑√2021x=−1
∴x6−2❑√2020x5−x4+x3−2❑√2021x2+2x−❑√2021
=x4 (x2−2❑√2020x−1)+x(x2−2❑√2021x+2)−❑√2021
=x4×0+x(−1+2)−❑√2021
=x−❑√2021
=❑√2021+❑√2020 −❑√2021
=❑√2020
故选：C
9．（2023下·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期末）若a和b都是正整数且a<b，❑√a和❑√b是可以
合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（ ）
①只存在一组a和b使得❑√a+❑√b=❑√18；
②只存在两组a和b使得❑√a+❑√b=❑√75；
③不存在a和b使得❑√a+❑√b=❑√260；
c
④若只存在三组a和b使得❑√a+❑√b=❑√c，则 的值为49或64
a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
直接利用同类二次根式的定义得出❑√a和❑√b是同类二次根式，进而得出答案．
【解题过程】
解：①a和b都是正整数且a<b，❑√a和❑√b可以合并的二次根式，
∵❑√a+❑√b=❑√18，
∴❑√a+❑√b=❑√18=3❑√2，
当a=2时b=8，
故该选项①正确；
②❑√a+❑√b=❑√75=5❑√3，
当a=3，则b=48,
当a=12，则b=27．故选项②正确；
③❑√a+❑√b=❑√260=2❑√65，
当a=65时，b=65,
a<b，所以不存在，
故该选项③正确；
④∵❑√a+❑√b=❑√c，
√b √c
∴1+❑ =❑ ，
a a
c √b
当 =49时，1+❑ =7，
a a
√b
∴❑ =6，
a
∴b=36a，
有无数a和b满足等式，故该选项④错误．
故选：C．
10．（2024上·重庆北碚·九年级统考期末）已知两个二次根式：❑√x+1,❑√x(x≥0)，将这两个二次根式进
行如下操作：
第一次操作：将❑√x+1与❑√x的和记为M ，差记为N ；
1 1
第二次操作：将M 与N 的和记为M ，差记为N ；
1 1 2 2
第三次操作：将M 与N 的和记为M ，差记为N ;⋅⋅⋅；以此类推．
2 2 3 3
下列说法：①当x=1时，N +N +N +N =30；②M =64❑√x+1；
2 4 6 8 12
③M ⋅N =22n （n为自然数）．
2n+1 2n+1
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】
本题主要考查了二次根式的混合运算，规律探索，解题的关键是根据题意得出一般规律，熟练掌握二次根
式混合运算法则．
①根据题意得出N =2，N =4，N =8，N =16，然后相加即可；
2 4 6 8
②根据题意得出一般规律： ， ， ，
M =2n❑√x+1 N =2n❑√x M =2n(❑√x+1+❑√x)
2n 2n 2n+1，求出 即可；
M =2n(❑√x+1+❑√x) M =64❑√x+1
2n+1 12
③根据二次根式混合运算法则，求出M ⋅N =22n 即可．
2n+1 2n+1
【解题过程】
解：①当x=1时，M =❑√2+1，N =❑√2−1，
1 1
M =❑√2+1+❑√2−1=2❑√2，N =❑√2+1−❑√2+1=2，
2 2
M =2❑√2+2，N =2❑√2−2，
3 3
M =2❑√2+2+2❑√2−2=4❑√2，N =2❑√2+2−2❑√2+2=4，
4 4
…
按照此规律：N =2，N =4，N =8，N =16，
2 4 6 8
∴N +N +N +N =2+4+8+16=30，故①正确；
2 4 6 8
②M =❑√x+1+❑√x，N =❑√x+1−❑√x，
1 1
M =❑√x+1+❑√x+❑√x+1−❑√x=2❑√x+1，N =❑√x+1+❑√x−❑√x+1+❑√x=2❑√x，
2 2
M =2❑√x+1+2❑√x，N =2❑√x+1−2❑√x，
3 3
M =2❑√x+1+2❑√x+2❑√x+1−2❑√x=4❑√x+1，N =2❑√x+1+2❑√x−2❑√x+1+2❑√x=4❑√x，
4 4
…
按照此规律可得：M =2n❑√x+1，N =2n❑√x，M =2n(❑√x+1+❑√x)，M =2n(❑√x+1+❑√x)，
2n 2n 2n+1 2n+1
∴M =26❑√x+1=64❑√x+1，故②正确；
12
③根据以上规律可知，M =2n(❑√x+1+❑√x)，M =2n(❑√x+1+❑√x)，
2n+1 2n+1
∴M ⋅N =2n(❑√x+1+❑√x)⋅2n(❑√x+1−❑√x)
2n+1 2n+1
=22n[(❑√x+1) 2 −(❑√x) 2)
=22n(x+1−x)=22n，故③正确．
综上分析可知，正确的有3个，故D正确．
故选：D．
评卷人 得 分
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
❑√t+1−❑√t ❑√t+1+❑√t
11．（2022上·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）设x= ，y= ，当t为
❑√t+1+❑√t ❑√t+1−❑√t
时，代数式20x2+62xy+20 y2=2022．
【思路点拨】
根据x，y的表达式，可以观察出xy=1，x+ y=2t+2，再将20x2+62xy+20 y2改写为含有x+ y与xy的
形式，代入解出t即可．
【解题过程】
❑√t+1−❑√t ❑√t+1+❑√t
解：∵ x= ，y=
❑√t+1+❑√t ❑√t+1−❑√t
(❑√t+1+❑√t) 2+(❑√t+1−❑√t) 2 2(t+1+t)
∴ x+ y= = =4t+2，
(❑√t+1+❑√t)(❑√t+1−❑√t) t+1−t
(❑√t+1−❑√t)(❑√t+1+❑√t)
xy= =1
(❑√t+1+❑√t)(❑√t+1−❑√t)
∵ 20x2+62xy+20 y2=20x2+40xy+20 y2+22xy=20(x+ y) 2+22xy=2022
∴ 20(4t+2) 2+22=2022，解得t =−3（舍去），t =2．
1 2
故答案为：2
12．（2024·全国·八年级竞赛）设a是❑√3+❑√5−❑√3−❑√5的小数部分，b为❑√6+3❑√3−❑√6−3❑√3的小数
1 1
部分，则 − 的值为 ．
a b
【思路点拨】
本题考查了无理数的估算，求代数式的值及二次根式的运算；令t＝❑√3+❑√5−❑√3−❑√5，则可求得t的值，
进而求得a；同理，令p＝❑√6+3❑√3−❑√6−3❑√3，则可求得p的值，进而求得b，最后即可求得代数式的值．
【解题过程】
解：令t=❑√3+❑√5−❑√3−❑√5，
则t2=2，
∴t=❑√2，
1 1
∴a=❑√2−1， = =❑√2+1；
a ❑√2−1
令p=❑√6+3❑√3−❑√6−3❑√3，
则p2=6，
∴p=❑√6，
1 1 ❑√6+2
∴b=❑√6−2， = = ，
b ❑√6−2 2
1 1 2❑√2−❑√6
∴ − = ．
a b 2
2❑√2−❑√6
故答案为： ．
2
13．（2023下·四川攀枝花·七年级攀枝花市第十五中学校校考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，
且满足下列等式：
❑√x3 (y−x) 3−❑√x3 (z−x) 3=❑√y−x−❑√x−z，则x3+ y3+z3−3xyz的值为 ．
【思路点拨】
利用二次根式被开方数非负性得到x、y、z大小关系，最后由符号之间的关系推导得到x=0及y、z等量关
系，最后直接计算整式x3+ y3+z3−3xyz的值即可．
【解题过程】
解：∵❑√y−x及❑√x−z且x、y、z是两两不等的实数，
∴y−x>0且x−z>0，
∴y>x>z，
∵x3 (y−x) 3≥0，x3 (z−x) 3≥0，
∴ x与(y−x)、(z−x)均同号，或x=0，
又∵y−x>0，z−x<0，故(y−x)、(z−x)不同号，
∴x=0，∴❑√x3 (y−x) 3−❑√x3 (z−x) 3=0=❑√y−x−❑√x−z=❑√y−❑√−z，
∴y=−z，
∴x3+ y3+z3−3xyz=0+ y3+(−y3 )−0=0
故答案为0．
14．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）若a，b，c是实数，且
a+b+c=2❑√a−1+4❑√b−1+6❑√c−2−10，则2b+c= ．
【思路点拨】
结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a，b，c的值，从而得到答案．
【解题过程】
解：∵a+b+c=2❑√a−1+4❑√b−1+6❑√c−2−10
∴a−2❑√a−1+b−4❑√b−1+c−6❑√c−2+10=0
∴[ (❑√a−1) 2 −2❑√a−1+1)+[ (❑√b−1) 2 −4❑√b−1+4)+[ (❑√c−2) 2 −6❑√c−2+9)=0
∴(❑√a−1−1) 2+(❑√b−1−2) 2+(❑√c−2−3) 2=0
{❑√a−1=1
)
∴ ❑√b−1=2
❑√c−2=3
{a−1=1
)
∴ b−1=4
c−2=9
{a=2
)
∴ b=5
c=11
∴2b+c=2×5+11=21．
√ 1
15．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）若y=❑√1−x+❑ x− 的最大值为a，最小值为b，则
2
a2+b2的值为 .
【思路点拨】
本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有
意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到y2= 1 +2❑ √ − ( x− 3) 2 + 1 ，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出 2❑ √ − ( x− 3) 2 + 1 的最大值
2 4 16 4 16
和最小值，从而求出y2的最大值和最小值，即为a2、b2，代入即可．
【解题过程】
√ 1
解：∵y=❑√1−x+❑ x−
2
{1−x≥0
)
∴y≥0， 1
x− ≥0
2
1
解得： ≤x≤1，
2
2
将等式两边平方，得y2=(❑√1−x) 2+2(❑√1−x) ( ❑ √ x− 1) + ( ❑ √ x− 1) ，
2 2
∴y2=1−x+2❑ √ (1−x) ( x− 1) +x− 1 ，
2 2
1 √ 1 1
∴y2= +2❑ x−x2− + x
2 2 2
1 √ 3 1
∴y2= +2❑−x2+ x− ，
2 2 2
∴y2= 1 +2❑ √ − ( x− 3) 2 + 1 ，
2 4 16
( 3) 2
∵ x− ≥0，
4
( 3) 2
∴− x− ≤0，
4
( 3) 2 1 1
∴− x− + ≤ ，
4 16 16
∴y2= 1 +2❑ √ − ( x− 3) 2 + 1 ≤ 1 +2× 1 =1，
2 4 16 2 4
∴a2=1，当x=
1
时，❑
√
−
(1
−
3) 2
+
1
=❑√0=0，
2 2 4 16
√ ( 3) 2 1
又∵❑− x− + ≥0，
4 16
∴y2= 1 +2❑ √ − ( x− 3) 2 + 1 ≥ 1 ，
2 4 16 2
1
∴b2=
2
1 3
∴a2+b2=1+ =
2 2
3
故答案为： ．
2
评卷人 得 分
三、解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（2023下·天津·八年级校考阶段练习）计算
（1）(❑√5−2) 2+(❑√5+1)(❑√5+3)
√1
（2）❑√12−❑√18−❑√0.5+❑ ；
3
【思路点拨】
（1）先计算完全平方和二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简和二次根式乘法法则是解题的关键．注意：
最后结果必须化成最简二次根式．
【解题过程】
解：（1）(❑√5−2) 2+(❑√5+1)(❑√5+3)
=(5−4❑√5+4)+（5+3❑√5+❑√5+3)
=9−4❑√5+8+4❑√5
=17√1
（2）❑√12−❑√18−❑√0.5+❑
3
❑√2 ❑√3
=2❑√3−3❑√2− +
2 3
7 7
= ❑√3− ❑√2
3 2
17．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算
√ n ab n √m √ n
（1）(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )÷a2b2❑ ；
m m m n m
b−❑√ab a b a+b
（2）(❑√a+ )÷( + − )（a≠b）．
❑√a+❑√b ❑√ab+b ❑√ab−a ❑√ab
【思路点拨】
（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算
即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即
可．
【解题过程】
√ n ab n √m √ n
（1）解：(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )÷a2b2❑
m m m n m
√ n ab n √m 1 √m
=(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )⋅ ❑
m m m n a2b2 n
1 √ n m 1 √ m n √m m
＝ ❑ ⋅ − ❑mn⋅ + ❑ ⋅
b2 m n mab n ma2b2 n n
1 1 1
＝ － ＋
b2 ab a2b2
a2−ab+1
= ．
a2b2
b−❑√ab a b a+b
（2）解：(❑√a+ )÷( + − )
❑√a+❑√b ❑√ab+b ❑√ab−a ❑√ab
a+❑√ab+b−❑√ab a❑√a(❑√a−❑√b)−b❑√b(❑√a+❑√b)−(a+b)(a−b)
= ÷
❑√a+❑√b ❑√ab(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)a+b a2−a❑√ab−b❑√ab−b2−a2+b2
= ÷
❑√a+❑√b ❑√ab(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)
a+b −❑√ab(a+b)
= ÷
❑√a+❑√b ❑√ab(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)
a+b ❑√ab(❑√a−❑√b)(❑√a+❑√b)
＝ ·
❑√a+❑√b −❑√ab(a+b)
=−❑√a+❑√b．
18．（2024上·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期末）已知x，y，z为△ABC的三边长，且有
(❑√x+❑√y+❑√z) 2=3(❑√xy+❑√xz+❑√yz)．试判断△ABC的形状并加以证明．
【思路点拨】
该题主要考查了完全平方公式的应用，平方根的性质等知识点，解题的关键是对所给条件进行化简；
根据(❑√x+❑√y+❑√z) 2=3(❑√xy+❑√xz+❑√yz)推出x= y=z,即可求解；
【解题过程】
解：∵(❑√x+❑√y+❑√z) 2=3(❑√xy+❑√xz+❑√yz)，
∴x+ y+z+2❑√xy+2❑√yz+2❑√xz−3❑√xy−3❑√yz−3❑√xz=0,
∴x+ y+z−❑√xy−❑√xz−❑√yz=0,
∴2x+2y+2z−2❑√xy−2❑√xz−2❑√yz=0,
∴(❑√x−❑√y) 2+(❑√y−❑√z) 2+(❑√x−❑√z) 2=0,
∴❑√x−❑√y=0,❑√y−❑√z=0,❑√x−❑√z=0,
∴x= y=z,
∴△ABC是等边三角形．
19．（2022上·湖南长沙·八年级校考期末）已知△ABC三条边的长度分别是❑√x+1，❑√(5−x) 2，
4−(❑√4−x) 2 ，记△ABC的周长为C ．
△ABC
（1）当x=2时，△ABC的周长C =__________（请直接写出答案）．
△ABC
（2）请用含x的代数式表示△ABC的周长C （结果要求化简），并求出x的取值范围．如果一个三角
△ABC√ 1[ (a2+b2−c2 ) 2 )
形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积为S，则S=❑ a2b2− ．
4 2
若x为整数，当C 取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
△ABC
【思路点拨】
（1）利用x=2分别计算△ABC三条边的长度，然后求和即可获得答案；
（2）依据二次根式有意义的条件可得x的取值范围，进而化简得到△ABC的周长；由于x为整数，且要使
C 取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出△ABC的面积．
△ABC
【解题过程】
（1）解：当x=2时，❑√x+1=❑√2+1=❑√3，❑√(5−x) 2=❑√(5−2) 2=3，4−(❑√4−2) 2=4−2=2，
∴C =❑√3+3+2=5+❑√3．
△ABC
故答案为：5+❑√3；
{x+1≥0)
（2）根据题意，可得 ，解得−1≤x≤4，
4−x≥0
∴5−x>0
∴C = ❑√x+1+❑√(5−x) 2+4−(❑√4−x) 2
△ABC
=❑√x+1+5−x+4−(4−x)
=5+❑√x+1；
∵x为整数，且C 有最大值，
△ABC
∴x=4或3或2或1或0或−1，
当x=4时，三角形三边长分别为❑√4+1=❑√5，❑√(5−4) 2=1，4−(❑√4−4) 2=4，
∵❑√5+1<4，
∴此时不满足三角形三边关系，故x≠4，
当x=3时，三角形三边长分别为❑√3+1=2，❑√(5−3) 2=2，4−(❑√4−2) 2=2，
满足三角形三边关系，
可设a=2，b=2，c=3，
√ 1 [ (22+22−32 ) 2 )
∴S =❑ × 22×22−
△ABC
4 23
= ❑√7．
4
20．（2024上·河北保定·八年级统考期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：
m<T<n，（其中m、n为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为(m,n)，如1<❑√2<2，所以❑√2的
“美好区间”为(1,2)．
（1）无理数−❑√13的“美好区间”是______；
{ x=m )
（2）若一个无理数的“美好区间”为(m,n)，且满足10<m+❑√n<20，其中 是关于x，y的二元
y=❑√n
一次方程mx−ny=C的一组正整数解，求C的值．
（3）实数x，y，m满足如下关系式：
(2x+3 y+m) 2+(3x+2y−3m) 2=❑√x+ y−2024+❑√2024−x−y，求m的算术平方根的“美好区间”．
【思路点拨】
本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件：
（1）根据“美好区间”的定义，确定−❑√13在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”；
（2）根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出C的值；
（3）先根据x+ y−2024≥0，2024−x−y≥0，得出x+ y=2024，进而得出2x+3 y+m=0，
3x+2y−3m=0，两式相加得5(x+ y)−2m=0，得，m=5060，再根据“美好区间”的定义即可求解．．
【解题过程】
（1）∵9<13<16，
∴3<❑√13<4，
∴−4<−❑√13<−3
∴无理数−❑√13的“美好区间”是(−4,−3)，
故答案为：(−4,−3)
（2）∵(m,n)为“美好区间”
∴m，n为连续的整数
{ x=m )
又∵ 是关于x，y的二元一次方程mx−ny=C的一组正整数解
y=❑√n
∴n是一个平方数
又∵10<m+❑√n<20
{m=8)
∴满足题意的m，n的值为 或¿
n=9{x=8)
当¿时，
y=3
∴8×8−9×3=C
∴C=37，
{x=15)
当¿时， ，
y=4
∴15×15−16×4=C，
∴C=161，
综上所述：C的值为37或161．
（3）∵(2x+3 y+m) 2+(3x+2y−3m) 2=❑√x+ y−2024+❑√2024−x−y，
∴x+ y−2024≥0，2024−x−y≥0，
∴x+ y=2024，
∴(2x+3 y+m) 2+(3x+2y−3m) 2=0，
∴2x+3 y+m=0，3x+2y−3m=0，
两式相加得5(x+ y)−2m=0
∴m=5060
∴m的算术平方根为❑√5060
∵71<❑√5060<72
m的算术平方根的美好区间为(71,72)．
21．（2023下·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）阅读材料：
把根式❑√x±2❑√y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=❑√y，则把x±2❑√y变成
m2+n2±2mm=(m±n) 2开方，从而使得❑√x±2❑√y化简．
如：❑√3+2❑√2=❑√1+2❑√2+2=❑√(❑√1) 2+2×1×❑√2+(❑√2) 2=❑√(1+❑√2) 2=|1+❑√2)=1+❑√2
解答问题：
（1）填空：❑√5+2❑√6=______．
（2）化简：❑√7−4❑√3（请写出计算过程）
1 1 1 1
+ + +
（3）
❑√3+2❑√2 ❑√5+2❑√6 ❑√7+2❑√12 ❑√9+4❑√5
【思路点拨】（1）根据材料提供计算步骤，把❑√5+2❑√6化为❑√(❑√3) 2+2❑√6+(❑√2) 2，根据完全平方公式进行计算即可；
（2）根据材料提供计算步骤，把❑√7−4❑√3化为❑√ (2) 2−4❑√3+(❑√3) 2，根据完全平方公式进行计算即可；
1 1 1 1
+ + +
（3）根据材料提供计算步骤，对 进行化简，进行计算即
❑√3+2❑√2 ❑√5+2❑√6 ❑√7+2❑√12 ❑√9+4❑√5
可．
【解题过程】
（1）解：❑√5+2❑√6=❑√3+2❑√6+2=❑√(❑√3) 2+2❑√6+(❑√2) 2=❑√(❑√3+❑√2) 2=|❑√3+❑√2)=❑√3+❑√2；
故答案为：❑√3+❑√2；
（2）❑√7−4❑√3=❑√4−4❑√3+3=❑√(❑√4) 2 −4❑√3+(❑√3) 2=❑√(2−❑√3) 2=|2−❑√3)=2−❑√3；
故答案为：2−❑√3 ；
1 1 1 1
+ + +
（3）
❑√3+2❑√2 ❑√5+2❑√6 ❑√7+2❑√12 ❑√9+4❑√5
1 1 1 1
= + + +
❑√(❑√2+1) 2 ❑√(❑√3+❑√2) 2 ❑√(2+❑√3) 2 ❑√(❑√5+2) 2
1 1 1 1
= + + +
❑√2+1 ❑√3+❑√2 2+❑√3 ❑√5+2
=❑√2−1+❑√3−❑√2+2−❑√3+❑√5−2
=❑√5−1
故答案为：❑√5−1．
22．（2024上·湖南郴州·八年级统考期末）我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a>0，
b>0时，有(❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b≥0，∴a+b≥2❑√ab，当且仅当a=b时取等号．
1 2
（1）当x>0时，x+ 的最小值为______；当x<0时，−x− 的最小值为______．
x x
x2+2x+6
（2）当x<0时，求 的最大值；
x
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为8和18，设
△BOC的面积为x，求四边形ABCD的最小面积．【思路点拨】
本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．
（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
x2+2x+6 6
（2）先将 变形得到x+ +2，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；
x x
S S BO 144
（3）设S =x，根据等高三角形性质得出 △BOC = △AOB = ，求出S = ，根据四边形
△BOC S S DO △AOD x
△COD △AOD
144
ABCD的面积为18+8+x+ ，根据题干的信息，求出最小值即可．
x
【解题过程】
1 √ 1 1
（1）解：∵当x>0时，x+ ≥2❑ x⋅ =2，即x+ ≥2，
x x x
1
∴x+ 的最小值为2；
x
∵当x<0时，−x>0，
∴−x+ ( − 2) ≥2❑ √ (−x)⋅ ( − 2) =2❑√2，即−x+ ( − 2) ≥2❑√2，
x x x
2
∴−x− ≥2❑√2，
x
2
∴−x− 的最小值为2❑√2；
x
故答案为：2；2❑√2；
x2+2x+6 6
（2）解： =x+ +2，
x x
∵x<0，
∴−x>0∴−x+ ( − 6) ≥2❑ √ (−x)⋅ ( − 6) =2❑√6，即−x+ ( − 6) ≥2❑√6
x x x
6
∴x+ ≤−2❑√6，
x
6 x2+2x+6
∴x+ +2≤−2❑√6+2，即 ≤−2❑√6+2
x x
x2+2x+6
∴ 的最大值为−2❑√6+2．
x
S S BO
（3）解：已知S =x， S =8，S =18，则由等高三角形性质可知， △BOC = △AOB = ，
△BOC △AOB △COD S S DO
△COD △AOD
x 8
=
∴ ，
18 S
△AOD
144
∴S = ，
△AOD x
144 √ 144
因此四边形ABCD的面积=18+8+x+ ≥26+2❑ x⋅ =50，
x x
当且仅当x=12时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为50 ．
23．（2023上·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考阶段练习）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且
√ 1 1 1 |1 1 1)
x+ y+z=0，则有：❑ + + = + + （结论不需要证明）
x2 y2 z2 x y z
√ 1 1 1 √ 1 1 1 |1 1 1 ) 19
例如：❑ + + =❑ + + = + + =
22 32 52 22 32 (−5) 2 2 3 (−5) 30
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
√ 1 1 1
（1）求❑ + + 的值；
12 22 32
【能力提升】
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
（2）设S=❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ + ，求S的整数部分．
12 22 22 32 20192 20202
【拓展升华】√ 1 1 1 |1 1 1)
（3）已知x+ y+z=0(xyz≠0,x>0)，其中，且y+z=3 yz．当❑ + + + − − 取得最小值
x2 y2 z2 x y z
时，求x的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
（2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分；
|1 ) |1 ) |1 ) |1 )
（3）将原式化简为 +3 + −3 ，再根据 +3 + −3 ||取最小值时，确定x的取值范围．
x x x x
【解题过程】
√ 1 1 1 √ 1 1 1 |1 1 1) 7
（1）❑ + + =❑ + + = + − =
12 22 32 12 22 (−32 ) 1 2 3 6
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
（2）S=❑1+ + +❑1+ + +…+❑1+ +
12 22 22 32 20192 20202
√ 1 1 1 √ 1 1 1 √ 1 1 1 √ 1 1 1
=❑ + + +❑ + + +❑ + + +…+❑ + +
12 12 (−2) 2 12 22 (−3) 2 12 32 (−4) 2 12 20192 (−2020) 2
|1 1 1 ) |1 1 1 ) |1 1 1 ) |1 1 1 )
= + + + + + + + + +…+ + +
1 1 −2 1 2 −3 1 3 −4 1 2019 −2020
1 1 1 1 1 1 1 1
=1+1− +1+ − +1+ − +…+1+ − =2019×1+1− ，
2 2 3 3 4 2019 2020 2020
∴S的整数部分2019；
（3）由已知得：y+z=−x，且y+z=3 yz，
√ 1 1 1 |1 1 1)
❑ + + + − −
x2 y2 z2 x y z
|1 1 1) |1 1 1)
= + + + − −
x y z x y z
|1 z y ) |1 z y )
= + + + − −
x yz yz x yz yz
|1 y+z) |1 y+z)
= + + −
x yz x yz
|1 3 yz) |1 3 yz)
= + + −
x yz x yz|1 ) |1 )
= +3 + −3
x x
|1+3x) |1−3x)
= + ，
x x
∵x>0，
|1+3x) |1−3x) |3x+1|+|3x−1|
∴原式= + = ，
x x x
当0<3x≤1时，
|3x+1|+|3x−1|=3x+1+1−3x=2；
当3x>1时，
|3x+1|+|3x−1|=3x+1+3x−1=6x>2；
1
∴当0<3x≤1，即0<x≤ 时，|3x+1|+|3x−1|取得最小值为2，
3
1
∴代数式取得最小值时，x的取值范围是：0<x≤ ．
3
24．（2023上·吉林长春·九年级东北师大附中校联考期中）定义：我们将(❑√a+❑√b)与(❑√a−❑√b)称为一对
“对偶式”．因为(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=(❑√a) 2 −(❑√b) 2=a−b，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以
通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知❑√18−x−❑√11−x=1，求❑√18−x+❑√11−x的值，可以这样解答：
因为(❑√18−x−❑√11−x)×(❑√18−x+❑√11−x)=(❑√18−x) 2 −(❑√11−x) 2=18−x−11+x=7，所以
❑√18−x+❑√11−x=7．
（1）已知：❑√20−x+❑√4−x=8，求：
①❑√20−x−❑√4−x= ；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：❑√20−x+❑√4−x=8；
（2）代数式❑√10−x+❑√x−2中x的取值范围是 ；
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋯+ = ．
3❑√1+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 2023❑√2021+2021❑√2023
【思路点拨】
（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案；（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：①∵(❑√20−x+❑√4−x)(❑√20−x−❑√4−x)=(❑√20−x) 2 −(❑√4−x) 2=20−x−4+x=16，
❑√20−x+❑√4−x=8，
∴❑√20−x−❑√4−x=2；
故答案为：2
②由①得❑√20−x−❑√4−x=2，已知❑√20−x+❑√4−x=8，两式相加得到，
2❑√20−x=10，
即❑√20−x=5，
则20−x=25，解得x=−5，
经检验，x=−5是原方程的根，
即方程❑√20−x+❑√4−x=8的解是x=−5；
（2）解：❑√10−x+❑√x−2
{10−x≥0)
由二根式有意义的条件得到 ，
x−2≥0
解得2≤x≤10，
即x的取值范围是2≤x≤10，
故答案为：2≤x≤10；
1 1 1 1
（3）解： + + +⋯+
3❑√1+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 2023❑√2021+2021❑√2023
1 1 1 1
= + + +⋯+
❑√3(❑√3+1) ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√35(❑√7+❑√5) ❑√2023×2021(❑√2023+❑√2021)
❑√3−1 ❑√5−❑√3 (❑√7−❑√5)
= + + +⋯+
❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) ❑√15(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) ❑√35(❑√7+❑√5)(❑√7−❑√5)
❑√2023−❑√2021
❑√2023×2021(❑√2023+❑√2021)(❑√2023−❑√2021)
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2023−❑√2021
= + + +⋯+
2❑√3 2❑√15 2❑√35 2❑√2023×2021
1( 1 1 1 1 1 1 1 )
= 1− + − + − +⋯+ −
2 ❑√3 ❑√3 ❑√5 ❑√5 ❑√7 ❑√2021 ❑√20231( 1 )
= 1−
2 ❑√2023
1 ❑√2023
= − ，
2 4046
1 ❑√2023
故答案为： − ．
2 4046
