文档内容
专题5.2 相交线与垂线（分层练习）
一、单选题
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中， 与 是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线 与 相交于点F， 平分 ，若
，则 度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线
的模型，固定木条a，转动木条b，当 减小 时，下列说法正确的是（ ）
A． 增大 B． 增大 C． 减小 D． 与 的和增大
4．（2022下·山东德州·七年级统考期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则 的邻补角
是（ ）
A． B． C． 和 D． 和
5．（2022上·山东菏泽·七年级校考阶段练习）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，， ， ，那么点P到直线l的距离是（ ）
A． B．小于 C．不大于 D．大于 ，且小于
6．（2023下·河北石家庄·七年级校考期中）如图，直线 、 相交于点O，且 ，
则 的余角度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，直线 被直线 所截，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·江苏盐城·统考二模）过点 画 的垂线，三角尺的放法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023下·湖北恩施·七年级校考期中）如图，三角形 中， ， 为 边上的任意一
点，连接 ， 为线段 上的一个动点，过点 作 点F． ， ， ，则
的最小值为（ ）A．6 B． C． D．5
10．（2022下·福建厦门·七年级校考期中）如图，点 在 上， ，垂足为 ， 交 于
点 ，则下列说法错误的是（ ）
A．线段 的长度是点 到直线 的距离 B．线段 的长度是点 到直线 的距离
C．线段 的长度是点 到直线 的距离 D．线段 的长度是点 到直线 的距离
11．（2023上·河南周口·七年级校考阶段练习）如图，点 在直线 上， ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022下·甘肃白银·七年级统考期末）如图，直线 与 相交于点O，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
13．（2023下·辽宁朝阳·七年级校考期中）若 与 相等且互补， 与 是对顶角，则 的
一半是（ ）A． B． C． D．
14．（2023下·安徽池州·七年级统考期末）在同一个平面内， 是直线 外一点， 分别是 上三
点，已知 ， ，若点 到 的距离是 ，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023下·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）直角三角形 中， ，
， ， ，则点 到直线 上各点的所有线段中，最短的线段长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2023上·湖南·七年级期末）直线 ，垂足为点O，直线 经过点O，若锐角
，则 °（用含m的代数式表示）．
17．（2021上·陕西延安·七年级校考期中）如图，直线a与b相交， ，则 的度数为
．
18．（2020下·内蒙古通辽·七年级校考期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOC的邻补角
是 ．若∠AOC＝50°，则∠BOD＝ ，∠COB＝ ．19．（2023下·上海浦东新·七年级上海市进才中学校考期末）直线 ， 相交于点 ，
，则直线 ， 的夹角是 ．
20．（2023上·江苏南京·七年级期末）如图， ，垂足为C，若
，则点A到 的距离为 ．
21．（2022上·重庆沙坪坝·七年级统考期末）如图，直线 、 相交于点 ， 是直角，
平分 ， ，则 的度数为 ．
22．（2022下·河北唐山·七年级统考期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中
有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有
对；如图3图中有 条直线相交于一点，则对顶角有 对．
23．（2023上·山东济宁·八年级统考期中）如图， 中， ，D为 边上的任意一点，
连接 ，E为线段 上的一个动点，过点E作 ，垂足为F点．如果 ， ，
，则 的最小值为 ．24．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）如图，直线AB与CD交于点
O，OE⊥CD，OF平分∠BOE，若 ，则∠COF的度数是 ．
25．（2023下·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）如图，直线 、 相交于点O．已知
， 把 分成两个角，且 ，将射线 绕点O逆时针旋转
到 ，当 时，则α的度数是 °．
26．（2023上·七年级课时练习）如图， ，垂足为 ，则下面的结论正确有
．
① 与 互相垂直；② 与 互相垂直；③点 到 的垂线段是线段 ；④线段 的长度
是点 到 的距离；⑤线段 是 点到 的距离．27．（2022·江苏·九年级假期作业）如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，
MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是 ．
28．（2021上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）已知，直线 与直线
相交于点O， ， 垂直 于O， 平分 ，则 的度数为 °．
29．（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图， ， 在 的内部，
在 的内部， 是 的一三等分线，若 ，则 的度数为 ．
30．（2023下·全国·七年级期中）如图， ，垂足为O，射线 在 的内部，
，若 ， 平分 ，设 ，则 °（用含m的代数式表
示）．
三、解答题
31．（2023下·江西吉安·七年级统考期中）如图所示，直线 与 相交于点 ．
（1）图中 的余角是_________；（写一个即可）（2） _________；（写一个即可）
（3）如果 ，那么根据________，可得 ________；
（4）如果 ，求 的度数．
32．（2023下·四川乐山·七年级统考期末）如图，在直角 中， ， 是斜边 上的
高， ，求：
（1） 的度数；
（2） 的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）
解：（1）∵ ， （已知），
又∵ （______），
∴ （______）．
（2）∵ （______），
∴ （等式的性质）．
∵ （已知），
∴ （垂直定义）．
∴ ______ （等量代换）．33．（2022下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线 、 相交于点O， 平分 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
34．（2022下·北京海淀·七年级统考期末）如图，点 在直线 外，点 在直线 上，连接 ．选择
适当的工具作图．
（1）在直线 上作点 ，使 ，连接 ；
（2）在 的延长线上任取一点 ，连接 ；
（3）在 ， ， 中，最短的线段是______________，依据是______________．
35．（2023上·河南商丘·七年级校考阶段练习）如图，已知 的边 上有一点 ，过点 的直
线 ，作 平分 ．当 时，回答下列问题：
（1）求 和 的度数；
（2）过点 作 ，请直接写出 的度数．
36．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）已知：直线 、 相交
于点 ．
（1）如图1， ，求 的度数．
（2）如图2，射线 、 在直线 的上方，且 ，作 平分 ，求
与 的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，当 于 ，在 下方作 于 ，射线 在
的内部， 平分 ，若 ， ，求 的度数．参考答案：
1．C
【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边
分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
解：A、 的两边不是 的两边的反向延长线， 与 不是对顶角，故该选项不合题意；
B、 的两边不是 的两边的反向延长线， 与 不是对顶角，故该选项不符合题意；
C、 的两边分别是 的两边的反向延长线， 与 是对顶角，故该选项符合题意；
D、 的两边不是 的两边的反向延长线， 与 不是对顶角，故该选项不合题意．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了角平分线的定义及对顶角相等等知识点．先根据角平分线的定义得出 ，
再根据对顶角相等即可得出答案．
解：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
3．A
【分析】根据对顶角和邻补角的定义逐项判断即可．
解：A、 和 是邻补角，当 减小 时， 增加 ，故选项正确，符合题意；B、 和 是对顶角，当 减小 时， 也减小 ，故选项错误，不符合题意；
C、 和 是邻补角，当 减小 时， 增加 ，故选项错误，不符合题意；
D、 和 都与 是邻补角，当 减小 时， 和 都增加 ， 与 的和增大 ，故选
项错误，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查的是对顶角和邻补角的定义，关键掌握对顶角相等，邻补角互补．
4．D
【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根
据邻补角的概念解答即可．
解：：解：根据邻补角的定义可知，∠COF的邻补角是∠DOF和∠EOC．
故选：D．
【点拨】本题考查了邻补角的概念，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两
个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前
提下形成的．
5．C
【分析】根据直线外一点到直线的距离即为垂线段的长度和垂线段最短的性质进行求解．
解：因为垂线段最短，
所以点P到直线l的距离为不大于 ．
故选：C．
【点拨】此题考查了垂线段最短的性质，此题所给的线段长度中， 最短，可能是垂线段，也可能
不是．
6．B
【分析】因 和 是邻补角，且 ，由邻补角的定义可得 的度数，
再根据对顶角相等得 的度数，继而求出余角．
解： ，
又已知 ，
，
解得 ，
，
∴ 的余角为 ，
故选B．【点拨】本题考查邻补角的定义和对顶角的性质，以及余角，是需要熟记的内容．
7．C
【分析】根据对顶角相等求出 ，进而可得 的度数，然后求出 即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了对顶角的性质，邻补角，熟知对顶角相等是解题的关键．
8．C
【分析】根据垂线的定义判断即可．
解：根据垂线的定义，选项C符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．B
【分析】过 作 于 ，交 于 ．则 的最小值为 ，利用三角形等面积法
，求出 ，即为 的最小值．
解：过 作 于 ，交 于 ，
则 的最小值为 ．
， ， ，
，
，
即 的最小值为： ，
故选B．【点拨】本题考查了最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．
10．B
【分析】根据点到直线的距离的定义判断即可．
解：A. ∵ ，线段 的长度是点 到直线 的距离 ，故该选项正确，不符合题意；
B. 线段 的长度不一定是点 到直线 的距离，故该选项不正确，符合题意；
C. ∵ ，线段 的长度是点 到直线 的距离，故该选项正确，不符合题意；
D. ∵ ，线段 的长度是点 到直线 的距离，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了点到直线的距离和垂线．点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，
叫做点到直线的距离．
11．A
【分析】本题考查了邻补角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据邻补角的定义进行计算
即可．
解：∵ ，
∴
．
故选：A．
12．C
【分析】先根据邻补角定义和对顶角性质求得 和 的度数，然后求和即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查邻补角定义、对顶角性质等知识点，掌握对顶角的性质是解答本题的关键．
13．B
【分析】根据互补的两个角的和等于 ，以及 与 互补且相等可求 ， 再根据对顶角
相等求出 ，进一步即可得解
解：∵ 与 互补且相等，
与 是对顶角，的一半是 ，
故选B
【点拨】本题考查了对顶角相等的性质，补角的定义，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键
14．A
【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可．
解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离 ，即 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短
是解答本题的关键．
15．C
【分析】根据垂线段最短解决此题．
解：如图，过点B作 于点D．
∵ ，
∴ ．
∴根据垂线段最短，点B到直线 上各点的所有线段中，最短的线段长为 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键．
16． 或
【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，掌握其性质是解本题的关键．
对顶角的定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这
两个角就叫做对顶角．根据题意，利用对顶角的性质通过计算解出答案．
解：由题意，需讨论以下两种情况：
①如图1∵ ，
∴ ；
∵ 与 是对顶角;
∴ ,
∴ ．
②如图2
∵ ，
∴ ；
∵ 与 是对顶角，
∴ ，
∴ ．
综上： 或 ．
故答案为： 或 ．
17．30
【分析】根据对顶角相等以及 ，即可求解．
解：根据题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：30【点拨】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．
18． ∠AOD、∠BOC 50° 130°
【分析】根据邻补角必须是相邻的两个角，即有一条公共边和一个公共顶点的互补的两个角；对顶角
有一个公共顶点，其中一个角的两条边是另一个角的两条边的反向延长线，对顶角的度数相等即可得出答
案．
解：∠AOC的邻补角是∠BOC，∠AOD；
∵∠BOD的对顶角是∠AOC，∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∵∠COB是∠AOC邻补角，
∴∠COB=180°-∠AOC=130°．
故答案为：∠AOD、∠BOC，50°，130°
【点拨】本题主要考查了邻补角与对顶角的概念和特点，熟练掌握邻补角与对顶角的定义是解题的关
键．
19． /15度
【分析】根据邻补角互补可得 的度数，进而可得答案．
解：∵ ，
∴ ，
∴直线 ， 的夹角是 ．
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了邻补角，解题的关键是掌握邻补角互补．
20．4
【分析】本题考查点到直线的距离，此题关键是理解点A到BC的距离是从点A向BC作垂线，所得的
垂线段．根据点到直线的距离即可判断．
解：∵ ，垂足为C．
∴点A到 的距离，即 .
故答案为：421． / 度
【分析】先求解 再求解 再利用角平分线的定义可得答案.
解： ，
平分 ，
故答案为：
【点拨】本题考查的是对顶角相等，邻补角的含义，角平分线的定义，角的和差关系，掌握“几何图
形中角的和差关系”是解本题的关键.
22． 2 6
【分析】由图1可得，两条直线相交于一点，形成2对对顶角；图2三条直线相交于一点，形成6对
对顶角；依次可找出规律，若有 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角．
解：如图1，图中共有 对对顶角；
如图2，图中共有 对对顶角；
研究图1 图2小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，可得：
若有 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；
故答案为：2，6， ．
【点拨】本题考查多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律，解题的关键是掌握，即
有 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角．
23． /
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．过C作
于F，交 于E．则 的最小值为 ，利用三角形等面积法求出 ，即为 的
最小值．
解：过C作 于F，交 于E，则 的最小值为 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴CF= ，
即 的最小值为： ，
故答案为： ．
24．
【分析】本题主要考查垂直定义、角平分线定义以及邻补角的性质，熟练掌握相关定义及性质是解题
的关键.根据 ，设一份角为 ，表示出 和 ，进而表示出 ，再根据
平分 表示出 ，根据 ，建立方程求解，从而得到 的度数.
解： ，
设 ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，即 ， ，
，
.
故答案为： .25． / 度
【分析】先利用对顶角相等得到 ，再计算出 ，然后根据
和 ，得到 和 都在 的同侧，最后计算 即可得到答案．
解： ，
，
，
，
，
即射线 绕点O逆时针旋转 到 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，对顶角相等，解题关键是掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应
点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
26． /
【分析①】④根④据①点到直线的距离和两条直线互相垂直即可逐项判断．
解： ，
，
① 与 互相垂直，正确；
，
② 与 互相垂直，不正确；
③点 到 的垂线段是线段 ，而不是 ，不正确；
④线段 的长度是点 到 的距离，正确；
⑤线段 是 点到 的距离，不正确，应该是线段 的长度是点 到 的距离．
①④正确．
故答案为：①④．【点拨】本题考查了点到直线的距离和两直线垂直，解题的关键在于点到直线的距离是一个长度，即
垂线段长度，而不是垂线段．
27．4.8
【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP
的最小值．
解：当MP⊥AB时，MP有最小值，
∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，
∴AB•MP＝AM•BM，
即10MP＝6×8，
解得MP＝4.8．
故答案为：4.8．
【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．
28．30或60
【分析】当 在 上方时，如图，求出 ，根据垂直的定义得出 ，求出
，根据角平分线的定义求出 ，然后根据角的和差即可求解；
当 在 下方时，同理求解．
解：当 在 上方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；当 在 下方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：30或60．
【点拨】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义和角的和差计算，正确分类、数形结合是解题的关
键．
29． 或
【分析】先根据余角的定义可得 ，再根据 是 的一三等分线可得 或
，据此分两种情况解答即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的一三等分线，
∴ 或 ，
∵ ， ，
∴当 时， ；
当 时， ；
综上， 的度数为110或130．
故答案为 或 ．
【点拨】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题
的关键．
30．2m或【分析】分两种情况，由角平分线的定义，即可解决问题．
解：当 在 内时，如图（1），
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 在 外时，如图（2），
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
故答案为：2m或 ．
【点拨】本题考查角的计算，角平分线定义，关键是要分两种情况讨论．
31．（1） ；（2） 或 ；（3）对顶角相等， ；（4）
【分析】（1）根据余角的定义、性质，可得答案；
（2）根据同一个角的余角相等的性质，可得答案；
（3）根据对顶角相等即可求得 ．
解：（1）图中 的余角有 ， ， ；（2）∵ ， ，
∴ ．
或者根据（1）， 的三个余角均相等： ；
（3）根据对顶角相等，可得 ．
（4）∵ ，
且 ，
∴ ，
求得： ．
【点拨】本题考查对顶角、邻补角，利用余角的性质，对顶角的性质，邻补角的性质，熟练掌握相关
概念是解题关键．
32．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；等量代换； 三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角之和；
【分析】根据三角形的外角定理、等量代换、等式的性质、垂直定义等进行填空即可．
解：（1）∵ ， （已知），
又∵ （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴ （等量代换）．
（2）∵ （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴ （等式的性质）．
∵ （已知），
∴ （垂直定义）．
∴ （等量代换）．
【点拨】本题考查了三角形的外角定理、等量代换、等式的性质、垂直定义等知识点，解题的关键是
熟练相等的性质和定理．
33．（1）70°；（2）18°
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算．
（1）对顶角得到 ，角平分线得到 ，即可；
（2）根据平角的定义，结合 ，求出 的度数，进而求出 的度数，对
顶角相等，即可得到 的度数．正确的识图，理清角度之间的关系，是解题的关键．
（1）解：∵直线 、 相交于点O， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ．
34．（1）图见分析；（2）图见分析；（3） ，垂线段最短
【分析】（1）利用直角三角板作 ，再利用直尺连接 即可得；
（2）利用直尺连接 即可得；
（3）根据垂线段最短即可得．
（1）解：利用直角三角板和直尺作图如下：
（2）解：利用直尺连接 ，作图如下：
（3）解：在 ， ， 中，最短的线段是 ，依据是垂线段最短，
故答案为： ，垂线段最短．
【点拨】本题考查了利用三角板和直尺作图、垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．
35．（1） ；（2） 或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．（1）根据角平分线的定义得到 ，即可求出 的度数，再由对顶角相等即可得到答案．
（2）分两种情况讨论求解．
（1）解： 平分 ，
，
，
，
；
（2）解：如图：
；
当 在下面时， ．
36．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据已知条件和邻补角的定义，得出 ，再利用对顶角相等，即可求出
的度数；
（2）根据角平分线的定义，得到 ， ，再利用角度计算，即可得出
与 的数量关系；
（3）根据垂直和角平分线的定义，得到 ，进而得到 ，再根据，求得 ， ，然后利用垂直和角平分线的定义，得到
，再结合 ，求得 ，即可求出 的度数．
（1）解： ， ，
，
，
；
（2）解： ，
，
平分 ，
，
， ，
，
，即 ；
（3）解： ，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
平分 ，，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义，补角和余角的性质，根据题意正确
找出角度之间的数量关系是解题关键．
