文档内容
2019年贵州省安顺市中考数学试卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2019的相反数是（ ）
A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D．
2．（3分）中国陆地面积约为9600000km2，将数字9600000用科学记数法表示为（ ）
A．96×105 B．9.6×106 C．9.6×107 D．0.96×108
3．（3分）如图，该立体图形的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．（a2b）3＝a5b3 B．（3a2）3＝27a6
C．a6÷a2＝a3 D．（a+b）2＝a2+b2
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是（
）
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．（3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，
仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
第1页（共30页）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
8．（3分）如图，半径为3的 A经过原点O和点C （0，2），B是y轴左侧 A优弧上一点，则
tan∠OBC为（ ） ⊙ ⊙
A． B．2 C． D．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；
①
作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．
②则下列说法错误的是（ ）
A．∠ABC＝60° B．S△ABE ＝2S△ADE
C．若AB＝4，则BE＝4 D．sin∠CBE＝
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C
点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：
abc＞0； 4ac﹣b2＞0； a﹣b+c＞0； ac+b+1＝0．
①其中正确的个②数是（ ） ③ ④
第2页（共30页）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）函数y＝ 的自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）若实数a、b满足|a+1|+ ＝0，则a+b＝ ．
13．（4分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径
r＝2，扇形的圆心角 ＝120°，则该圆锥母线l的长为 ．
θ
14．（4分）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需
求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增
加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？
设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程
为 ．
15．（4分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y ＝ （x＞0）及y ＝ （x＞0）的图
1 2
象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k ﹣k ＝ ．
1 2
16．（4分）已知一组数据x ，x ，x ，…，x 的方差为2，则另一组数据3x ，3x ，3x ，…，3x 的方
1 2 3 n 1 2 3 n
第3页（共30页）差为 ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动
点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为
．
18．（4分）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则
位于第45行、第7列的数是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分88分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）
19．（8分）计算：（﹣2）﹣1﹣ +cos60°+（ ）0+82019×（﹣0.125）2019．
20．（10分）先化简（1+ ）÷ ，再从不等式组 的整数解中选一个合适
的x的值代入求值．
第4页（共30页）21．（10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价
格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与
每千元降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
22．（10分）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指
数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数
之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝
log N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log 16，对数式2＝log 25，可以转化为指
a 2 5
数式52＝25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
log （M•N）＝log M+log N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
a a a
设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an，
a a
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝log （M•N）
a
又∵m+n＝log M+log N
a a
∴log （M•N）＝log M+log N
a a a
根据阅读材料，解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式 ；
（2）求证：log ＝log M﹣log N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
a a a
（3）拓展运用：计算log 9+log 8﹣log 2＝ ．
6 6 6
第5页（共30页）23．（12分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国
持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校
在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基
本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
对雾霾天气了解程度 百分比
A．非常了解 5%
B．比较了解 15%
C．基本了解 45%
D．不了解 n
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有 ，n＝ ；
（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是 度；
（3）请补全条形统计图；
（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小
明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓
球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸
出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇
数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
24．（12分）（1）如图 ，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的
平分线，试判断A①B，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到
AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
第6页（共30页）AB，AD，DC之间的等量关系 ；
（2）问题探究：如图 ，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E
是BC的中点，若AE②是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你
的结论．
25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O与边BC，AC分别交于D，E两
点，过点D作DH⊥AC于点H． ⊙
（1）判断DH与 O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为⊙CE的中点；
（3）若BC＝10，cosC＝ ，求AE的长．
26．（14分）如图，抛物线y＝ x2+bx+c与直线y＝ x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线
与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；
第7页（共30页）（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否
存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页（共30页）2019 年贵州省安顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2019的相反数是（ ）
A．﹣2019 B．2019 C．﹣ D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案
【解答】解：2019的相反数是﹣2019，
故选：A．
【点评】主要考查相反数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反
数，0的相反数是0．
2．（3分）中国陆地面积约为9600000km2，将数字9600000用科学记数法表示为（ ）
A．96×105 B．9.6×106 C．9.6×107 D．0.96×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将960 0000用科学记数法表示为9.6×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，该立体图形的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何体的三视图，即可解答．
【解答】解：如图所示的立体图形的俯视图是C．
第9页（共30页）故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视
图中．
4．（3分）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．（a2b）3＝a5b3 B．（3a2）3＝27a6
C．a6÷a2＝a3 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】分别根据积的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式化简即可判断．
【解答】解：A．（a2b）3＝a6b3，故选项A不合题意；
B．（3a2）3＝27a6，故选项B符合题意；
C．a6÷a2＝a4，故选项C不合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了幂的运算法则，熟练掌握法则是解答本题的关键．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】依据m2+1＞0，即可得出点P（﹣3，m2+1）在第二象限，再根据两个点关于原点对
称时，它们的坐标符号相反，即可得出结论．
【解答】解：∵m2+1＞0，
∴点P（﹣3，m2+1）在第二象限，
∴点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在第四象限，
故选：D．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，关于原点对称的两个点的横、
纵坐标均互为相反数．
6．（3分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是（
）
第10页（共30页）A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】求出∠3即可解决问题；
【解答】解：
∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝55°，
∴∠2＝∠3＝55°，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
7．（3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，
仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即
可．
【解答】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练
地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
第11页（共30页）8．（3分）如图，半径为3的 A经过原点O和点C （0，2），B是y轴左侧 A优弧上一点，则
tan∠OBC为（ ） ⊙ ⊙
A． B．2 C． D．
【分析】作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角
定理得到∠OBC＝∠CDO，等量代换即可．
【解答】解：作直径CD，
在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，
则OD＝ ＝4 ，
tan∠CDO＝ ＝ ，
由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，
则tan∠OBC＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等
弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解
题的关键．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；
①
作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．
②则下列说法错误的是（ ）
第12页（共30页）A．∠ABC＝60° B．S△ABE ＝2S△ADE
C．若AB＝4，则BE＝4 D．sin∠CBE＝
【分析】利用基本作图得到AE垂直平分CD，再根据菱形的性质得到AD＝CD＝2DE，
AB∥DE，利用三角函数求出∠D＝60°，则可对A选项进行判断；利用三角形面积公式可
对B选项进行判断；当AB＝4，则DE＝2，先计算出AE＝2 ，再利用勾股定理计算出BE
＝2 ，则可对C选项进行判断；作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，设AB＝4a，则
CE＝2a，BC＝4a，BE＝2 a，先计算出CH＝a，EH＝ a，则可根据正弦的定义对D选
项进行判断．
【解答】解：由作法得AE垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE，
在Rt△ADE中，cosD＝ ＝ ，
∴∠D＝60°，
∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；
∵S△ABE ＝ AB•AE，S△ADE ＝ DE•AE，
而AB＝2DE，
∴S△ABE ＝2S△ADE ，所以B选项的结论正确；
若AB＝4，则DE＝2，
∴AE＝2 ，
在Rt△ABE中，BE＝ ＝2 ，所以C选项的结论错误；
作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，
设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝2 a，
在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°，
∴CH＝a，EH＝ a，
第13页（共30页）∴sin∠CBE＝ ＝ ＝ ，所以D选项的结论正确．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C
点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：
abc＞0； 4ac﹣b2＞0； a﹣b+c＞0； ac+b+1＝0．
①其中正确的个②数是（ ） ③ ④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＞0，﹣1＜c＜0，b＜0，再对各结
论进行判断．
【解答】解： 观察图象可知，开口方上a＞0，对称轴在右侧b＜0，与y轴交于负半轴c＜
0， ①
∴abc＞0，故正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
②∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故错误；
当x＝﹣1时y＝a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
③∴a﹣b+c＞0，故正确
设C（0，c），则OC＝|c|，
④∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c＝0，又c≠0，
第14页（共30页）∴ac+b+1＝0，故正确；
故正确的结论有 三个，
故选：B． ①③④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次
项系数a决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴
的位置：常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个
数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）函数y＝ 的自变量x的取值范围是 x ≥ 2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
12．（4分）若实数a、b满足|a+1|+ ＝0，则a+b＝ 1 ．
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再求出a+b的值即可．
【解答】解：∵|a+1|+ ＝0，
∴ ，
解得a＝﹣1，b＝2，
∴a+b＝﹣1+2＝1．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，其中每一项必为0是解
答此题的关键．
13．（4分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径
r＝2，扇形的圆心角 ＝120°，则该圆锥母线l的长为 6 ．
θ
第15页（共30页）【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的
半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2 ×2＝ ，然后解关于l的方程即可．
π
【解答】解：根据题意得2 ×2＝ ，
π
解德l＝6，
即该圆锥母线l的长为6．
故答案为6．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．（4分）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需
求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增
加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？
设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程
为 ﹣ ＝ 2 0 ．
【分析】设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据种
植亩数＝总产量÷平均亩产量结合改良后的种植面积比原计划少 20亩，即可得出关于x
的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，
依题意，得： ﹣ ＝20．
故答案为： ﹣ ＝20．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．
第16页（共30页）15．（4分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y ＝ （x＞0）及y ＝ （x＞0）的图
1 2
象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k ﹣k ＝ 8 ．
1 2
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为 k ，△BOP的面积为 k ，
1 2
由题意可知△AOB的面积为 k ﹣ ．
1 2
【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为 k ，△BOP的面积为
1
k ，
2
∴△AOB的面积为 k ﹣ ，
1 2
∴ k ﹣ ＝4，
1 2
∴k ﹣k ＝8，
1 2
故答案为8．
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属
于中等题型，
16．（4分）已知一组数据x ，x ，x ，…，x 的方差为2，则另一组数据3x ，3x ，3x ，…，3x 的方
1 2 3 n 1 2 3 n
差为 1 8 ．
【分析】如果一组数据x 、x 、…、x 的方差是s2，那么数据kx 、kx 、…、kx 的方差是k2s2
1 2 n 1 2 n
（k≠ 0），依此规律即可得出答案．
【解答】解：∵一组数据x ，x ，x …，x 的方差为2，
1 2 3 n
∴另一组数据3x ，3x ，3x …，3x 的方差为32×2＝18．
1 2 3 n
故答案为18．
【点评】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数时，平均数也加上这个数，方差不变，
即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数时，平均数也乘以这个数（不为0），方差变
第17页（共30页）为这个数的平方倍．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动
点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为
．
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线
段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝ ＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝ AB×AC＝ BC×AD，
∴AD＝ ＝ ，
∴MN的最小值为 ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题
的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（4分）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则
位于第45行、第7列的数是 201 9 ．
第18页（共30页）【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、
第7列的数是2025﹣6＝2019
【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019，
故答案为2019
【点评】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问
题．
三、解答题（本大题共8个小题，满分88分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）
19．（8分）计算：（﹣2）﹣1﹣ +cos60°+（ ）0+82019×（﹣0.125）2019．
【分析】分别根据负指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂以及积是乘方化简即可解
答．
【解答】解：原式＝﹣ ﹣3+ +1+（﹣0.125×8）2019＝ ﹣3+ ﹣1＝﹣3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（10分）先化简（1+ ）÷ ，再从不等式组 的整数解中选一个合适
的x的值代入求值．
【分析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不等式
组，得出x的值，把已知数据代入即可．
【解答】解：原式＝ ×
＝ ，
解不等式组 得﹣2＜x＜4，
∴其整数解为﹣1，0，1，2，3，
第19页（共30页）∵要使原分式有意义，
∴x可取0，2．
∴当x＝0 时，原式＝﹣3，
（或当x＝2 时，原式＝﹣ ）．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
21．（10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价
格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与
每千元降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【分析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b由题意得出：当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝
140；得出方程组，解方程组解可；
（2）由题意得出方程（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，解方程即可．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；
∴ ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
（2）由题意得：
（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x ＝1．x ＝9，
1 2
∵让顾客得到更大的实惠，
第20页（共30页）∴x＝9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是
解题的关键．
22．（10分）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指
数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数
之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝
log N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log 16，对数式2＝log 25，可以转化为指
a 2 5
数式52＝25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
log （M•N）＝log M+log N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
a a a
设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an，
a a
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝log （M•N）
a
又∵m+n＝log M+log N
a a
∴log （M•N）＝log M+log N
a a a
根据阅读材料，解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式 4 ＝ lo g 81 ；
3
（2）求证：log ＝log M﹣log N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
a a a
（3）拓展运用：计算log 9+log 8﹣log 2＝ 2 ．
6 6 6
【分析】（1）根据题意可以把指数式34＝81写成对数式；
（2）先设log M＝m，log N＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝am，N＝an，计算
a a
的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：log（M•N）＝log M+log N和log ＝log M﹣log N的逆用，将所求式子表
a a a a a a
示为：log （2×6÷4），计算可得结论．
3
【解答】解：（1）4＝log 81（或log 81＝4），
3 3
故答案为：4＝log 81；
3
第21页（共30页）（2）证明：设log M＝m，log N＝n，则M＝am，N＝an，
a a
∴ ＝ ＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝log ，
a
又∵m﹣n＝log M﹣log N，
a a
∴log ＝log M﹣log N；
a a a
（3）log 9+log 8﹣log 2＝log （9×8÷2）＝log 36＝2．
6 6 6 6 6
故答案为：2．
【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关
键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
23．（12分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国
持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校
在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基
本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
对雾霾天气了解程度 百分比
A．非常了解 5%
B．比较了解 15%
C．基本了解 45%
D．不了解 n
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有 40 0 ，n＝ 35% ；
第22页（共30页）（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是 12 6 度；
（3）请补全条形统计图；
（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小
明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓
球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸
出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇
数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【分析】（1）用C等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用1减去其它
等级的百分比得到n的值；
（2）用360°乘以D等级所占的百分比得到扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角；
（3）先计算出D等级的人数，然后补全条形统计图；
（4）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有8种，再计算出小明
去和小刚去的概率．然后比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平．
【解答】解：（1）180÷45%＝400，
所以本次参与调查的学生共有400人，
n＝1﹣＝5%﹣15%﹣45%＝35%；
（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角＝360°×35%＝126°，
故答案为400；35%；126；
（3）D等级的人数为400×35%＝140（人），
补全条形统计图为：
（4）画树状图为：
第23页（共30页）共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴P（小明去）＝ ＝
P（小刚去）＝1﹣ ＝
∵ ≠
∴这个游戏规则不公平．
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比
较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了统计图．
24．（12分）（1）如图 ，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的
平分线，试判断A①B，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到
AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB，AD，DC之间的等量关系 AD ＝ AB + DC ；
（2）问题探究：如图 ，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E
是BC的中点，若AE②是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你
的结论．
【分析】（1）由“AAS”可证△CEF≌△BEA，可得AB＝CF，即可得结论；
（2）延长AE交DF的延长线于点G，由“AAS”可证△AEB≌△GEC，可得AB＝CG，即可
得结论；
【解答】解：（1）AD＝AB+DC
理由如下：∵AE是∠BAD的平分线
∴∠DAE＝∠BAE
第24页（共30页）∵AB∥CD
∴∠F＝∠BAE
∴∠DAF＝∠F
∴AD＝DF，
∵点E是BC的中点
∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF
∴△CEF≌△BEA（AAS）
∴AB＝CF
∴AD＝CD+CF＝CD+AB
（2）AB＝AF+CF
理由如下：如图 ，延长AE交DF的延长线于点G
②
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC
∴△AEB≌△GEC（AAS）
∴AB＝GC
∵AE是∠BAF的平分线
∴∠BAG＝∠FAG，
∵∠BAG∠G，
∴∠FAG＝∠G，
∴FA＝FG，
∵CG＝CF+FG，
∴AB＝AF+CF
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，添加恰当
第25页（共30页）辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O与边BC，AC分别交于D，E两
点，过点D作DH⊥AC于点H． ⊙
（1）判断DH与 O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为⊙CE的中点；
（3）若BC＝10，cosC＝ ，求AE的长．
【分析】（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则根据等腰三角形
的性质得BD＝CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以
OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为 O的切线；
（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DE⊙C＝∠B，再证明∠DEC＝∠C，然后根
据等腰三角形的性质得到CH＝EH；
（3）利用余弦的定义，在Rt△ADC中可计算出AC＝5 ，在Rt△CDH中可计算出CH＝
，则CE＝2CH＝2 ，
然后计算AC﹣CE即可得到AE的长．
【解答】（1）解：DH与 O相切．理由如下：
连结OD、AD，如图， ⊙
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
而AO＝BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH为 O的切线；
⊙ 第26页（共30页）（2）证明：连结DE，如图，
∵四边形ABDE为 O的内接四边形，
∴∠DEC＝∠B， ⊙
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∵DH⊥CE，
∴CH＝EH，即H为CE的中点；
（3）解：在Rt△ADC中，CD＝ BC＝5，
∵cosC＝ ＝ ，
∴AC＝5 ，
在Rt△CDH中，∵cosC＝ ＝ ，
∴CH＝ ，
∴CE＝2CH＝2 ，
∴AE＝AC﹣CE＝5 ﹣2 ＝3 ．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理和等腰三角形的
判定与性质；会利用三角函数的定义解直角三角形．
26．（14分）如图，抛物线y＝ x2+bx+c与直线y＝ x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线
与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否
存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第27页（共30页）【分析】（1） 将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝ x2+bx+c，即可求解；
①
（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即可；
（3）分当 时、当 时两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1） 将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝ x2+bx+c得：
①
，解得： ，
∴抛物线的解析式是y＝ x2+ x+3；
（2）将直线y＝ x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，
∵A （0，3），∴B（﹣4，1）
当点B、C、M三点不共线时，
①|MB﹣MC|＜BC
当点B、C、M三点共线时，
②|MB﹣MC|＝BC
第28页（共30页）∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，
过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝ ＝ ，
∴|MB﹣MC|取最大值为 ；
（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
设点P坐标为（x， x2+ x+3）（x＞0）
在Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°，
在Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3 ，
过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°，
过点P作PQ⊥y轴于点G，∵∠PQA＝∠APQ＝90°
∠PAG＝∠QAP，∴△PGA∽△QPA
∵∠PGA＝∠ACB＝90°
∴ 当 时，
①
△PAG∽△BAC，
∴ ＝ ，
解得x ＝1，x ＝0，（舍去）
1 2
∴点P的纵坐标为 ×12+ ×1+3＝6，
∴点P为（1，6）；
当 时，
②
△PAG∽△ABC，
∴ ＝3，
解得x ＝﹣ （舍去），x ＝0（舍去），
1 2
∴此时无符合条件的点P
综上所述，存在点P（1，6）．
第29页（共30页）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用等
知识点，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
第30页（共30页）
