文档内容
关
第 1 讲 分数数列计算
内容概述
建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．
典型问题
兴趣篇
1．计算：
2．计算：
3．计算：
4．计算：
5．计算：
6．计算：
7．计算：
8．计算：
9．计算：
10．计算：
拓展篇
1．计算：
2．计算：
3．计算：
4．计算：
5．计算：
6．计算：关
7.计算：
8.计算：
9.计算：
10.计算：
11.计算：
12.计算：
超越篇
1.计算：
2.计算：
3.已知算式 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？
4.计算：
5.计算： （最后结果可以用阶乘表示）
6.已知 ，请比较A和B的大小。
7.计算： （结果可以用阶乘和乘方表示）
8.计算：关
第 2 讲比例解应用题
内容概述
涉及两个或多个量之闻比例的应用题．熟练掌握比的转化和运算；对条件较多的应用题，学会通过列表
的方法逐步分析求解；了解正比例与反比例的概念，掌握行程问题和工程问题中的正反比例关系．
典型问题
兴趣篇
1．圆珠笔和铅笔的价格比是4:3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元．问：圆珠笔的单价是每支多少元？
2．一段路程分为上坡和下坡两段，这两段的长度之比是4：3．已知阿奇在上坡时每小时走3千米，下坡时每
小时走4.5千米．如果阿奇走完全程用了半小时．请问：这段路程一共有多少千米？
3．加工一个零件，甲要2分钟，乙要3分钟，丙要4分钟，现有1170个零件，甲、乙、丙三人各加工几个零件，
才能使得他们同时完成任务？
4．有两块重量相同的铜锌合金．第一块合金中铜与锌的重量比是2:5，第二块合金中铜与锌的重量比是1：
3．现在把这两块合金合铸成一块大的．求合铸所成的合金中铜与锌的重量之比．
5．已知甲、乙、丙三个班总人数的比为3:4:2，甲班男、女生的比为5:4，丙班男、女生的比为2:1，而且三个
班所有男生和所有女生的比为13:14.请问： (1)乙班男、女生人数的比是多少？
(2)如果甲班男生比乙班女生少12人，那么甲、乙、丙三个班各有多少人？
6．甲、乙两包糖的重量比是5:3，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7：5．请问：
这两包糖重量的总和是多少克？
7．小明从甲地到乙地，去时每小时走5千米，回来时每小时走7千米，来回共用了4小时．问：小明去时用了
多长时间？
8．冬冬从家去学校，平时总是7:50到校，有一天他起晚了，结果晚出发了10分钟，为了不至于迟到，他将速
度提高了五分之一，跑步前往学校，最后在7:55到校，请问：冬冬这天是几点出发的？
9．一项工程，由若干台机器在规定时间内完成．如果增加2台机器，只需用规定时间的 就可完成；如果减
少2台机器，就要推迟 小时才能完成．请问：
(1)在规定时间内完成需几台机器？(2)由1台机器去完成这工程，需要多少小时？
10.康师傅加工一批零件，加工720个之后，他的工作效率提高了20%，结果提前4天完成任务；如果康师傅
从一开始就把工作效率提高12.5%，那么也可以提前4天完成任务．这批零件共有多少个？
拓展篇
1．学校组织体检，收费标准如下：老师每人3元，女生每人2元，男生每人1元，已知老师和女生的人数比为
2:9，女生和男生的人数比为3:7，共收体检费945元．那么老师、女生和男生各有多少人？
2．徐福记的巧克力糖每6块包成一小袋，水果糖每15块包成一大袋．现有巧克力糖和水果糖各若干袋，而关
且巧克力糖比水果糖多30袋．如果巧克力糖的总块数与水果糖的总块数之比为7:10，那么它们各有多少块？
3．甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比
丙多付了680元，请问：
(1)甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？ (2)这台电视机售价多少钱？
4．一把小刀售价3元，如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2:5；如果小强买了这把
小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:13.小明原来有多少钱？
5．两根粗细相同、材料相同的蜡烛，长度比为29:26，燃烧50分钟后，长蜡烛与短蜡烛的长度比为11:9，那
么较长的那根还能燃烧多少分钟？
6．某俱乐部男、女会员的人数比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，甲组中
男、女会员的人数比是3:1，乙组中男、女会员的人数比是5：3．求丙组中男、女会员的人数比．
7．某次数学竞赛设一、二、三等奖，已知：
①甲、乙两校获一等奖的人数比为1: 2，但它们一等奖人数占各自获奖总人数的百分数之比为2:5；
②甲、乙两校获二等奖人数占两校获奖人数总和的25%，其中乙校是甲校的3.5倍；
③甲校三等奖获奖人数占该校获奖人数的80%．
请问：乙校获三等奖人数占该校获奖人数的百分比是多少？
8．如果单独完成某项工作，甲需24天，乙需36天，丙需48天，现在甲先做，乙后做，最后由丙完成．甲、乙
工作的天数比为1：2，乙、丙工作的天数比为3：5．问：完成这项工作一共用了多少天？
9．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同，猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间
与狗跑5步的时间相同，猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，求猫、狗和兔的速度之比.
10．星期天早晨，哥哥和弟弟都要到奶奶家去，弟弟先走5分钟，哥哥出发25分钟后追上了弟弟，如果哥哥
每分钟多走5米，出发20分钟后就可以追上弟弟．问：弟弟每分钟走多少米？
11．一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，就可比预
定时间提前20分钟赶到；如果先按原速度行驶72千米，再将车速提高三分之一，就可比预定时间提前30
分钟赶到，问：这支解放军部队一共需要行多少千米？
12．一项工作由甲、乙两人合作，恰可在规定时间内完成，如果甲效率提高三分之一，则只需用规定时间的
即可完成；如果乙效率降低四分之一，那么就要推迟75分钟才能完成，请问：规定时间是多少小时？
超越篇
1．甲、乙两人分别同时从A、B两地开始，修建一条连接A、B两地的公路，并按修路的距离分配240万元工
程款．如果按原计划，甲应分得100万元．而在实际施工的时候，乙每天比原计划多修l千米，结果乙实际分
得了150万元，那么乙队实际施工时，每天修多少千米？
2．孙悟空有仙桃、机器猫有甜饼、米老鼠有泡泡糖，他们按下面比例互换：仙桃与甜饼为3:5，仙桃与泡泡糖
为3:8，甜饼与泡泡糖为5：8．现在孙悟空共拿出39个仙桃分别与其他两位互换，机器猫共拿出甜饼90个与关
其他两位互换，米老鼠共拿出88个泡泡糖与其他两位互换．请问：米老鼠与孙悟空和机器猫各交换泡泡糖
多少个？
3．有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖．已知：
①第一包糖的粒数是第二包糖的 ；②在第一包糖中，奶糖占25%，在第二包糖中，水果糖占50%；
③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍，当两包糖混合在一起时，巧
克力糖占28%．求第一包与第二包中水果糖占所有糖的百分比．
4．某工地用三种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为3:4:5，运送
土方的路程之比为15:14:14，三种车的辆数之比为10:5:7.工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种
车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投人工作，又干了15天才完成任务．求甲种车完成的工作
量与总工作量之比．
5．在一个490米长的圆形跑道上，甲、乙两人从相距50米的A、B两地，相背出发，相遇后，乙返回，甲方向
不变，继续前进，甲的速度提高五分之一，乙的速度提高四分之一．当乙回到B地时，甲刚好回到A地，此时
他们都按现有速度与方向前进．请问：当甲再次追上乙时，甲（从开始出发算起）一共走了多少米？
6．将A、B两种细菌分别放在两个容器里．在光线亮时A细菌需12小时分裂完毕，B细菌需15小时分裂完
毕；在光线暗时，A细菌的分裂速度要下降40%，B细菌的分裂速度反而提高10%．现在两种细菌同时开始
分裂并同时分裂完毕，试问：在分裂过程中，光线暗的时间有多少小时？
7．某大学本科共有四个年级，男生总人数和女生总人数的比为7：5．又已知：
①一年级男生和二年级女生的比是3：2，二年级男生和一年级女生的比也是3：2；
②三年级和四年级的人数相等，且三年级男生比四年级女生多100人；
③三、四年级男生与女生的比为6：5；
④二年级的男生占学生总数的24%．
请问：一年级男生和女生的人数分别是多少？
8．如图2-1所示，A、B、C、D、E、F是六个齿轮．其中A和B相互咬合，B和C相互咬合，D和E、E和F也都
相互咬合；而C和D是同轴的两个齿轮，也就是说C和D转动的圈数始终相同．当A转了7圈时，B恰好转
了5圈；当E转了8圈时，F恰好转了9圈；当C转了5圈时，B和E恰好共转了28圈．请问：(1)如果A、E转
的总圈数总是和B、F转的总圈数相同，那么当A、F共转了100圈时，D转了多少圈？（注：图片只是示意图，
并不代表实际齿数）
(2)如果A、E的总齿数和B、F的总齿数相等，D的齿数是C的齿数的2倍，那么当A转了210圈时，D和F
分别转了多少圈？
第 3 讲方程解应用题关
内容概述
掌握一元一次方程的解法，多元一次方程组的解法，以及具有对称性的多元一次方程的特殊解法．能从
已知条件中寻找出等量关系，列出方程或方程组并求解。
典型问题
兴趣篇
1. 解下列方程：
2．在一次选举中，有甲、乙、丙三位候选人，乙的选票比甲的2倍还多5张，丙的选票比甲的一半还少4张．
如果甲、乙、丙三人的选票一共有36张，请问：甲得了多少张选票？．
3．有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球
已知排球、足球、篮球共用了26个．问：有多少名学生上体育课？
4．唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发17张画片，小班每人发13张画片．已知大班人数是小班的 ，
小班比大班总共多发126张画片，求小班的人数．
5．明知小学六年级一班男生的人数占全班总人数的70%，六年级二班的男生比一班男生少2名，而女生人
数为一班女生的2倍．如果两班合在一起，则男生所占的比例为60%．请问：二班有多少名女生？
6．甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，在A、B之间不断往返行驶．甲车到达B地后，在B地停留了
2个小时，然后返回A地；乙车到达A地后，马上返回B地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B
地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问：A、B两地相距多少千
米？
7．解下面的方程组：
8．冬冬与小悦一起在水果店买水果，冬冬买了3千克苹果和2千克梨，共花了18.8元．小悦买了2千克苹
果和3千克梨，共花了18.2元，你能算出1千克苹果多少元，1千克梨多少元吗？
9.2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的 ，8个蟹将和10个虾兵就能把龙官全部打扫完．如果只让蟹将打扫
龙宫，需要多少个？只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？
10.如图3-1，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的．正方形纸板的总数与长方形
纸板的总数之比是1：2．她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完．那么在小玲所做
纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？
拓展篇关
1．解下列方程：
2．一个分数，分子与分母的和是122.如果分子、分母都减去19，得到的分数约分后是 ，那么原来的分数是
多少？
3. 130克含盐5%的盐水，与若干含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水．请问：最后配成的盐水有多少
克？
4．如图3-2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后
余7，最后得到的商是以．图3-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得
到的商是a的2倍，求这个自然数．
5．给六年级五班的同学分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个．已知
第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹
果，问：该班一共有多少名学生？
6．解下面的方程组：
7．商店里有大盒、中盒、小盒共27盒筷子，其中大盒中装有18双筷子，中盒中装有12双筷子，小盒中装有8
双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍，问：三种包装的筷子各有多少盒？
8．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先出发2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；
如果乙比甲先出发2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问：甲、乙两人每小时各走多少千米？
9．一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡．如果从右盘中
取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡．如
果从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，那么需要再给右盘加50克砝码，两边才能平
衡．问：白球、黑球每个各重多少克？
10.奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种．小悦买了一个大号的、三个中号的和两个小号
的，共花了360元；冬冬买了两个大号的、一个中号的和一个小号的，共花了270元；阿奇买了一个大号的、
两个中号的和两个小号的，共花了300元．请问：商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少？关
11.如图3-4，墙边放着一块木板，一只猫淘气，爬了上去，使得木板向下滑动了
一段距离，现在已知图中的三段长度（单位：厘米），你能求出这块木板的长度吗？
12.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，
23，21和17.这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？
超越篇
1．丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：
其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了．甲计算得出方程的解是x=7，y=3；而乙误把“2536”看作“1536”，
得到的解是x=4，y=4．试问：方程组四个被遮住的系数中最小的一个是多少？
2．幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人．老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小
孩少分3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣，结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总
共多分5个枣．问：三个班总共分了多少个枣？
3．下表显示了一次钓鱼比赛的结果：
n O 1 2 3 … 13 14 15
钓了n条鱼的人数 9 5 7 23 … 5 2 1
已知：①冠军钓到15条鱼；
②钓到3条或3条以上的选手平均每人钓到了6条鱼；
③钓到12条或者12条以下的选手平均每人钓到了5条鱼．
请问：一共有多少名选手参赛？这些选手一共钓到了多少条鱼？
4．A、B两地相距2400米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人在途中某处相遇后，甲又
继续行进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地，请问：甲比乙每分钟多走多少米？
5．甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运5次；如果一起运，各运6次就刚好运完．问：甲
车单独运要几次运完？
6．一个从小到大排列的等差数列，如果把这个数列的首项除以2，末项乘以2，这些数的平均数就增加了7；
如果把首项乘以2，末项除以2，平均数就少了2．已知这个等差数列中所有数的和等于245，求这个数列的
末项．
7．一个水池，顶部有一个进水管，底部有一个出水管．如果只打开进水管，50分钟可以把水池灌满；如果只
打开出水管，60分钟可以把一池水放完，现在水池在中间的某个位置出现了一条与池底平行的裂缝，如果
只打开进水管，需要80分钟才能放满一池水，而只打开出水管只需46.5分钟即可放完一池水，请问：裂缝出
现在离池底几分之几高度的地方？
8．“太平洋号”和“北冰洋号”两艘潜艇在海下沿直线同向潜航，“北冰洋号”在前，“太平洋号”在后．
在某个时刻，“太平洋号”发出声波，间隔2秒后，再次发出声波，当声波传到“北冰洋号”时，“北冰洋
号”会反射声波．已知“太平洋号”的速度是每小时54千米，第一次和第二次探测到“北冰洋号”反射的
回波的间隔时间是2.01秒，声波传播的速度是每秒1185米．请问：“北冰洋号”的速度是每小时多少千米？关
第 4 讲浓度问题与经济问题
内容概述
实际生活中与浓度或经济有关的百分数应用题．掌握浓度问题中溶液、溶质、浓度的概念，熟练处理两
种溶液混合的问题．掌握经济问题中成本、利润、利润率等概念，熟悉相关问题的计算，体会浓度问题与经
济问题的联系和区别．
典型问题
兴趣篇
1．在200克浓度为15%的盐水中加入50克盐，这时盐水浓度变为多少？然后再加入150克水，浓度变为多
少？最后又加入200克浓度为8%的盐水，浓度变为多少？
2．(1)在120克浓度为20%的盐水中加入多少克水，才能把它稀释成浓度为10%的盐水？
(2)在900克浓度为20%的糖水中加人多少克糖，才能将其配成浓度为40%的糖水？
3．现有浓度为20%的盐水100克，加入相同质量的盐和水后，变成了浓度为30%的盐水，请问：加了多少克盐？
4．在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%．再加入多少千克纯酒精，浓度才能变成50%?
5．两个杯子里分别装有浓度为40%与10%的盐水，将这两杯盐水倒在一起混合后，盐水浓度变为30%．若再
加入300克20%的盐水，浓度变为25%．请问：原有40%的盐水多少克？
6．(1)一部电话的进价是250元，售出价是320元，这部电话的利润率是多少？
(2)一个鼠标的进价是108元，定价是180元，实际上打七五折出售，这个鼠标的利润率是多少？
(3)一件皮衣的进价是800元，标价是1440元，结果没人来买．店主决定打折出售，但希望利润率不能低
于35%，请问：这件皮衣最低可以打几折？
7．某商店卖出两件商品，其中一件比进价高10%出售，另一件比进价低10%出售，结果两件的售出价都是
990元，试问：这两件商品售出后，商店是赚了还是赔了？
8．甲、乙两种商品，甲商品的成本是125元，乙商品的成本比甲商品低16%，现有以下三种销售方案：
①甲商品按30%的利润率定价，乙商品按40%的利润率定价；
②甲、乙都以35%利润率定价；③甲、乙的定价都是155元．
请问：选择哪种方案最赚钱？这时能盈利多少元？
9．一件衣服，第一天按80%的利润率定价，无人来买；第二天在此基础上再打九折，还是无人来买；第三天再
降价96元，终于卖出，已知卖出的价格是进价的1.3倍，求这件衣服的进价．
10.费叔叔有10000元钱，打算存入银行两年．
办法一：存两年期的整存整取定期储蓄，年利率为4.7%，到期后可取出本金和利息一共多少元？
办法二：先存一年期的整存整取定期储蓄，年利率为4%；到期后将本金和利息再存一年，最后本金和利息一
共多少元？
拓展篇
1. 一个瓶子内最初装有25克纯酒精，先倒出5克，再加入5克水后摇匀，这时溶液的深度是多少？接着又关
倒出5克，加入5克水，此时溶液的深度变为多少？
2．阿奇从冰箱里拿出一瓶100%的汇源纯果汁，一口气喝了五分之一后又放回了冰箱．第二天妈妈拿出来喝
了剩下的五分之一，觉得太浓，于是就加水兑满，摇匀之后打算明天再喝，第三天阿奇拿出这瓶果汁，一口
气喝得只剩一半了．他担心妈妈说他喝得太多，于是就加了些水把果汁兑满，请问：这时果汁的浓度是多少
3．(1)有浓度为20%的糖水500克，另有浓度为56%的糖水625克，将它们混合之后，糖水的浓度是多少？
(2)将浓度为75%的糖水32克稀释成浓度为30%的糖水，需加入水多少克？
4．有浓度为20%的硫酸溶液450克，要配制成35%的硫酸溶液，需要加入浓度为65%的硫酸溶液多少克？
5．有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为63%，42%，28%，其中甲瓶有11千克．先将甲、乙两瓶中的糖水混和，浓
度变为49%；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为35%的糖水．请问：原来丙瓶有多少千克糖
水？
6．甲、乙、丙三瓶糖水各有30克、40克、20克，将这三瓶糖水混合后，浓度变为30%．已知甲瓶的浓度比乙瓶
和丙瓶混合溶液的浓度高9%，甲瓶的浓度比乙瓶的浓度高8%．请求出丙瓶糖水的浓度．
7．如果取40克甲种酒精溶液和60克乙种酒精溶液混合，那么浓度为62%；如果取同样质量的甲种酒精和
乙种酒精混合，那么浓度为61%．请问：甲、乙两种酒精溶液的浓度分别是多少？
8．某台空调按30%的利润率定价，换季促销时打8折售出后，获得了100元利润．请问：(1)这台空调的成本
是多少元？ (2)最后的利润率是多少？
9．A、B两种商品，A商品成本占定价的80%，B商品按20%的利润率定价．冬冬的妈妈一次性购买了l件A
商品和1件日商品，商店给她打了九折后，还获利36元．现在知道B商品的定价为240元，求A商品的定价．
10．大超市和小超市出售同一种商品，大超市的进价比小超市的进价便宜10%．大超市按30%的利润率定价，
小超市按28%的利润率定价，大超市的定价比小超市的定价便宜22元．请问：
(1)大超市这种商品的进价是多少元？
(2)大超市每件商品赚多少元？小超市每件商品赚多少元？
11．某玩具厂生产某种款式的变形金刚，如果按原定价销售，每个可获利润48元．现在打八八折促销，结果
销售量增加了一倍，获得的利润增加了25%．请问：打折后每个变形金刚的售价是多少元？
12．某家商店购人一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的70%
卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 ．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润
2700元．问：这批苹果一共有多少千克？
超越篇
1．有一杯盐水，如果加入200克水，它的浓度就变为原来的一半；如果加入25克盐，它的浓度则变为原来的
两倍，问：这杯盐水原来的浓度是多少？
2．现有甲、乙、丙三种硫酸溶液．如果把甲、乙按照3:4的质量比混合，得到浓度为17.5%的硫酸；如果把甲、
乙按照2:5的质量比混合，得到浓度为14.5%的硫酸；如果把甲、乙、丙按照5：9：10的质量比混合，可以得
到浓度为21%的硫酸，请求出丙溶液的浓度．关
3．甲桶中有若干千克纯水，乙桶中有若干千克纯酒精，第一次从甲桶往乙桶倒水，使得乙桶中液体的质量增
加2倍；第二次从乙桶往甲桶倒，使乙桶中液体的质量减少四分之一；第三次再从甲桶往乙桶倒，使甲桶中
液体的质量减少五分之一．最后甲桶中液体的质量恰好等于最初乙桶中液体的质量，请问：最后甲、乙两桶
中液体的浓度分别等于多少？
4．有甲、乙、丙3瓶酒精溶液，它们的质量比是3：2：1．如果把两瓶酒精混合后再按原来的质量分配到各自
的瓶中，称为一次操作．现在先对甲、乙两瓶酒精进行一次操作，再对乙、丙两瓶酒精进行一次操作，最后对
丙、甲两瓶酒精进行一次操作．三次操作后，甲、乙两瓶溶液的浓度分别是67%和61%．求最初丙溶液的浓
度．
5．水果店进了一批水果，希望卖出去之后得到50%的利润．当售出六成数量的水果时，由于天气原因水果无
法保存，于是商店决定打折处理，结果还是有一成数量的水果烂了，最终只得到了所期望利润的34%．请问：
商店打折处理时打了几折？
6．某商店将甲、乙两种奶糖混合在一起．甲种每份100克，售价1.65元；乙种每份100克，售价1.2元，原来
打算将甲种的两份混合到乙种的一份中去，后来改变混合的方式，将甲种的一份混合到乙种的两份中去，问：
顾客买10千克这种奶糖能比原来省多少元钱？
7．有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度则是丙的4倍，如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶
液的浓度比原来下降2.4%；如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25%；如果把甲、
丙两瓶溶液混合，则混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度．请问：甲、乙、丙三瓶溶液的重量比是多少？它
们的浓度分别是多少？
8．商店进了一批商品，按40%加价出售．在售出八成后，为了尽快销完，决定五折处理剩余商品，而且商品
全部出售后，突然被征收了150元的附加税，这使得商店的实际利润率只是预期利润率的一半，那么这批商
品的进价是多少元？（注：附加税算作成本）
第 5 讲立体几何
内容概述
掌握长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式；学会计算由基本立体固形通过切割、拼接
而构成的复杂立体固形的体积和表面积；掌握平面固形通过折叠、旋转所得立体图形的相关计算．
典型问题
兴趣篇
1．一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米．若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则
长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？
2．如图5-1所示，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿
虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？关
3．用棱长是l厘米的小立方体拼成如图5-2所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？
4．(1)如图5-3所示，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体，剩余部
分的表面积是多少？
(2)如图5-4所示，将一个棱长为5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，它的表
面积减少了百分之几？
5．如图5-5所示，有一个棱长为2厘米的正方体，从正方体的上面正中向下挖一个棱长为1厘米的正方体小
洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为 厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为
厘米，最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
6．（1)如图5-6，将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积，
比原来4个正方体的表面积之和少了多少？
(2)一个正方体形状的木块，棱长为1，如图5-7所示，将其切成两个长方体，这两部分的表面积总和是多少？
如果在此基础上再切4刀（如图5-8所示），将其切成大大小小共18块长方体，这18块长方体表面积总和又
是多少？
7．如图5-9所示，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请问：圆锥体积与
圆柱体积的比是多少？
8．如图5-10所示，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面半径分别为1.5分米、1分米和0.5分米的圆柱
体组成．请问：
(1)这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.14）
(2)如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？
9．有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆
碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没
在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）关
10.有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水，现有一根长30厘米，底面半径为
2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米？
拓展篇
1．如图5-11，将三个表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的铁质正方体熔铸成一个大
正方体（不计损耗）．求这个大正方体的体积．
2．一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；
如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求这个长方体的表面积．
3．如图5-12所示，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等
于多少？
4．如图5-13所示，将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为4的正方体，得到如图5-14所示的
立体图形，这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体
图形的表面积又是多少？
5．一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图5-15所示），这些小长方体的表面积之和为
162平方厘米．请问：原正方体的体积是多少？
6．图5-16是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米
的小正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？
7．一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米，已知木板厚1厘米，那么做一个木
盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？
8．有一根长为20厘米，直径为6厘米的圆钢，在它的两端各钻一个4厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥
形的孔，做成一个零件（如图5-17所示）．这个零件的体积为多少立方厘米？（л取3.14）关
9．现有一块长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体木块，把它切成体积尽可能大且底面在长方体
表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？（л取3）
10.张大爷去年用长2米、宽l米的长方形苇席围成了一个容积最大的圆柱体粮囤，今年他改用长3米、宽2
米的长方形苇席来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤，请问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？
11.左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6．如果按照图5-18中所示的方式旋转，那么得到的两
个旋转体的体积之比是多少？
12.如图5-19一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三池水，请问：
(1)将一个高1 1分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？
(2)如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？
(3)如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？
超越篇
1．有一个棱长为20的大立方体，在它的每个角上按如图5 -20所示的方式各做一个小立方体，于是得到8
个小立方体．在这些立方体中，上面4个的棱长为12，下面4个的棱长为13.请问：所有这8个小立方体公共
部分的体积是多少？
2．地上有一堆小立方体，从上面看时如图5-21所示，从前面看时如图5-22所示，从左边看时如图5-23所示．
这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积
为多少平方厘米？
3．(1)已知一个圆锥的底面直径为6厘米，高为4厘米．求它的体积和表面积；（答案用兀表示）
(2)用一个半径为25厘米，圆心角为345.6°的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的体积是多少？如果圆心角是
216°呢？（答案用丌表示）
4．将图5 -24、图5-25中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱，这两个立体图形的体积分别是多少？
（图5 -24正中央是一个面积为18平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长为5厘米的等腰三角形；图5-
25中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成．）关
5．一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，如图5-26圆柱体的底面直径和高都是12厘
米，其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时，水面离顶部5厘米．请问：这个容器的容积是多少
立方厘米？（兀取3.14）
6．有一个长方体水池，底面为边长60厘米的正方形，里面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长
15厘米的正方形，木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面．现在将木桩提起来24厘米（仍有部分浸在水
里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？
7．图5 -27是一个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为18厘米的正方形，②③④⑤是同样大的
等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是多少毫升？
8．有一个三棱柱和一个正方体，三棱柱的底面是一个等边三角形，边长恰好等于正方体的面对角线长度，三
棱柱的高恰好等于正方体的体对角线长度，如果正方体的棱长为6，那么三棱柱的体积为多少？
第 6 讲逻辑推理二
内容概述
体育比赛形式的逻辑推理问题，学会将比赛双方以及胜平负关系的情况田点线图表示，借助表格来统
计得分数与得失球数，有时还可利用总得分数来进行分析．需要从整体考虑或从极端情况分析的，具有一定
综合性的逻辑推理问题．
典型问题
兴趣篇
1．甲、乙两队进行象棋对抗赛，甲队的三人是张、王、李，乙队的三人是赵、钱、孙，按照以往的比赛成绩看，
张能胜钱，钱能胜李，李能胜孙，但是第一轮的三场比赛他们都没有成为对手．请问：第一轮比赛的分别是
谁对谁？
2．甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘．到目前为止，甲赛了4盘，乙赛
了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问：小强已经赛了几盘？
3．甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛，起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲的位置共发生了7关
次变化．比赛结束时甲是第几名？（注：整个比赛过程中没有出现三人跑在同一位置的情形．）
4．有10名选手参加乒乓球单打比赛，每名选手都要和其它选手各赛一场，而且每场比赛都分出胜负，请问：
(1)总共有多少场比赛？(2)这10名选手胜的场数能否全都相同？(3)这10名选手胜的场数能否两两不同？
5．6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分，
请问： (1)各队总分之和最多是多少分？最少是多少分？ (2)如果在比赛中出现了6场平局，那么各队总分
之和是多少？
6．红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛
决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，……，第九
名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．
最后，比赛结果没有并列名次．其中个人评比的情况是：第一名是一位黄队队员，第二名是一位蓝队队员，
相邻的名次的队员都不在同一个队．团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分16分；第二名是红队，第
三名是蓝队．请问：红队队员分别得了多少分？
7．5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分，
最后5支球队的积分各不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平．请问：这5支球队的得分，从高到低依
次是多少？
8．有A、B、C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失2球；B：进4球，失5球；C：有一场
踢平，进2球，失8球．则A与B两队间的比分是多少？
9．一次考试共有10道判断题，正确的画“√”，错误的画“×”，每道题答对得10分，答错得0分，满分为100
分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及甲、乙、丙三名同学的得分如图6-1.请问：丁应该得多少分？
10．赵、钱、孙、李、周5户人家，每户至少订了A、B、C、D、E这5种报纸中的一种．已知赵、钱、孙、李分别订
了其中的2、2、4、3种报纸，而A、B、C、D这4种报纸在这5户人家中分别有1、2、2、2家订户．周姓订户订
有这5种报纸中的几种？报纸E在这5户人家中有几家订户？
拓展篇
1．编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛
过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了几盘？
2．五行（火水木金土）相生相克，其中每一个元素都生一个，克一个，被一个生和被一个克，水克火是我们熟
悉的，有一个俗语叫做“兵来将挡，水来土掩”，是说土能克水．另外，水能生木，火能生土．请把五行的相生
相克关系画出来．关
3．A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各
进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C请问：第五天与A队比赛的
是哪支队伍？
4．A、B、C三个篮球队进行比赛，规定每天比赛一场，每场比赛结束后，第二天由胜队与另一队进行比赛，败
队则休息一天，如此继续下去，最后结果是A队胜10场，B队胜12场，C队胜14场，则A队共打了几场比
赛？
5．甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分，
请问：(1)一共有多少场比赛？ (2)四个人最后得分的总和是多少？(3)如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第
二，丁是最后一名，那么乙得了多少分？
6．五支足球队进行循环赛，即每两个队之间都要赛一场，每场比赛胜者得2分，输者得0分，平局两队各得
1分．比赛结果各队得分互不相同．已知：①第一名的队没有平过；②第二名的队没有输过；③第四名的队没
有胜过，问：第一名至第五名各得多少分？全部比赛共打平过几场？
7．四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1
分．比赛结束后，各队的总得分恰好是4个连续的自然数，问：输给第一名的队的总分是多少？
8．甲、乙、丙、丁、戊五个同学的各科考试成绩如图6-2所示，已知：
①每门功课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5；
②五个人的总分互不相同，且从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊；
③丙有四门功课的分数相同． 请你把图6-2补充完整．
语文 数学 英语 音乐 美术 总分
田 24
乙
丙
丁 4
戊 3 5
图6 - 2
9．一次足球赛，有A、B、C、D四个队参加，每两队都赛一场，按规则，胜一场得2分，平一场得1分，负一场
得0分．比赛结束后，B队得5分，A队得1分．所有场次共进了9个球，B队进球最多，共进了4个球，C队
共失了3个球，D队1个球也未进，A队与C队的比赛比分是2：3．问：A队与B队的比赛比分是多少？
10．A、B、C、D四个足球队进行循环比赛．赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如图6-3：问：D赛了几场？
D赛的几场的比分各是多少？
11．九个外表完全相同的小球，重量分别是1，2，…，9．为了加以区分，它们都被贴上了数字标签，可是有一
天，不知被哪个调皮鬼重新乱贴了一通．我们用天平做了两次称量，得到如下结果：(1)①②>③④⑤⑥⑦；关
(2)③⑧=⑦，请问：⑨号小球的重量是多少？
12．A、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到五年级数学竞赛获得第一名的那位同学的情况：
A打听到的：姓李，是女同学，13岁，东城区；
B打听到的：姓张，是男同学，11岁，海淀区；
C打听到的：姓陈，是女同学，13岁，东城区；
D打听到的：姓黄，是男同学，11岁，西城区；
E打听到的：姓张，是男同学，12岁，东城区． ’
实际上第一名同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名的同学应
该是哪个区的，今年多少岁呢？
超越篇
1．在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了4发子弹，全部中靶．其命中情况如下：
①每人4发子弹所命中的环数各不相同；②每人4发子弹所命中的总环数均为17环；
③乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样，乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样；
④甲与丙只有l发环数相同； ⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环．
问：甲与丙命中的相同环数是几？
2．一次象棋比赛共有10位选手参加，他们分别来自甲、乙、丙3个队．每人都与其余9人比赛一盘，每盘胜
者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．结果乙队平均得分为3.6分，丙队平均得分为9分，那么甲队平均
得多少分？
3．A、B、C、D、E这5支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平
则双方各得1分，最后5支球队的积分各不相同，从高到低依次为D、A、E、B、C又已知5支球队当中只有A
没输过，只有C没赢过，而且B战胜了E．请问：战胜过C的球队有哪些？
4．10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次，已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．
比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与
后四名所得总分相等，问：前六名的分数各为多少？
5．现有A、B、C共3支足球队举行单循环比赛，即每两队之间都要比赛一场．比赛积分的规定是胜一场积2
分，平一场积1分，负一场积0分，图6-4是一张记有比赛详细情况表格，但是，经过核对，发现表中恰好有4
个数字是错误的，请你把正确的结果填入图6-5中．
6.9个小朋友从前到后站成一列．现在将红黄蓝三种颜色的帽子各三顶分别戴在这些小朋友的头上．每个小
朋友都只能看到站在他前面的小朋友帽子的颜色．后来统计了一下，发现他们看到的红颜色帽子的总次数
等于他们看到的黄颜色帽子的总次数，也等于他们看到的蓝颜色帽子的总次数．已知从前往后数第三个小
朋友戴着红帽子，第六个小朋友戴着黄帽子，请问：最后一个小朋友戴着什么颜色的帽子？
7．有A、B、C三支球队进行比赛，每一轮比赛三个队之间各赛一场．每队胜一场得2分，平一场得1分，负一关
场不得分．如果三支球队共比赛了7轮，最后A胜的场数最多，B输的场数最少，C的得分最高<这些都没有
并列）．请问：A得了多少分？
8．阿奇和8个好朋友去李老师家玩，李老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个两位数，这
9个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．
李老师在纸上写了一个自然数A，问这9位同学：“你们知道自己帽子上的数能否被A整除吗？知道
的请举手，”结果有4人举手．
李老师又问：“现在你们知道自己帽子上的数能否被24整除吗？知道的请举手．”结果有6人举手．
已知阿奇两次都举手了，并且这9位同学都足够聪明且从不说谎．请问：除了阿奇之外的人帽子上8个
两位数的总和是多少？
第 7 讲几何综合一
内容概述
复杂的长度、角度计算；复杂的直线形比例关系；具有一定综合性的直线形计算问题．
典型问题
兴趣篇
1．图7-1中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形
的面积．
2．如图7-2所示，∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于多少度？
3．如图7-3，平行四边形ABCD的周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米，以CD为底时高是16厘米．求
平行四边形ABCD的面积。
4．如图7-4，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是 平方米、 平方米、 平
方米和 平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？
5．如图7-5，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠，已知露在外
面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10.那么，正方体盒子的底面积是多少？关
6．如图7-6，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．已知AG：GF：FC =4:3:2，那
么AH: HI: IB和BD: DE: EC分别是多少？
7．如图7-7，已知三角形ABC的面积为1平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点，求三角形OBC的面积．
8．在图7-8的正方形中，A、B、C分别是ED、EG、GF的中点．请问：三角形CDO的面积是三角形ABO面积
的几倍？
9．如图7-9，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为边AB、BC的中点，则阴影部分的面积
为多少平方厘米？
10．如图7-10，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积
是多少？
拓展篇
1．如图7-11，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图7-11中的字母
表示相应部分的长度，问：A、B中阴影部分的周长哪个长？长多少？
2．如图7-12．ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，∠BFE等于多少度？关
3．一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重
合，如图7-13所示，问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？
4．在图7-14中大长方形被分为四个小长方形，面积分别为12、24、36、48.请问：图中阴影部分的面积是多少？
5．三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图7-15，盒中空白部分的面积已经标出，求图
中大长方形的面积．
6．如图7-16，三角形ABC的面积为1．D、E分别为AB、AC的中点．F、G是BC边上的三等分点．请问：三角
形DEF的面积是多少？三角形DOE的面积是多少？
7．如图7-17，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行，那么EF的长
度为多少？
8．如图7-18，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？
9．两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长
度是多少米？
10．如图7-19，D是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影
直角三角形的面积是多少？
11．如图7-20，在三角形ABC中，AE= ED，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的
几分之几？关
12.如图7-21，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是
3，则四边形DCEO的面积是多少？
超越篇
1．如图7 - 22，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长方形分成了
两个梯形和一个三角形．请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？
2．如图7-23，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积
是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20.请问：三角形ABC的面积是多少？
3．如图7 -24所示，正方形ABCD的面积为1．E、F分别是BC和DF的中点，DE与BF交于M点，DE与AF
交于Ⅳ点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？
4．如图7 -25，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积．
5．如图7-26，小悦测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，
那么中间菱形的面积是多少平方厘米？
6．如图7-27，ED垂直于等腰梯形ABCD的上底AD，并交BC于G，AE平行于BD，∠DCB =45°，且三角形
ABD和三角形EDC的面积分别为75、45，那么三角形AED的面积是多少？
7．在长方形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点，将长方形的四个角分别沿着HE、EF、关
FG、GH对折后，A点与B点重合，C点与D点重合．已知EH =3，EF =4，求线段AD与AB的长度比．
8．如图7-28，在长方形ABCD中，AE: ED= AF:AB= BG: GC.已知△EFC的面积为20，△FGD的面积为16，
那么长方形ABCD的面积是多少？
第 8 讲数论综合一
内容概述
运用已学过的数论知识，解决综合性较强的各类数论问题；学会利用简单代数式处理数论问题．
典型问题
兴趣篇
1．如果某整数同时具备如下三条性质：
①这个数与1的差是质数；
②这个数除以2所得的商也是质数；
③这个数除以9所得的余数是5．
那么我们称这个整数为“幸运数”，求出所有的两位幸运数．
2．一个五位数 ，空格中的数未知，请问：
(1)如果该数能被72整除，这个五位数是多少？
(2)如果该数能被55整除，这个五位数是多少？
3．在小于5000的自然数中，能被11整除、并且所有数字之和为13的数共有多少个？
4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到
三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的
倍数，还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少？
5 ．26460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？
6．一个自然数N共有9个约数，而N-1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？
7．一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？
8．有一个算式6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自
然数最小是多少？
9．一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20.问：这个两位数是多少？关
10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送．对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这
样就达到保密的作用．有一天我军截获了敌军的一串密文：A378B421C，字母表示还没有被破译出来的数字．
如果知道密码满足如下条件：
①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；
②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；
③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数．
你能破解此密文吗？
拓展篇
1．已知 × 是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三位数 是多少？
2. 11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？
3．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，
那么这个自然数最小是多少？
4．有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这
个数能被2整除”，3号接着说：“这个数能被3整除”……依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号
数整除．1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对．问：
(1)说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？
(2)如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？
5．有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有编号为1至2008的2008个人来按动这
些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开
关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去，第2008个人按的开关的编号
是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？
6．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 米，黄鼠狼每次跳 米，它们每秒钟都只跳一次，在比赛道
路上，从起点开始每隔 米设有一个陷阱．请问：当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
7．一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：这个偶数是多少？
8．一个合数，其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数．
9．已知a与b是两个正整数，且a>b．请问：
(1)如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？
(2)如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？
10．已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350.满足上述条件
的正整数a、b、c共有多少组？
11．已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两
个两位数．
12．如图8-1，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）．小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，每关
隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔，他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B孔，他又试着
每隔4个孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6个孔跳一步，正好回到A孔．问：这个圆圈上共有多少个
孔？
超越篇
1．有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数，任意4个数的和都是6的倍数．
请问：这6个数的和最小是多少？
2．设N= 301×302×…×2005×2006，请问：
(1)N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？
(2)用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？
3．老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数，这个四位数是5的倍数．贝贝计算出它与5！的最小公倍
数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍．锖问：这个四位数是
多少？
4．一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除．这个正整
数最小是多少？
5．a、b、c是三个非零自然数．a和b的最小公倍数是300，c和a、c和b的最大公约数都是20，且a>b>c．请问：
满足条件的a、b、c共有多少组？
6．有一类三位数，它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）．这样的三位数中最小的三个是
多少？
7．有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于1，那么这个自然数是
多少？
8．有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除，请写出这4
个数，
第 9 讲计算综合二
内容概述
综合性较强的计算问题。
典型问题
兴趣篇
1．计算：关
2．要使等式 成立，方格内应该填入多少？
3．计算：
4．计算：
5．计算下列繁分数：
6．算式 的计算结果，小数点后第2008位是数字几？
7．定义运算符号“△”满足： 计算下列各式：
(1) 100△102; (2) (3△4) △5
8．已知 ，那么方框所代表的数是什么？
9．如图9-1，每一条线段的长度规定为它的端点上两数之和，图中6条线段的长度总和是多少？
10．我们规定：△n=n×n＋l），比如：△l=l×2，△2=2×3，△3=3×4.请问：
(1)如果要使等式 成立，那么方框内应填入什么数？
(2)计算: △1 +△2+△3+….+△100.
拓展篇
1．计算：关
2．计算：
3．计算：
4．我们规定：符号“O”表示选择两数中较大数的运算，例如：3.5 O 2.9= 2.9 O3.5=3.5．符号“△”表示选
择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9 =2.9△3.5=2.9．请计算：
5．计算：
6．算式 计算结果的小数点后第2004位数字是多
少？
7．古埃及人计算圆形面积的方法是：将直径减去直径的 ，然后再平方．由此看来，古埃及人认为圆周率л
等于多少？（结果精确到小数点后两位数字）
8．(1)将下面这个繁分数化为最简真分数： (2)若下面的等式成立，工应该等于多少？
9．已知符号“*”表示一种运算，它的含义是： ，已知 ，那么：(1)A等于
多少？ (2)计算
10.已知
比较A和B的大小，并计算出它们的差．
11.根据图9-2中5个图形的变化规律，求第99个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数．关
12.定义：
(1)求出 的大小； (2)计算：
超越篇
1.
2．真分数 化为小数后，如果小数点后连续2004个数字之和是8684，那么a可能等于多少？
3．定义运算“Ω”满足： 。问：
(1)m等于多少？ (2)m Ω 8等于多少？
4．已知： 。请比较A、B、C三个数的
大小．
5．求下列两个算式结果的整数部分：
(1) (2)
6．定义运算： 请问
(1)定义的运算是否满足交换律？
(2)请根据定义计算下面两个算式：
(3) 计算 的大小
7.计算关
8.计算
第十讲 行程问题六
内容概述
灵话应用比例分析的行程问题，需考虑路程、时间、速度三个量之间的各种正反比关系；综合性较强，
运动路线或路况复杂的行程问题；需零进行优化设计的行程问题．
典型问题
兴趣篇
1．姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去博物馆，而他们回家则要从公园门口沿马路向西行，他们商量是先
回家取车，再骑到博物馆，还是直接从公园门口走到博物馆，姐姐算了一下：如果从公园到博物馆距离超过
2千米，则回家取车比较省时间；如果公园和博物馆的距离不足2千米，那么直接走过去省时间．已知骑车
与步行的速度比为4:1，那么公园门口到他们家的距离是多少千米？
2．有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从某地出发同向而行．乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上
丙；甲比乙晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上丙．请问：甲出发多少分钟后才能追上乙？
3．客车、货车分别从甲、乙两地出发相向而行．如果两车都在6:00出发，那么会在11:00相遇，如果客车和货
车分别于7:00和8:00出发，那么会在12:40相遇．现在客车和货车分别于10:00和8:00出发，它们将在什么
时候相遇？
4．两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行．甲、乙同时出发
10分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发100分钟后，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距十
字路口多少米？
5．A、B、C、D四个小镇之间的道路分布如图10-1所示，其中A、D两镇相距20千米，B、D两镇相距30千米．
某天甲、乙两人同时从B镇出发，甲到达D镇后再向A镇走，到达A镇后又立刻返回，而乙到达D镇后直接
向C行进．丙从C镇与甲、乙两人同时出发，在距离D镇15千米处与乙相遇．当丙到达D镇后又向A镇前
行，在与D镇相距6千米的地方与甲相遇，已知甲、乙的速度比为8:9，求O、C两镇之间的距离．
6．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车速度为32千米／时，乙车速度为48千米／时．它们关
分别到达B地和A地后，甲车速度提高四分之一，乙车速度减少六分之一．如果它们第一次相遇与第二次
相遇地点相距74千米，那么乙车比甲车早多少小时返回出发点？
7．甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍
甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰．求从山脚到山顶的距离．
8．从甲市到乙市有一条公路，它分成三段：在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上，汽车速度
是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米，己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍．现
有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段公路上从甲到乙方向的 处相
遇，请问：甲、乙两市相距多少千米？
9．一支轻骑摩托小分队奉命把一份重要文件送到距驻地很远的指挥部，每辆摩托车装满油最多能行150千
米，且途中没有加油站．由于一辆摩托车无法完成任务，队长决定派两辆摩托车执行任务，其中一辆摩托车
负责把文件送到指挥部，另一辆则在中途供给油料后安全返回驻地．请问：指挥部距小分队驻地最远可能是
多少千米？
10．甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生，为了尽快
到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机
场，汽车则立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，都为5千米／时，汽车的
速度为35千米／时．请问：汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机
场？
拓展篇
1．一辆轿车和一辆巴士都从A地到B地，巴士速度是轿车速度的 ．巴士要在两地的中点停10分钟，轿车
中途不停车，轿车比巴士在A地晚出发11分钟，早7分钟到达B地．如果巴士是10点出发的，那么轿车超
过巴士时是10点多少分？
2．客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，已知客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时．两车在
中途相遇后，货车又行了90千米，这时客车行完了全程的80%，求甲、乙两地的距离．
3．甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，相遇时乙比甲多行了100米，如果甲出发后在距离AB中点
220米处把速度提高到原来的3倍，则相遇时甲比乙多行了100米，求A、B两地的距离，
4．甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山．他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍
甲与乙在离山顶400米处相遇，当甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求山脚到山顶的距离．
5．某天早上8点甲从B地出发，同时乙从A地出发追甲，结果在距离B地9千米的地方追上．如果乙把速度
提高一倍，而甲的速度不变，那么将在距离艿地2千米处追上．请问：A、B两地相距多少千米？
6．如图10-2，A、B两地相距54千米，D是AB的中点．甲、乙、丙三人骑车分别同时从A、B、C三地出发，甲
骑车去B地，乙骑车去A地，丙总是经过D之后往甲、乙两人将要相遇的地方骑，结果三人在距离D点
5400米的E点相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么丙必须提前52分钟出发三人才能相遇，否则甲、
乙相遇的时候，丙还差6600米才到D．请问：甲的速度是每小时多少千米？关
7、甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车，每辆电车都是每隔4分钟遇到迎面开来
的一辆电车。小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行。小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆
电车，小王每隔6分钟遇到一辆迎面开来的电车。如果电车行驶全程需要56分钟，那么小王与小张在途中
相遇时，他们已经出发了多少分钟？
8、米老鼠从A到B，唐老鸭从B到A，米老鼠与唐老鸭的速度比为6 ：5，M是A、B的中点。在A、M之间有
一C点，距离M点26千米，此处有一个魔鬼，谁经过他都要减速25%；B、M之间有一D点，距离M点4千
米，此处有一个仙人，谁经过他都会加整25%；现在米老鼠和唐老鸭同时出发，且同时到达各自的目的地，
请问：A、B两地相距多少千米？
9、自动扶梯由下向上匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了150级；乙从底部向上走到顶部，共走了75
级。如果甲的速度是乙的速度的3倍，那么扶梯可见部分共有多少级？
10、四辆汽车分别停在一个十字路口的四条岔路上，它们与路口的距离都是18千米，四辆车的最大时速分
别为40千米、50千米、60千米和70千米。现在四辆汽车同时出发沿着公路行驶，那么最少要经过多少分钟，
它们才能设法相聚在同一地点？
11、某种小型飞机加满油最多能飞行1500千米，但不够从A地飞到B地。如果从A地派3架这样的飞机，通
机实现空中供油，可以使其中一架飞机飞到B地，另两架安全返回A地，那么A、B两地最远相距多少千米？
12、现在两支球队同时从某地到9千米外的体育馆进行比赛，但只有一辆汽车接送，且每次只能乘坐一支球
队。已知队员步行速度均为6千米/时；汽车满载的速度为27千米/时，空载的速度为36千米/时。请问：比赛
早会在两队出发后多少分钟开始？（两队均到场即可开始。）
超越篇
1.如图10-3所示，A、B、C、D四个球按顺时针方向均匀分布在周长48米的圆周上，分别以1米/秒、2米/秒、
4米/秒的速度做顺时针运动。当有两球碰到一起的时候，两个球相互交换速度，但运行方向不变；当三个球
碰到一起的时候，中间球的速度不变，其它两个球相互交换速度。请问：从四个球同时出发开始，经过多少
秒四个球第一次同时碰到一起？（不考虑球的半径）
2、A、B、C三地依次分布在由西向东的同一条道路上，甲、乙、丙分别从A、B、C同时出发，甲、乙向东，丙向
西。乙、丙在距离B地18千米处相遇，甲、丙在B地相遇，而当甲在C地追上乙时，丙已经走过B地32千米。
试问：A、C间的路程是多少千米？
3、甲、乙、丙同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，不断往返运动。已知山坡长360米，甲、乙、丙的速
度比为6 ：5 ：4，并且甲、乙、丙的下山速度都是各自上山速度的1.5倍。经过一段时间后，甲到达山顶时，看关
见乙正在下山，此时乙距离山脚不到180米（乙不在山脚）。求此时丙离山顶的距离。
4、甲、乙、丙三人从A地出发向B地前进，A、B两地之间的距离为18.6千米。已知甲步行速度为3千米/时，
骑车速度为15千米/时，乙步行速度为6千米/时，骑车速度为15千米/时，丙步行速度为5千米/时，骑车速
度为18千米/时。现在只有一辆自行车，请通过合理安排使得甲、乙、丙在最短时间内同时到达B地，那么至
少需要多少分钟？（骑车可以带人，但只能带一人。）
5、商场里有一架自动扶梯，冬冬和阿奇都从1楼乘扶梯到2楼，科科乘扶梯的同时还向前往上行走，阿奇乘
扶梯的同时还向后往下行走。两人到达2楼的时候冬冬一共向上迈了18级台阶，阿奇一共向下迈了10级台
阶，已知冬冬往上走速度和阿奇往下走速度的比为12 ：5，请问：从1楼到2楼的扶梯一共有多少级台阶？
6、A、B两地相距125千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地同时出发，相向而行．丙骑摩托车以每小时
63千米的速度，与甲同时从A地出发，在甲、乙两人间来回穿梭(与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回)．
若甲车速度为每小时9千米，且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处)，甲、
乙两人相距45千米．问：当甲、乙两人相距20千米时，甲与丙相距多少千米?
7、甲、乙、丙、丁四车同时在一条路上行驶：甲车12点追上丙车，14点与丁相遇，16点与乙相遇；乙车17点
与丙相遇，18点追上丁．问：丙和丁几点几分相遇?
8、3月25日正午12点，甲、乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发，相向而行．航行中的每天正午12点，这
两艘轮船都会放出一只信鸽，以相同的速度飞向B港报信．已知甲船3月31日放出的信鸽“阿呆”与乙船
4月1日放出的信鸽“阿瓜”同时到达B港．4月7日正午12点，乙船到达了A港，此时乙船放出了它在整
个航程中的最后一只信鸽，而该信鸽恰好与甲船同时到达曰港．已知除了“阿呆”与“阿瓜”之外，还有一
对信鸽也是同时到达B港，请求出这对信鸽到达日港的准确时间．
第 11 讲不定方程
内容概述
学会求二元一次不定方程与多元一次不定方程组的整数解，通常利用整除性、大小估计等方法进行分
析；注意对多个未知数进行恰当的消元，化简方程．
典型问题
兴趣篇
1．有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．
问：大、小油桶各几个？
2．有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大、小盒子各多少
个才能恰好把这些球装完？
3．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫2声
波斯猫叫1声；若是晚上见面，小花狗叫2声，波斯猫叫3声，细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现
它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？
4．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共七百多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天关
共吃60个馒头，平均每个和尚每天恰好吃4个馒头．请问：庙里共有多少个和尚？
5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 的职工各带一个孩子参加．男职工每人
种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有多少名男职工？
6．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每个老师能
搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？
7．新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，
面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么
三种面值的邮票分别买了多少张？
8．小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分，那么
小萌寄的这三种信的总和最少是多少封？
9．有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？
10．快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元，小明去快餐店买汉堡．
他付款100元，找回8元．请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？
拓展篇
1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少
支铅笔？
2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）．采购员要恰好
买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？
3．在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人．在一场战役中，苏军司
令部从两个集团军抽调了相同数量的师参与战斗，一共有27.1万人．如果这两个集团军都是由步兵师和航
空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？
4．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，
其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共
有多少人？
5．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，
问：剩余部分的管子最少是多少厘米？
6．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给
40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分，请问：这次比赛共考了多
少道题？
7、我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值
钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，关
每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只?
8．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔
6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多
少盒?
9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图11-1，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分
和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投
中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖?如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需
要投中几个飞镖?
10、阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共
花了360元，且每种糖都买了．请问：阿奇共买了多少包奶糖?
11、小悦、冬冬去超市买水果．小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，冬冬买了3千
克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元．结账的时候碰到老师，老师买了6千克桔子和3千克苹果，
那么老师应该花了多少钱?
12、红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元．小强打算
用109元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完．求红笔的单
价．
超越篇
1、求不定方程35x+64y=1625的所有自然数解．
2、一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共1355斤．其中苹果每筐60斤，每斤定价1.5元；梨每
筐55斤，每斤定价1.5元；桃子每筐45斤，每斤定价1.8元．批发市场是以定价的70％购人这些水果的，如
果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐?
3、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了
某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平
均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张?
4、采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的A种商品和若干个单价670元的B种商品，其
中B种商品多于A种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10元钞票．如果把A、B两种商品的数
量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个?
5、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙l件、丙4关
件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共
需多少元?
6、国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买A、B、C、D、E五种商品，并且必须正好把礼
券用完．已知这五种商品每盒的价格和重量如下表．
商品 A B C D E
单价(元) 70 110 190 290 310
重量(千克) 1.5 2 1 10 3
如果唐师傅最多只能带走20千克商品，且一定要购买D商品，共有多少种不同的买法?
7、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少?(砝码只能
放在天平的一边)
8、现有1．7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出l升汽油，至少需要倒多
少次?
第 12 讲进位制与取整符号
内容概述
掌握进位制的概念及相关计算，掌握自然数在不同进位制之间的转化方法，并学会恰当利用进位制解
决一些数论问题．掌握取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，学会求解包含这两种符号的算式
与方程．
典型问题
兴趣篇
1．将下面的数转化为十进制的数：(1111)，(1010010)，(4301)，(B08) ．
2 2 5 16
2．请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数．
3．请将七进制数(403) 化成五进制的数，将五进制数(403) 化成七进制的数．
7 5
4．(1)在二进制下进行加法：(101010)＋(1010010)；
2 2
(2)在七进制下进行加法：(1203)＋(64251)；
7 7
(3)在九进制下进行加法：(178)＋(8803).
9 9
5．用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果 ， ， ，是由小到大排列
的连续正整数，那么 所表示的整数写成十进制的表示是多少？
6．记号(25) 表示七进制的数，如果(52) 是(25) 的2倍，那么，(123) 在十进制表示的数是多少？
k k k k关
7．一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数
码顺序恰好相反．请问：这个自然数的十进制表示是多少？
8．计算：
9．计算：
10．求方程2[x] – 9{x}=0的解的个数．
拓展篇
1．(1)请将下面的数转化为十进制的数：(2011)、(7C1) ；
3 16
(2)请将十进制数101转化为二进制的数，641转化为三进制的数，1949转化为十六进制的数．
2．请将三进制数(12021) 化成九进制的数，将八进制数(742) 化成二进制的数．
3 8
3．(1)在七进制下计算：(326)＋(402)、(326)×(402)；
7 7 7 7
(2)在十六进制下计算：(35E6) ＋(78910) .
16 16
4．算式(4567) ＋(768) = (5446) 是几进制数的加法？(534)×(25) = (16214) 是几进制数的乘法？
m m m n n n
5．自然数x= 化为二进制后是一个7位数 ．请问：x等于多少？
6．一个自然数的七进制表达式是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数
码顺序恰好相反。这个自然数的十进制表示是多少？
7、某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字0至5，即从第一页开始
这本书的页码依次为1，2，3，4，5，10，11，12，13．14，15，20，…．那么这本书的第365页的页码是多少?
8、如果 求：
(1) ［x - y］的所有可能值；(2)［x + y - z]的所有可能值．
9、计算（结果用л表示）
10、计算：
11、解方程
12、解方程 其中x是整数。关
超越篇
1．a、b是自然数，a进制数(47) 和易进制数(74) 相等，a + b的最小值是多少？
a a
2．现有一个百位为3的三位数(十进制)，把它分别化成九进制的数和八进制的数后，仍然是三位数．且首位
数字分别为4和5．这样的三位数中最大的是多少?最小的是多少?一共有多少个?
3．在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为6的等差数列；而在五进制的表示中，这三个数
的数字和是依次减少的．符合这样要求的等差数列有多少个?
4．现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，27，81，243．任意搭配这些筹码(也可以只选择1个筹码)可以
得到多少个不同的和?将这些和加起来，总和为多少?将这些和从小到大排列起来，第45个是多少?
5．计算：
6．计算：
7．一副双色牌中，红、黑两种颜色各有12张牌，每种颜色的牌上分别写着l，2，4，8，16，…，2048这12个数．
小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和．
(1)若算出的和为2008，则小梁最多可能抽取了多少张牌?(2)若算出的和为183，则小梁共有多少种抽取牌的
方法?(3)如果小梁有3种抽牌的方法使得和为某个正整数n，求，z的值．
8．(1)在 中共出了多少个互不相同的数？
(2)在 中共出现了多少个互不相同的数？
第 13 讲应用题综合一
内容概述
与生话相关的形式多样的应用题，需要结合实际情况具体分析；条件比较隐藏，数量关系较为复杂的应
用题；具有不确定性，需要进行简单判断的应用题．
典型问题
兴趣篇
1．一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；这时他又说自己
有零钱，于是给店员5元的零钱，并且要回了开始给出的50元，请问：这个骗子一共骗了多少钱？
2．在水平地面上匀速行驶的拖拉机速度是每秒5米，已知拖拉机前轮直径0.8米，后轮直径1.25米．设某一
时刻两轮上与地面的接触点为A和B，那么经过多少秒后，A和B再次同时与地面接触？（圆周率取近似值
3）关
3．一个容器装了 的水，现有大、中、小三种小球，第一次把1个中球沉入水中；第二次将中球取出，再把3
个小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再把1个大球沉入水中．最后将大球从水中取出，此时容器内剩
下的水是最开始的 ．已知每次从容器中溢出的水量情况是：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一
半．求大、中、小三球的体积比，
4．星期天早晨，冬冬发现闹钟因电池能量耗尽停了．他换上新电池，估计了一下时间，把闹钟的时间调到
8:00.然后冬冬离家前往天文馆．他到达天文馆时，看到天文馆的标准时钟显示的时间是9:15.一个半小时后，
冬冬从天文馆出发以同样的速度回家，到家时看到闹钟显示的时间是11:20，这时冬冬应该把闹钟调到几点
几分时间才是准确的？
5．从甲地到乙地有两种方法：①立即步行前往；②等待公共汽车坐车前往．表13-1中列出了从甲地到乙地
所用的最短时间随两地之间距离的变化情况，已知步行速度、汽车速度以及等待公车的时间都是固定的．请
问：当两地相距24千米的时候，从甲地到达乙地的最短时间是多少分钟？
6．某种商品由于实行进口限制，在买卖时会征收高达40%的税．比如甲以100元的价格卖出该商品，在收到
买方100元货款之后，需要付给国家40元的税；乙以100元的价格买人该商品时，则在付给卖方100元货款
后，还需要再付给国家40元的税．现在甲以45万元的总价买入一批该商品，然后再转手卖给乙，在整个买
卖交易过程中，甲还自己出钱支付了30000元的运费（该费用不征税）．为了让这笔买卖不亏本，甲至少应以
多少万元的价格卖给乙？如果以此价格成交，那么从头到尾国家从甲、乙身上收取了多少万元的税？
7．一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7千米．从早晨7时开始，有18列货车由第11站顺次发出，
每隔5分钟发出一列，都驶向第1站，速度都是每小时60千米．早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11
站驶去，时速是100千米．在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站，问：在哪两个相邻站之间，客车
能与3列货车先后相遇？
8．有一只小蚂蚁在一根弹性充分好的橡皮筋上的A点，以每秒1厘米的速度向前爬行，从小蚂蚁开始爬行
的时候算起，橡皮筋在2秒后、4秒后、6秒后、8秒后、10秒后……都均匀地伸长为原来的2倍．那么在开始
爬行9秒后，这只小蚂蚁离A点多少厘米？
9．有一座塔，从地面到塔顶要通过塔内部的螺旋形通道上去，如图13-1，通道的长度是420米，共转了三圈
半．小明从P点以每分钟60米的速度下塔，小亮从Q点以每分钟40米的速度上塔，如果两人同时出发，那
么刚好形成正上方与正下方的关系共有多少次？分别是出发之后几分钟？（两人相遇不算）关
10．阿奇读一本故事书，如果他第一天读25页，以后每天都比前一天多读5页，那么到最后一天时，还剩下
47页；如果他第一天读40页，以后每天都比前一天多读5页，那么到最后一天时，还剩下37页．请问：这本
故事书最少共有多少页？
拓展篇
1．甲、乙、丙、丁四个人去餐馆大吃了一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以饭钱就由乙、丙、丁三个人出．回到
宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三人，结果乙摆摆手说： “不用了，我反正还欠你4块钱，正
好抵了．”丙说：“你把我那份给丁吧，我正好欠他9块钱．”于是甲只付钱给丁，给了31元．那么在餐馆付
饭钱的时候，乙、丙、丁分别付了多少元？
2．2008年3月1日起，我国实行新的税率标准，费用扣除标准调高为2000元／月．表13-2是工资、薪金所
得项目税率表：
表中“全月应纳税所得额”是指从月工资、薪金收入中减去2000元后的余额，它与相应税率的乘积就
是应交的税款数．则在这种税率实行期间：
(1)王先生某个月的工资、薪金收入为4480元，该月份他交纳的税款是多少元？
(2)张先生某月份交纳了1165元个人所得税，该月份张先生工资、薪金收入是多少元？
3．有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片，阿奇先用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形，然
后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，之后又用白色纸片拼下去，……，这样重
复拼．当阿奇用黑色纸片拼过5次以后，、黑、白纸片正好用完．请问：黑色纸片至少有多少张？
4．有一辆杂技自行车，前轮的半径是 分米，后轮的半径是 分米，那么当后轮转的圈数比前轮多10
圈的时候，这辆车前进了多少米？（圆周率取近似值3.14.）
5．两个农妇共带100个鸡蛋到市场上去卖，第一个农妇带的鸡蛋比第二个农妇少，但两人所卖的总钱数相
同．第一个农妇对第二个农妇说：“我要有你那么多鸡蛋，按我的价钱卖就能把它们卖180元，”第二个农
妇回答说：“我要有你那么多的鸡蛋，按我的价钱卖只能把它们卖80元．”请问：两个农妇各有多少个鸡蛋？
6．张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件．张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每
减价1元，我就多订购4件，”经理算了一下，若减价1%，由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多52
元．那么按张先生的要求，商店最多可以获得多少元利润？
7．比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正
五边形与白色正六边形的边长相等．缝制的方法是：每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一
起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一关
起．如果一个足球表面上共有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块?
8．如图13 – 2所示，相距15厘米的两条平行线a和b之间，有直角三角形A和长方形B．直角三角形A沿
着直线a以每秒1厘米的速度向右运动，长方形B沿着直线b以每秒2厘米的速度向左运动．请问：A与B
有重叠部分的时间持续多久?其中重叠部分的面积保持不变的时间有多长?
9．如图13 – 3所示，A、B两点把一个周长为1米的圆周等分成两部分．蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿
逆时针方向作跳跃运动，它每跳一步的步长是詈米，如果它跳到A点，就会经过特别通道A曰滑向曰点，并
从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周
长等于多少米?
10．汽车轮胎如果放在前轮可以行驶50000千米，如果放在后轮可以行驶30000千米．现有一辆汽车，允许
在恰当的时候将前轮和后轮互换，那么最多可以行驶多少千米而不需要购买新的轮胎?如果在行驶过程中
只允许前、后轮对调一次，那么应当在行驶多少千米的时候将前、后轮对调?
11．在A、B之问有一段笔直的公路，在其两个三等分点处各有一棵树．早上9：30时有一辆汽车从A出发，
以固定的速度沿公路行驶，于当天早上10：00到达B．一辆摩托车在当天早上9：25从B出发，以变化的速
度开往A地．摩托车手记得他和汽车在某棵树处相遇，但记不清是哪棵树了，他只知道以摩托车的最快速度
从B到A恰好要15分钟．如果摩托车手能够根据上述信息推断出自己是在哪棵树处遇到汽车的，那么摩托
车最晚什么时问之前到达A地?
12．如图13—4所示，在一个大圆周上均匀分布着200个小球，沿顺时针方向依次编号为1，2，3，…，200．每
个小球均以各自编号的速度沿顺时针方向绕圆周运动(单位是米／秒)，当在某一个时刻有若干小球相遇在
一起时，这些小球就会合并成一个小球，并以原来这些小球速度的平均值继续沿顺时针方向运动．经过充分
长的时间之后，圆周上最终剩下几个球在运动?速度等于多少?
超越篇
1．小军驾驶的轿车被警察拦了下来，原因是在高速路上超速驾驶，仪器记录上显示小军的平均速度达到了
110千米／时．为了免于处罚，小军辩解道：“刚才我花了两个半小时通过这段高速路，我敢保证在每一个
小时的时间间隔内，我开的距离都不超过100千米，因此我开车的平均速度不可能是110千米/时．你的记录
仪器一定有问题．”于是警察又查询了电子记录，发现小军所说属实，虽然总感觉有些不对劲，却又不知如关
何反驳小军，于足就放过了他．请问：小军的辫解错在哪里?
2．甲、乙、丙三个人一起买一件古董，他们三个人出钱的比是2：2：1．第一次三个人只付了总钱数的50％，
乙比丙多付了2750元，但是这些钱中包含乙替甲垫付的550元．几天之后甲又单独向丙借了2000元，向乙
借了500元、几天之后这三人发现古董的价格提高了20％，并日由于甲缺钱。三个人的出钱的比改成了1：
2：2．请问：三个人还要分别各付多少元，才能使得他们在付完古董的钱后互不相欠?
3．A、B、C 三种零件共153个，每人加工1个A零件都需3分钟，加工1个B零件都需5分钟，加工1个C
零件都需7分钟．现在有甲、乙、丙三名工人同时开始加工这；种零件，甲加工的第一个零件是A，乙加工的
第一个零件是B，丙加工的第一个零件是C。如果加工完第一个零件后，他们都改去加工另一种零件，并且
不再改变所加工零件的种类，结果恰好同时完成．求A、B、C三种零件的个数．
4．有一个菜贩很不老实，他有一架动过手脚的天平，这架天平的两臂不等长．普通天平平衡的条件是左右两
边的物品重量相等，但做过于脚的天平平衡时两边重量不相等，而是成一个固定的比例．
当菜贩向农民们购买货物时，他把货物放在天平臂较短的一侧，这样称起来较轻，他可以少付一些钱；
当他销售货物时，就把货物放在天平臂较长的一侧，这样称起来较重，他可以收入较多的钱．用上述手法，
第一次他向农民购买6袋蕃茄1袋花生，称出总重量为25千克．第二次他向农民购买9袋番茄3袋花生，称
出总重最是50千克．
终于恶有恶报，他的秘密被聪明的阿凡提知道了，阿凡提让农民存了24袋番茄和7袋花生，然后一起
去卖给菜贩．阿凡提执意把货物放在天平臂较长的一侧，由于农民也在场，菜贩不敢说出天平的秘密，只好
按阿凡提的办法称，称得总重量是180千克．菜贩收了这批菜之后，从此不敢再用假天平骗人了．你能求出
菜贩在上面三次交易中亏了多少千克番茄，亏厂多少千克花生吗?
5．某项工程打算请甲、乙、丙三队来承包．如果由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付工程款18000元；
如果由乙、丙两队承包，3.75天可以完成，需支付工程款15000元；如果由甲、丙两队承包， 天可以完成，
需支付工程款16000元．现在进行合理分工，要求在一个星期内完工，至少要花费多少工程款?
6．三轮挎斗摩托车有前、左后和右后三三个车轮．如果把轮胎放在前轮可以行驶45000千米，如果把轮胎放
在左后轮可以行驶20000千米．如果把轮胎放在右后轮可以行驶36000千米．现有一辆刚刚换上新车胎的
三轮挎斗摩托车，可以在恰当的时候将两个轮胎对换．请问：
(1)这辆三轮摩托车最多可以行驶几千米而不需要购买新的轮胎?
(2)在这期间最少需要对换几次轮胎?请说明理由；
(3)请详细叙述在行驶多少千米之后如何对调这些轮胎．
7．甲容器有60％的酒精溶液10升，乙容器有40％的酒精溶液30升．现在我们以0. 3升／分的速度向甲容
器加浓度为20％的酒精溶液，同时以0．5升／分的速度向乙容器加浓度为60％的酒精溶液．请问：多少分
钟后甲、乙容器内酒精溶液的浓度相同?
8．如图13—5所示，三角形ABC是一个以A为直角顶点的直角三角形，其中AB长20米，AC长15米．甲
从A点出发以2米／秒的速度不停地在A、B之问往返，乙从C点出发以1米／秒的速度不停地在A、C之
间往返．在某些时刻，甲到达D点，乙到达E点，四边形DECB恰好成为一个梯形．求梯形DECB面积的最关
小值．
第 14 讲计数综合三
内容概述
建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会观察和发现递推关系；利用树形固、列
表等方法处理某些递推关系，另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．
典型问题
兴趣篇
1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不
同的走法？
2．小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？
3．用l×2的小方格覆盖2×7的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？
4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个
部分？
5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传
球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？
6．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？
7．由1、3、4组成的各位数字之和为9的多位数共有多少个？
8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？
9．一个十位数只含有数字l或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？
10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是l，这样的六位数有多少个？
拓展篇
1．老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写l篇，如果冬冬每天最多能写3篇，那么共有多少种写完
作文的方法？
2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表，共有多少种覆盖方法？
3．现有14块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？关
4．如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以把平面分成
几个部分？
5．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．
先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中。请问：整个传球过程共有多
少种不同的可能？
6．如图14-1所示，一个圆环被分成8部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜
色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？
7．圆周上有10个点A，A，…，A 以这些点为端点连结5条线段，要求任两条线段之问都没有公共点，共
1 2 10
有多少种连结方式?
8．在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多，例如1370、36712等．请问：在1至10000中有
多少个这样的多位数?
9．有些自然数存在相邻的两位数字顺次为7和5，例如1975、75675等，但432579。不算在内．请问：具有这
种性质的六位数有多少个?
10．用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么大于它前面
的所有数字，要么小于它前面的所有数字．请问：这样的九位数共有多少个?
11．一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个l，这样的七位数一共有多少个?
12．满足下面性质的四位数称为“好数”：它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且任意相邻
两位数字的差都不超过3．例如1346、2579是好数，但1567就不是好数．请问：一共有多少个好数?
超越篇
1．一个九位数，它只由数字l、2和3组成，而且它的任意连续两位数都不等于12、21、22或31，这样的自然
数有多少个?如果还要求数字1、2和3每个数字都至少出现一次，则这样的九位数有多少个?
2．(1)如果在一个平面上画出8个三角形，最多可以把平面分成多少个部分?(2)如果在一个平面上画出3个
四边形、2个圆、l条直线，最多可以把平面分成多少个部分?
3．如图14—2所示，阴影部分是一个圆环，4条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分?
4．用15个l×2的小纸片覆盖图14—3，共有多少种不同的覆盖方法?关
5．对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加l，如此进行下去直到得数为1操作停
止．问：经过9次操作变为1的数有多少个?
6．用4种不同的颜色将图14—4中的圆圈分别涂色，要求有线段连结的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色，
共有多少种涂法?(不允许旋转、翻转图14—4)
7．圆周上有15个点A，A，…，A ，以这些点为顶点连出5个三角形，要求任意两个三角形没有公共点，共
1 2 15
有多少种连结方式？
8．有一年级到六年级的同学各一人，排成一列领取糖果．如果一个高年级的同学站在一个低年级的同学前
面，那么这个低年级的同学就会产生一次“怨言”（一个人可以有多次“怨言”）．在一种排列顺序里，我们
把所有“怨言”的总数叫“怨言数”．例如：六位同学按下面的顺序排列：一年级、四年级、三年级、二年级
六年级、五年级，那么这六位同学产生的“怨言”次数依次为0、0、l、2、0、l，这种排列的“怨言数”就是4．
请问：有多少种“怨言数”为7的排列顺序？
第 15 讲几何综合二
内容概述
综合运用各种方法处理具有相当难度的几何问题．掌握几何变换的初步技巧，例如平移、翻转、旋转等，
必要时可利用辅助线进行分析．
典型问题
兴趣篇
1．图15-1中有半径分别为5厘米、4厘米、3厘米的三个圆，A部分（即两小圆重叠部分）的面积与阴影部分
的面积相比，哪个大？大多少？
2．如图15-2，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为10厘米．求阴影部分
的面积．（л取3.14）
3．如图15-3，大正方形中有三个小正方形，右上角正方形的面积为27，左下角正方形的面积为12，中间阴影
正方形的2个顶点分别位于右上角和左下角正方形的中心．请问：中间阴影正方形的面积是多少？
4．如图15-4，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12.已知梯形的上底长度是关
下底的 ．请问：阴影部分的总面积是多少？
5．图15-5是由一个边长为2厘米的正方形和一个长为5厘米的长方形拼成的，线段MN把它们各分成两部
分，已知A、B两块的面积和是C、D两块面积和的1.5倍．请问：长方形的宽是多少厘米？
6．图15-6中四边形ABCD为平行四边形，三角形MAB的面积为11平方厘米，三角形MCD的面积为5平
方厘米．请问：平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
7．如图15-7，一张边长为18厘米的正方形纸片，从距离四角5厘米处，用剪刀剪出450的角度，纸片中间会
形成一个小正方形，这个小正方形的面积是多少平方厘米？
8．如图15-8所示，平行四边形ABED与平行四边形AFCD的面积都是30平方厘米．其中AF垂直于ED，
AO、OD、AD分别长3、4、5厘米．求三角形OEF的面积和周长．
9．如图15-9．ABCD是直角梯形，AB =4，AD =5，DE =3.求： (1)三角形OBC的面积；(2)梯形ABCD的面积．
10．有一些黑、白两种颜色的小正方体积木，把它们摆成如图15-10所示的形状．已知相邻的积木颜色不同
（有公共面的两块积木叫做相邻的积木），标有A的积木为黑色．图中共有黑色积木多少块？
拓展篇
1．如图15-11，正方形ABCD的面积是64平方厘米，E、F分别为所在半圆弧的中点．求阴影部分的面积．
（л取3.14）关
2．图15-12中阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（л取3.14）
3．如图15-13，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘米、5厘米．求
这个六边形的周长．
4．如图15 -14，在长方形ABCD中，AB= 30厘米，BC= 40厘米，P为BC上一点，PQ垂直于AC，PR垂直于
BD.求PQ与PR的长度之和．
5．如图15-15，八边形的8个内角都是135°，已知AB=EF，BC=20，DE=10，FG= 30，求AH的长度．
6．如图15-16，已知CD=5，DE =7，EF= 15，FG =6.直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部
分面积是65.请问：三角形ADG的面积是多少？
7．如图15-17所示，P为长方形ABCD内的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为13．请问：
三角形PBD的面积是多少？
8．如图15-18，四边形ABCD是一个长方形，AC是对角线，试比较两块阴影区域S，与S 的面积大小.
1 2
9．如图15-19所示，一块半径为2厘米的圆板，从位置①起始，依次沿线段AB、BC、CD滚到位置②．如果
AB、BC、CD的长都是20厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？(л取3.14，答案保留两位小
数．)关
10．如图15-20，有一块长5厘米，宽3厘米的长方形木盘，先从某个顶点处沿45。方向打出一个小球，球碰
到盘壁之后又沿45 0方向弹出，当再次碰到盘壁时，仍沿450方向弹出，如此继续，请问：当球再次碰到某
个顶点之前它共碰壁几次？
11．图15-21是一个5×5×5的正方体，将其表面全部涂上红色，再分割成1×1×1的小正方体．取出全部至
少有一个面是红色的小正方体，组成表面全部是红色的实心长方体．求可以组成的长方体的最大体积．
12．图15-22是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．问：这个立体图形由多少
个小正方体组成？
超越篇
1．如图15:23，四边形CDEF是正方形．四边形ABCD是等腰梯形，它的上底AD=4厘米，下底BC =8厘米．
求三角形ADE的面积.
2．如图15-24，把长方形ABCD的一个角折起来，使得D点恰好与AB重合于F．已知F点是AB边上最靠
近A的五等分点，且AF=1.请问：三角形EDC的面积等于多少？
3．如图15 -25，在四边形ABCD中，AB= 30，AD= 48，BC=14，且∠ABD+∠BDC=90°，∠ADB+∠DBC =90°．
请问：四边形ABCD的面积是多少？
4．图15-26中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．
5．如图15-27，∠A=∠B = 60°，且AB= 24，BD=16，AC=8，而且三角形CDE的面积等于四边形ABEC的面
积．请问：DE的长度是多少？关
6一如图15 -28，已知三角形ADE，三角形CDE和正方形ABCD的面积之比为2：3：8，三角形BDE的面积
是4平方厘米．四边形ABCE的面积是多少平方厘米？
7．如图15 -29，有一个三角形台球桌，角C是直角，角A等于30度，从A点向BC的中点打出一个球，该球
经过若干次反弹后，恰好落人某个袋中．请问：最少要反弹多少次？球最后落入哪一个袋中？
8．如图15 -30，正方形PQRS有三个顶点分别在三角形ABC的三条边上，且BQ=QC.请求出正方形PQRS
的面积．
第 16 讲最值问题二
内容概述
各种类型的复杂最值问题，通常采用枚举、局部调整和极端分析等方法．有些情况下，既要构造出取得
最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．
典型问题
兴趣篇
1．用0，1，2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数a、b、c、d、e．请问：a – b + c – d + e最大可能是
多少？
2．将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组
有多少人？
3．有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛
多少场？
4．我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如8 = 3 + 5．有的数有几种不同的表示方法，
例如100 = 3 + 97 =11 + 89 =17 + 83.请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？
5．一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？关
6．(1)在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？
(2)从1至9中选取四个不同的数字填人算式 中，使算式的结果小于1．这个结果最大是多
少？
7．如图16-1，等腰直角三角形ABC中，
CA = CB = 4厘米，在其中作一个矩形CDEF，
矩形CDEF的面积最大可能是多少？
8．如图16-2，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形，这个八边形的边长恰好为1、
2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？
9．在4×4的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点，请问：最多可以将多少个
方格染成黑色？
10．古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一
个问题：如图16-3，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最
短，应该让马在什么地方饮水？
拓展篇
1．如图16-4所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架．这个长方体的体积
最大可能是多少？
2．把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大，问：这个乘积最大可能是多少？
3．从1，2，…中选出8个数填人下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果．
口÷口×（口＋口）－（口×口＋口－口）．
4．有13个不同的自然数，它们的和是100.其中偶数最多有多少个？最少有多少个？
5．将6、7、8、9、10这5个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的5个乘积相加，请问：
所得和数的最小值是多少？最大值是多少？
6．有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60.这5袋糖块总共最少有多少块？
7．已知算式9984 - 8 - 8 - … - 8的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？
8．用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这关
个乘法算式．
9．所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？
10．把l至99依次写成一排，形成一个多位数： 从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位
不是0的多位数，请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？
11．邮递员送信件的街道如图16-5所示，每一小段街道长1千米．如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的
街道，那么邮递员最少需要走多少千米？
12．如图16-6，有一个长方体形状的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B点
去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来．
超越篇
1．一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键 “ + ” 尚能使用，因此可以输入77，707
这样只含数字7和0的数，并且能进行加法运算．为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？
2．用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数 和一个两位数 ，再用0、2、4、6、8这5个数字组成一个
三位数 和一个两位数 ．请问：算式 × - × 的计算结果最大是多少？
3．将l、2、3、4、5、6分别填在正方体的6个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘积共有
12个，这12个乘积的和最大是多少？
4．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那
么这个算式中的差最大是多少？
5．有的偶数可以写成两个奇合数之和，例如24 =9 +15，100= 25+75.所有不能表示为两个奇合数之和的偶数
中，最大的一个是多少？
6．如图16-7，有一个圆锥形沙堆的底面直径BC为2厘米，母线AC的长度为6厘米．请问：
(1)如果一只蚂蚁想从B点去C点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线(蚂蚁只能在圆锥表面走）；
(2)如果一只蚂蚁需要由曰点出发到达线段AC上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？关
7．如图16-8，一个边长为10的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所
得的长方体容积最大是多少？
8．一个5×5的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列．已知
任取n个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填完整，那么，n的最小值是多少？
第 17 讲应用题综合二
内容概述
各种具有较强综合性的复杂应用题．包含多种可能情况，需要进行分类讨论的问题；需要进行合理守排
对策，以达到最佳效果的问题．
典型问题
兴趣篇
1．有一批砖，每块砖的长和宽都是自然数，且长比宽长12厘米．如图17-1，若把这批砖横着铺，则可铺897
厘米长；如图17-2，若竖横相间铺，则可铺657厘米长，请问：如图17-3这样铺，可铺多少厘米长？
2．一种商品的定价为整数元，100元最多能买3件，甲、乙两人各带了若干张百元钞票，甲带的钱最多能买7
件这种商品，乙带的钱最多能买14件，两人的钱凑在一起就能多买1件，求这件商品的定价．
3．小明要写152页字，小强要写150页字．从暑假第一天起，小明一天写3页，天天写；小强第一天写4页，
但是隔一天写一次，请问：第多少天写完字后，小强没写的页数是小明没写的页数的2倍？
4．现有甲、乙、丙三种食盐水各200克，浓度依次为42%、36%、30%，现在要配制浓度是34%的食盐水420
克，至少要取甲种食盐水多少克？
5．要生产某种产品100吨，需用A种原料200吨，或B种原料200.5吨，或C种原料195.5吨，或D种原料
192吨，或E种原料180吨．现知用A种原料及另外一种（指B、C、D、E中的一种）原料共19吨生产此种产
品10吨．试分析所用另外一种原料是哪一种，这两种原料各用了多少吨？
6．某城出租车的计价方式为：起步价是3千米8元，之后每增加2千米（不足2千米按2千米计算）增加3元．
现从甲地到乙地乘出租车共支出车费44元；如果从甲地到乙地先步行900米，然后再乘出租车只要41元，
那么从甲、乙两地的中点乘出租车到乙地需支付多少钱？
7．现有21块巧克力，A、B、C、D、E五个人轮流把这些巧克力吃光了，但不知道他们吃的先后顺序．A说：
“我吃了剩下巧克力数量的三分之二．”B说：“我吃了剩下巧克力数量的一半，”说：“我吃了剩下巧克
力数量的一半．”D说：“我吃光了剩下的巧克力，”E说：“我们每人吃的数量互不相同．”已知每人吃的
数量都是正整数，请问：E吃了多少块巧克力？
8．已知A、B、C、D、E、F六人分别看了5、5、6、8、8、10场演出．每场演出票价不变，成人票的票价是儿童票关
的2倍，且均为整数元．已知这六人买演出票共支出了1026元，求成人票单价．
9．甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天生产裤子，共生产448套衣服
（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产720套衣服．现两厂合并后，
100天最多可以生产多少套衣服？
10．如图17-4，圆形湖泊周长1200米，除了A点和B之外，每隔100米就有一只蜜蜂，一共十只蜜蜂．它们
按照顺时针的方向飞行，各个蜜蜂的速度均标在了图上，单位是“米／秒”，小偷从A点出发沿湖顺时针逃
到位于B点的家中，只要被沿途的蜜蜂碰到，小偷就会被蜇一下．请问：小偷最少会被几只蜜蜂蜇到？
拓展篇
1．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9、17、24、28、30、31、33、44块．甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁
三人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？
2．商店进了一批同样规格的袜子甩卖，为了避免找零，按40%的利润先定价，实际上收取高于“定价×双
数”的最小整数元．结果买2双袜子需要5元，3双袜子需要8元，5双袜子需要12元，已知每双袜子的成本
和利润都是整数分，求每双袜子的成本．
3．甲站有车26辆，乙站有30辆．从上午8点开始，每隔5分钟由甲站向乙站开出一辆车，每隔7.5分钟由乙
站向甲站开出一辆车，都经过1小时到达对方车站，问：最早在什么时刻，乙站车辆数是甲站的3倍？总共
持续多长时间？
4．有4种颜色的卡片每种各3张，每张卡片上写有一个正整数，相同颜色的卡片上写有相同的数，不同颜色
的卡片上写有不同的数．把这些卡片发给6个人，每人得到2张不同色的卡片，将上面的数相加，得到了6
个和：88、121、129、143、154、187.但是，其中有一个人算错了．请从小到大依次写出四种颜色卡片上所写的
数，请写出所有可能．
5．生产某种产品100吨，需用A原料250吨，或B原料300吨，或C原料225吨，或D原料240吨，或E原料
200吨．现知用了A原料和另外两种原料共15吨生产该产品7吨，每种原料都用了至少1吨，且某种原料占
了原料总量的一半，那么另两种原料是什么？分别用了多少吨？
6．北京九章书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至499.99元者（包含200元）优惠5%．每次买书
500元以上者（包含500元）优惠10%．某顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二次合并一起买，比分开
买便宜13.5元；如果三次合并一起买比三次分开买便宜39.4元．已经知道第一次的书价是第三次书价的 ．
问：这位顾客第二次买了多少钱的书？
7．甲、乙两人同时从A地出发，以相同的速度向B地前进，甲每行5分钟休息2分钟，乙每行210米休息3
分钟，甲出发后50分钟到达B地，乙到达B地比甲迟了10分钟．已知两人最后一次的休息地点相距70米，
求两人的速度．关
8．货运公司要用若干辆最大载重2.1吨的汽车一次性搬运总重18.6吨的货物．为方便搬运，公司把这18.6
吨货物包装成若干箱，每箱重量相同．由于包装规格所限，每箱的重量不能超过320千克，且包装好后，货物
只能整箱搬运，不得拆箱．请问：要保证一定能一次搬运所有货物，至少需要多少辆汽车？此时每箱货物重
量为多少千克？
9．某车间有30名工人，计划要加工A、B两种零件，这些工人按技术水平分成甲、乙、丙三类人员，其中甲类
人员有6人，乙类有16人，丙类有8人．各类人员每人每天加工两种零件的个数如表17-1所示．如果要求加
工A、B两种零件各3000个，那么最少要用几天？
10．有三个一样大的桶，一个装有浓度为60%的酒精100升，一个装有水100升，还有一个桶是空的．现在要
配置浓度为36%的酒精，只有5升和3升的空桶各一个可以作为量具，并且桶上无其他刻度．如果倒溶液的
时候最多只允许往每个量具里倒4次，那么最多能配置出浓度为36%的酒精多少升？
11．一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙三人从同一地点同时出发，每人环行2周．现有自行车两辆，乙
和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度都是每
小时5千米，乙和丙步行的速度都是每小时4千米，三人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走
法，使三个人两辆车同时到达终点，环行2周最少要用多少分钟？
12．幼儿园分大、中、小三个班，小班人数最少，大班比小班多61人，中班共27人．把25筐苹果分给他们，每
筐苹果在50至60之间不等．已知苹果总数的个位数字是7，若每人分得19个，则苹果不够；若大班比中班
每人多1个，中班比小班每人多一个，则苹果刚好分完．那么按第二种分法，大班每人分得几个苹果？小班
有多少人？
超越篇
1．如图17-5所示，在直角三角形ABC中，AC长3厘米，CB长4厘米，AB长5厘米．有一只小虫从C点出
发，沿CB以l厘米／秒的速度向B爬行；同时，另一只小虫从B点出发，沿BA以1厘米／秒的速度向A爬
行，请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D、E与B组成的三角形DBE是等腰三角形？（请写出所有答
案）
2．七个人围坐在圆桌周围，在每个人面前都有一个牛奶杯．第一个人把自己的牛奶都平均分到其余的杯子
中去，接着第二个人照样做一遍，然后第三个人到第七个人也同样做一遍．最后发现每个杯子中的牛奶都和
最开始时一样多．如果所有杯子的牛奶共有7升，那么第一个人到第七个人的杯子里开始时分别有牛奶多
少升？关
3．甲、乙两人切蛋糕，两人轮流切，每人切走了五块．已知：①甲切了5次蛋糕，每次切走的蛋糕恰是切蛋糕
时蛋糕大小的 、 、 、 和 各1次，但不全对应切蛋糕顺序；②乙切了5次蛋糕，每次切走的蛋糕恰是
切蛋糕时蛋糕大小的 、 、 、 和 各1次，也是不全对应切蛋糕顺序；③切的最大的两块都是原来蛋糕
的 ，另外还有一块大小是原来蛋糕的 ．求切的第八块蛋糕与原来蛋糕的大小之比．
4．师徒两人共同组装50台机器，每台机器组装必须经过A、B两道工序．对于每台机器，师傅操作A工序需
要15分钟，操作B工序需要5分钟；徒弟操作A工序需要45分钟，操作启工序需要20分钟，每台机器每道
工序只能由一人完成，不同工序可以由不同人分别完成，但必须A先B后．试问：如果两人合作至少要花多
少分钟才能完成工作？
5．甲、乙两人在如图17-6的跑道上练习跑步，两人从A点同时出发，甲在A、E之间做折返跑（转身时间不
计），乙则沿着正方形跑道ABCD顺时针跑步，已知AB=BE=100米，且两人跑步的速度都在每秒3米到每
秒8米之间．如果两人出发2分钟后第一次相遇，之后隔了15秒后两人第二次相遇，那么两人第二次相遇
处距离A多远？
6．某电器商场开展促销活动，每次消费超过1500元不足3000元者（含1500元）优惠5%，超过3000元者
（含3000元）优惠10%．甲、乙、丙三个人各买了一件电器，如果甲、乙一起结算，比分开结算便宜130元；如
果甲、丙一起结算，比分开结算便宜260元；如果三人一起结算，比三人分开结算便宜405元．请问：三人购
买的电器价格分别是多少？
7．某商场进行酬宾，规定现金消费每满50元返回10元礼券，多出不足50元部分不计（比如消费99元只能
返回1张10元礼券），用礼券产生的消费不参与返券．妈妈看中了3件商品，分别是100多元、200多元、300
多元，且都是10的倍数，更巧的是，有两件商品的价格之和正好是整百．为了充分利用返券，妈妈打算先买
其中的两件，然后兑换成返券，这样买第三件商品的时候，就可以用上返券了，当然，如果返券不够买第三
件，自己还得再掏一些钱，她合计了一下，这样安排的话，共有三种可能的消费结果：第一种恰好花640元，
礼券也用完了；另外两种情况都要花670元，但最后又返回40元礼券．问：三种商品的价格分别是多少元？
8．学校运来125个桃和若干个梨，分别平分给每位老师，最后剩下一些梨和桃不够分，这时又运来了26个
水果（桃梨若干），和之前剩下的水果凑在一起，再平分给老师，每个老师多分得3个水果（每位老师的桃数
相同，梨数相同）．最后又运来40个水果（桃梨若干），但是发现所剩的桃和梨竞不够每位老师同时多拿一
个，那么第一次分后剩下了多少个梨？
第 18 讲数论综合二
内容概述
综合运用各种知识解决的较复杂教论问题；与二次不定方程、分式不定方程有关的数论问题．关
典型问题
兴趣篇
1．有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数．要使这4个
数的和尽可能小，这4个数应该分别是多少？
2．已知算式（1＋2＋3＋…＋n）+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和．请问：共有多少个满足要
求的自然数n?
3．有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法
至少有4种．所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？
4．甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.满足上述条件的自然数有几组？
5．两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少？
6．n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问：n最小是多少？
7．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智
慧数”，请问：从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？
8．将100! – 5分别除以2，3，4，…，100，可以得到99个余数（余数有可能为0）．这99个余数的和是多少？
9．小悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院，小悦每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿齐每隔6天去一次．
今天他们三人都去电影院，将来会有连续三天都有人去电影院．如果今天是第1天，那么最早出现的具有上
述性质的连续三天是哪三天？
10．有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数．这三个数中最小的一个是多少？
拓展篇
1．有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数．这个正整数是多少？
2．已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998.满足上述条件的数一共有多少组？
3．冬冬往一个水池里扔石子．第一次扔l颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石
子……他准备扔到水池的石子总数是106的倍数．请问：冬冬最少需要扔多少次？
4．数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数．同学们，你
们知道这个数可能是多少吗？
5．在一个正整数的所有约数中，个位数字为0，1，2，…，9的数都出现过，这样的正整数最小是多少？
6．求最小的正整数n，使得2006＋7n是完全平方数。
7．请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列．
8．有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示．这样的自然数中的最大一个是多少？关
9．有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成7个连续自然数
的和．例如：105就满足上述要求，105=19 +20 +21 +22 +23;105=15+16+17+18+19 +20；105=12+13+14+
15+16+17+18.请问：在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数？
10．一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续自然数数列．现在设定指针第一秒转动
的角度为a度（a为小于360的整数），则其第二秒转动a + l度，第三秒转动a + 2度……如果指针在第一圈
内恰好能指回出发位置，那么a一共有几种设定方法？最小可以被设成多少？
11．某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，3，……，12.他们的电话号码依次是12个连续的六位
自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除．已知这些电话的首位数字都小于6，并且门牌号
码是9的这一家的电话号码能被13整除．请问：这一家的电话号码是多少？
12．在等差数列1，8，15，22，29，36，43，…中，如果前n个数乘积的末尾0的个数比前n + l个数乘积的末尾
0的个数少3个，那么n最小是多少？
超越篇
1．有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少2个）的形
式时，恰好有20种方法．这样的正整数最小是多少？（写出质因数分解）
2．有些自然数可以表示成两个合数相乘再加一个合数的形式，例如：33 =4×6 +9.请问：不能表示成这种形
式的自然数最大是多少？
3．在给定的圆周上有100个点．任取一点标上1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，标上2；从标有
2的点再往后数3个点，标上3……依此类推，直至在圆周上标出100.对于圆周上的这些点，有的点可能标
上多个数，有的点可能没有被标数．请问：标有100的那个点上标出的数最小是多少？
4．三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏，小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安．小
安告诉小强和小花，他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上．小安写好后，将其中一张纸藏起来，
把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2008）．小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先
宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数．请问：小花所选的数
是什么？
5．已知三个互不相等的正整数成等差数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？
6．是否存在一个完全平方数，它的每一位上的数字全都相同（至少是两位数）?如果存在，请写出一个；如果
不存在，请说明理由，
7．有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成m等份，再用蓝色刻度线将它分成n等份，m > n．然后按所有
刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不一的小棍，其中最长的小棍恰有100根．求m和n．
8．是否存在这样的自然数：在这个数后面重写一遍这个数，新组成的数是一个完全平方数？如果存在，请举
例；如果不存在，请说明理由．
第 19 讲数字谜综合二关
内容概述
各类综合性较强的复杂数字谜问题．
典型问题
兴趣篇
1．将 表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案，
2．在算式 中，a、b、c分别代表三个不同的自然数，这三个数的和可能是多少？
3．如图19-1，将图中每一行左右相邻的两数相加，再除以12，将所得的余数写在它们下一行相应的圆圈内．
逐行依次进行上面的操作，最后得到最底端的一个数．请问：对于第一行中不同的自然数z，最底端的数一
共有多少种取值，分别是什么？
4．将最小的10个合数填到图19-2的10个空格中，要求满足以下条件：
①填人的数能被它所在列的最上面给出的数整除；②第三行中每个数都比它上面那一格中的数大；
请问：第三行中5个数的和最小等于多少？
5．将l至7这7个自然数填入图19-3中的8个方格内，要求其中有一个数字用两次，其余数字各用一次，并
使图中右下角的4个方格中的每格内所填的数均等于它上方和左方相邻方格内两个数的平均数，请给出一
种填法，并求出共有多少种填法．
6．请将数字1至9分别填入图19-4中的各个圆圈中，使得图中每条线段两个端点中所填的数的差（大减小）
均为3或4．请给出一种填法，并求出共有多少种填法．
7．
在上面4个算式的方框内，分别填上加、减、乘、除4个运算符号，使4个算式的得数之和尽可能大．请
问：这个最大的和等于多少？
8．请用0、l、2、3,4、5、6、7、8、9这10个数字各一次，组成5个自然数，使得它们依次是某个自然数的l、2、3、
4、5倍．
9．在如图19-5所示表格第二行的每个空格内，填人一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中
出现的次数，第二行中的5个数字各是多少？关
10．图19-6中相同字母表示相同数字，不同字母表示不同数字，且 是5的倍数， 是4的倍数，求
的所有可能值．
拓展篇
1．自然数12和60是一对很有趣的数，它们的积12×60= 720，恰好是12 +60 = 72的10倍，满足上述条件
的数对还有哪些，请再举出3对．
2．将 表示成两个自然数的倒数之和，给出所有的答案．
3．求方程 的所有正整数解．
4．将 写成三个自然数（可以相同）的倒数之和，共有多少种方法？
5． 表示一个四位数， 表示一个三位数，A、B、C、D、E、F、G分别代表1至9中不同的数字．已知
＋ =1993.请问：乘积 × 的最大值与最小值相差多少？
6．从1至9中选出8个数字填入算式“口口口口+口口口口= 13579”的方框中，每个数字恰好填一次，使等
式成立，请问：
(1)没有被选出的数字是多少？ (2)两个四位数中较大的数最小是多少？最大是多少？
7．在下面两个算式： =D× ， =D× 中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不
同的数字，求B + D + F的值．
8．小明按照下列算式：
乙组的数□甲组的数○1=
对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号，他将计算结果填入图19-7
的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的，请你改正．请问：改正后的两个数的和是多少？
9．如图19-8，请在这个3×6方格表的每个空格中填人一个整数，使得对于第一行中的每个数，它在第二行
中出现的次数恰好等于该列第三行所填的数，而它在第三行中出现的次数又恰好等于该列第二行所填的数．
（例如第二行第一列中的3，表示第三行中有3个0．）关
10．在图19-9所示的3×3方格表中，“北、京、巨、人、学、校、欢、迎、你”这9个汉字分别表示1至9中的
不同数字，并满足：①每一个“田”字形内4个数之和都相等；②北2=迎2+你2；③学>校．
请问：“北京巨人学校欢迎你”所代表的九位数是多少？
11．将1至9填入图19-10的圆圈内，使图中所有三角形（共7个）的3个顶点上数字之和都相等．
12．图19-11中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形，现在先把1、2、3、4分别填在大正方形的4个顶
点上，再把l、2、3、4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1、2、3、4分别填在小正方形的4个顶点上，请
问：
(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．
(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．
超越篇
1．请在算式“ ”的每个方框中填入一个数字，使其成为等式，请写出所有的可能。
2．在图19-12的算式中填入0至9各一次，使算式成立．算式结果的四位数最小可能是多少，最大可能是多
少？
3．在图19-13所示的除法竖式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数．问被除数是多少？
4．图19-14中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．
求这个相等的和以及标有术的圆圈中所填的数．
5．将1至12这12个自然数填人图19-15的“灯笼”中，使得四个椭圆和两条竖线上的各数之和均相等．这
个和数最大是多少？请给出一种填法．关
6．在图19-16的五个圆圈内各填人一个正整数（可以填相同的数），使得图中八个三角形的顶点数字之和互
不相同．满足这个条件的自然数有很多组，求使得所填五个数之和最小的一组．
7．图19-17中共有9条直线，每条直线上有3个圆圈．现将1至9填人图中的圆圈内，能否找到满足下列要
求之一的填法？如果能，请给出具体填法；如果不能，请说明理由．
(1)使得每条直线上3个圆圈内所填数之和都相等；
(2)使得其中有8条直线上3个圆圈内所填数之和相等．
8．(1)请将1 -15填人图19-18中左边的15个圆圈中，使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与其肩膀上
两个圆圈内的数之差（大数减小数），其中数字11已填好．
(2)能否将1 -21这21个自然数分别填入图19-18中右边的各个圆圈里，使得除了第一行以外，每个圆圈内韵
数都等于其肩膀上两个圆圈内的数之差（大数减小数）?如果能，请给出一种填法；如果不能，请说明理由。
第 20 讲计数综合四
内容概述
了解对应的思想，维够建立起一类对象与另一类对象之间的对应关系，并通过对后者的计数得到前者
的答案；需要考虑对称性的各种复杂计数问题，解题时要注意旋转和翻转对结果的影响．
典型问题
兴趣篇
1．在8×8的方格表中，取出一个如图20-1所示的由3个小方格组成的“L”形，
共有多少种不同的取法？
2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃
法？关
3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：比
赛过程一共有多少种不同的方式？
4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？
5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少
种安排播出的方法？
6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不
应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？
7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的
两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？
8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？
9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节
不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？
10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可
选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）
拓展篇
1．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图20-2所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？
2．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图20.3）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，
然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多
少种不同的顺序？
3．(1)一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共
有多少种可能的跳法？(2)如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，
每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
4．如图20-4所示，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出5个三角
形；如图20.5所示，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条
直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？
5．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没
有分到苹果，共有多少种分法？关
6．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？
7．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反
对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果
是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？
8．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？
9．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请
问：共有多少种选菜方案？
10．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成
一圈呢？
11．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体
经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）
12．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如
果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？
超越篇
1．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个
圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一
共可以生产多少种不同的圆环？
2．对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记
首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136 可以进行两次操作：
245136→425136→125436.请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？
3．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色
的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？
4．有8个队参加比赛，采用如图20-6所示的淘汰制方式．问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的
比赛安排表？
5．平面上8个点构成一个凸八边形，将这8个点中任意2个点之间连接一条线段，已知任意3条线段都没有
交于一点，请问：(1)八边形内共连接了多少条线段？(2)这些线段在八边形内共有多少个交点？
(3)所形成的图形中最多可以数出多少个三角形7
6．动物园的门票5元l张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有5元的钞票，
另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零
钱？关
7．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信
来打．有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信，……，7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘书告诉同
事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：
(1)如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？
(2)如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？
8．(1)将8个黑球和20个白球排成一圈，每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有多少种？
(2)8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之问至少有2名男生．有多少种不同的站法？（经过旋转
后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示．）
第 21 讲构造论证二
内容概述
各种需要构造具体实例或给出严格论证的组合问题．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析、染
色分析和不等式估计等．
典型问题
兴趣篇
1．如图21-1所示，在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格．现在已经建了
两个哨所．请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。
2．(1)把1，2，3，…，8，9按合适的顺序填在图21-2第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数．
(2)能否将1，2，3，…，10，1 1按合适的顺序填在图21-3第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平
方数？
3．今有长度为1，2，3，…，198，199的金属杆各一根．请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，
把它们焊接成：(1)一个正方体框架；(2)一个长方体框架？
4．老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是1分或者2分，数
学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分．如果一位同学的三门功课成绩都不低于
另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀．测验完成后老师发现这六位同学谁也不比
别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？
5．把图21-4中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数?关
6．(1)能否在4×4的方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，15，16，使得从每行中都可以选择若干个数，
这些数的和等于该行中其余各数之和？(2)能否在5×5方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，24，25，
使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？
7．图21-5是把一张6×6的方格纸去掉两个角所得的图形．
(1)请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个1×2小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个红格
和1个蓝格；
(2)能否用1×2的小长方形恰好拼满这张表格？
8．全班25名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座．在儿童节每
一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物，使得每一位同学都刚好收
到一份礼物呢？
9．将一个4×4的方格表分为如图21-6的5块区域，在其中填人16个互不相同的正整数，使得每一块区域
中所填数的和都相等．这16个数的总和最小是多少？
10．能否将1，2，3，…，9，10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于167能否使得任意相邻三个数之
和都不大于15 7
拓展篇
1．有7个不为0的自然数，它们的和正好等于它们的积．请写出一组满足要求的数．
2．如图21-7，平面上有5个点，它们之间可以连10条线段，请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没
有以这5个点为顶点的三角形？
3．如图21-8，一个幸运转盘分成内圆和外环两部分，并且被五条半径平均分割开．其中内圆是固定的，外环
可以转动，但转动后必须使得分割线重新组成半径．请把0至9这10个数字分别填入图中的10个区域，使
得不管外环怎么转动，总有大圆的一个扇形的两部分所填数字的和为9．
4．平面上6条直线，它们的交点称为“结点”，每条直线上“结点”的个数称为这条直线的“标志数”，图关
21-9中的3条直线的“标志数”都等于2，只有一种取值；图21-10中的3条直线的“标志数”却有两种取
值．现在请你用直尺画出6条直线，使得它们中间任何3条直线都不共点，且相应的6个“标志数”至少取
3个不同的数值．
5．(1)能否将1至8这8个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？
(2)能否将l至8这8个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？
6．一本故事书有10篇故事，这些故事占的篇幅从1页到10页各不相同，如果从书的第1页开始印第一个故
事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？
7．在4×4的方格表中至少应该去掉多少个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图21-11所示的“L型”？
8．黑板上写着3个数8、18、28，老师现在请一些同学上黑板对这3个数进行操作．进行一次操作是指：把3
个数进行如下变化，或者减1，或者加2．请问：能否经过若干次操作后得到6、7、87能否经过若干次操作后
得到8、8、87
9．有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（各次这个数目可以改变），也可以由一堆中
取一半石子放人另外任一堆石子中．请问：
(1)如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？
(2)如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？
如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由．
10．(1)能否将l至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？
(2)能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？
11．(1)能否用16个如图21-12所示的“T型”拼成一个8×8的棋盘？
(2)能否用8个如图21-12所示的“T型”和8个如图21-13所示的“L型”拼成一个8×8的棋盘？
(3)能否用1个如图21-12所示的“T型”和15个如图21-13所示的“L型”拼成一个8×8的棋盘？
12．(1)能否用9个如图21-14所示的1×4的长方形拼成一个6×6的棋盘？
(2)能否用9个如图21-15所示的“L型”拼成一个6×6的棋盘？关
超越篇
1．能否可以用77个3×3×1的长方体小木块装满一个7×9×11的长方体匣子（匣内不留任何空隙）?若能，请
给出具体装法；若不能，请说明理由．
2．黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b + a + b这个数，比如：
可增写5（因为1×2 + 1 + 2 = 5）；可增写11(因为1×5 + l + 5 = 11)．一直写下去，请问：能否得到下面两个数？
若能，请你写出得出的过程；若不能，请说明理由． (1) 143； (2) 144.
3．将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一．证明：无论怎样染色，都一定存在长为1的线段，它的两个
端点是同样颜色的．
4．在6×6的方格表中至少需要放多少个棋子，才能保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有
棋子？（角上单独一个格子也可以组成一条与对角线平行的直线，图21-16中阴影部分的三个格子组成的直
线也是与对角线平行的直线．）
5．(1)能否从图21-17中的A格出发，每次走到相邻的小格子，最后走到B格，并且每个格子都刚好到一次？
(2)中国象棋的马是走“日”字型路线．如图21-18，如果马在A点，那么它能跳到B、C、D、E四点之一．如
果马开始在A点，它能否跳3步后回到A点；能否跳9步后回到A点？
6．如图21-19，用若干个1×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少
要用小长方形共多少个？
7．六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外几位音乐家就作为
观众欣赏演出．要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，这样的音乐会至少要安
排几场？为什么？关
8．把11×11的方格纸分成若干张3×3、2×2或1×1的小纸片，最少能分成多少张？
第 22 讲数论综合三
内容概述
需要运用代数来处理的复杂数论问题；数论证明题。
典型问题
兴趣篇
1．(1)求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数．
(2)求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数．
2．已知n!＋3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．(n! =1 ×2×3×…×n)
3．一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7．如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一
个完全平方数．求原来的四位数．
4．请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除．
5．在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个
三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：所有满足条件的两位数之和是多少？
6．用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个
三位数应该分别是多少？
7．一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小值．
8．有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整
除．满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？
9．小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的
小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？
10．对于一个自然数N，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的
新数都不能被N+1整除．那么在1至2008这2008个自然数中有多少个“破坏数”？
拓展篇
1．(1)求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20；
(2)求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是04；
(3)求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20，后两位是04.
2．已知n!＋4等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n的值．（n! =1 ×2× 3×…×n）
3．找出三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，但是两两均不互质．请写出所有可能的情况．关
4．三个两位奇数，它们的最大公约数是l，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数．求所
有满足要求的情况．
5.1×4×7×lO×…×2008的末尾有多少个连续的零？
6．一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数．如果它后两位数
字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？
7．任意一些末两位数是25的数相乘，它们的乘积末两位数仍是25，我们就称25是“变不掉的两位数尾
巴”．显然000是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”．
8．在3和5之间插入6、30、20三个数，可以得到3、6、30、20、5这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以
整除它们的乘积．请你在4与3之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的
乘积．
9．M、N是互为反序的两个三位数，且M > N．请问：
(1)如果M和N的最大公约数是7，求M； (2)如果M和N的最大公约数是21，求M．
10．用l、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是
多少？
11．请将l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有
数之和的约数．
12．一根红色的长线，将它对折，再对折，……，经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色
的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线．已知红色短
线比白色短线多．m且它们的数量之和是100的倍数．请问：红色短线至少有多少条？
超越篇
1．求出所有正整数n，使得25 + n能整除25 ×n.
2．一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数．
3．一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大
公约数是63，则原四位数可能是多少？
4．一个不超过200的自然数，如裂川四进制表示，那么它的数字和是5；如果用六进制表示，那么它的数字
和是8；如果用八进制表示，那么它的数字和是9．如果用十进制表示，这个数是多少？
5．把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的
一半整除．这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？
6．用l、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数，你能否从这120个数里面找出11个数来，使得它们除以11
的余数互不相同？如果五个数字是1、3、4、6、8呢？关
7．用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B．请问：A、B、630这三个数的最大公约数最大
可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？
8．我们将具有如下性质的自然数K称为“巨人数”：如果一个整数M能被K整除，则把M的各位数字按
相反顺序重写时所得的数也能被K整除，请求出所有的“巨人数”。
第 23 讲概率初步
内容概述
理解概率的含义；利用各种计数方法计算概率问题。
典型问题
兴趣篇
1．在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）．
请填出表23-1，并根据此表画出扇形统计图．
2．在一只口袋里装着2个红球，3个黄球和4个黑球．从口袋中任取一个球，请问：
(1)这个球是红球的概率有多少？
(2)这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？
(3)这个球是绿球的概率有多少？不是绿球的概率又有多少？
3．一只普通的骰子有6个面，分别写有1、2、3、4、5、6．掷出这枚骰子，它的任何一面朝上的概率都是 ．假
设你将某一个骰子连续投掷了9次，每次的结果都是l点朝上，那么第十次投掷后，朝上的面上的点数恰好
是奇数的概率是多少？
4．冬冬与阿奇做游戏：由冬冬抛出3枚硬币，如果抛出的结果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝上，冬冬
就获胜；否则阿奇获胜．请问：这个游戏公平吗？
5．有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张，请问：这2张扑克牌
花色相同的概率是多少？关
6．小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一个数，冬冬从2、3、4、5、6、7这、6个自然数中任选一个数．选
出的两个数中，恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少？
7．一只口袋里装有5个黑球和3个白球，另一只口袋里装有4个黑球和4个白球，从两只口袋里各取出一个
球．请问：取出的两个球颜色相同的概率是多少？
8．阿奇一次掷出了8枚硬币，结果恰有4枚硬币正面朝上的概率是多少？有超过4枚的硬币正面朝上的概
率是多少？
9．在一次军事演习中，进攻方决定对目标进行两次炮击．第一炮命中的概率是0.6，第二炮命中的概率是
0.8．请问：两炮都击中目标的概率是多少？恰好有__炮击中目标的概率是多少？两炮都未击中目标的概率
是多少？
10．张先生每天早晨上班时有 的概率碰上堵车，在不堵车的时候，张先生按时到达单位的概率为0.9，迟到
的概率为0.1；而堵车的时候，张先生上班迟到的概率高达0.8，按时到达的概率只有0.2．请问：张先生上班
迟到的概率是多少？
拓展篇
1．下面是育才小学六年级二班48名同学的身高测量记录（单位：厘米）
请根据上面数据，填出表23—2，并根据此表画出扇形统计图．
2．口袋里装着100张卡片，分别写着l，2，3，…，100.从中任意抽出一张，请问：
(1)抽出的卡片上的数正好是37的概率是多少？
(2)抽出的卜片上的数是偶数的概率是多少？关
(3)抽出的卡片上的数是质数的概率是多少？
(4)抽出的卡片上的数正好是101的概率是多少？
(5)抽出的卡片上的数小于200的概率是多少？
3．在标准英文字典中，由2个不同字母组成的单词一共有55个，如果从26个字母中任取2个不同的排列起
来，那么恰好能排成一个单词的概率是多少？
4．妈妈去家乐福购物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价，于是她决定从这4种水果中任选一种买
回家，爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售，他也决定任选一种买回家．请问：
他们买了不同的水果的概率是多少？
5．小悦掷出了2枚骰子，掷出的2个数字之和恰好等于10的概率有多少？
6．盒子里装着20支圆珠笔，其中有5支红色的，7支蓝色的和8支黑色的，从中随意抽出4支，每种颜色的
笔都被抽出的概率是多少？
7．如图23-1，格线表示了允许小球滑落的通道．每一个小球在交点处有一半的可能向左滑落，有一半的可能
向右滑落，从A点放一个小球让其落下．请问：小球最终落到B点的概率是多少？
8．6名小朋友在操场上做游戏．他们被老师分成3组，每组2个人．请问：赵倩和孙莉恰好分到了同一组的
概率是多少？
9．某工厂生产了200件商品，合格率为99%，那么从中抽取1件恰好是次品的概率为1%．请问：从中抽查5
件，发现次品的概率比5%大还是比5%小？
10．用一枚材料不均匀的正方体骰子，掷出1的概率为0.1，掷出2的概率为0.2，掷出3的概率为0.2，掷出4
的概率为0.1，掷出5的概率为0.3，掷出6的概率为0.1．请问：
(1)如果连续9次掷出l，第10次掷出的点数是3的倍数的概率是多少？
(2)连续掷两次骰子，第一次掷出3，第二次掷出4的概率是多少？
(3)如果又拿来一枚这样的骰子，并同时掷出这两枚骰子．这两枚掷出的点数不同的概率是多少？
11．(1)口袋里装有3张卡片，一张一面红一面黄，一张一面黄一面蓝，一张一面蓝一面红．张莉从口袋中随
意摸出其中一张，发现朝向自己的一面恰好是红色．请问：此时这张卡片的另一面是蓝色的概率是多少？
(2)口袋里装有4张卡片，两张两面全黑，一张两面全白，一张一面黑一面白．张莉从口袋中摸出其中一张，
发现朝向自己的一面恰好是黑色．请问：此时这张卡片的另一面还是黑色的概率是多少？
12.甲、乙两人在靶场射击．甲击中目标的概率是0.6，乙击中目标的概率是0.7．两人朝着同一个目标各射击
一次，结果目标被击中了．请问：恰好是甲击中目标而乙没有击中的概率是多少？关
超越篇
1．小悦与阿奇比赛下军旗，两人水平相当，两人约定赛7局，先赢4局者胜．现在已经比了3局，小悦胜了2
局，阿奇胜了1局．请问：小悦获得最后胜利的概率有多少？
2．六年级三班有40名学生．这40名同学中有2人（含多人）的生日相同的概率，和这40人生日都不相同的
概率比较，哪个大？
3．甲、乙、丙、丁四人玩扑克，发牌以后每人拿到13张牌（整副牌共52张）．结果甲、乙两人共拿了11张黑
桃．请问：丙、丁两人恰好每人拿到1张黑桃的概率是多少？有一人拿到2张黑桃，另一人没有拿到黑桃的
概率又是多少？
4．用血清甲胎蛋白法诊断肝癌：如果患者患有肝癌，那么诊断出肝癌的概率为0.95；如果患者没有患肝癌，
那么诊断出不是肝癌的概率为0.9．假设人群中肝癌患病率为0.0004.现在李强在体检中被诊断为患有肝癌，
请问：他实际患有肝癌的概率是多少？（结果保留3位小数）
5．如图23-2，这是一张街道图，每一小段路的长度都是500米．小悦从A点出发，任选一条最短路线走向B
点，冬冬从B点出发，任选一条最短路线走向A点，小悦每分钟走18米，冬冬每分钟走24米．他们两人在途
中相遇的概率是多少？
6．某男子练射击，在有戴眼镜的情况命中率为20%，没戴眼镜则命中率为0%．其在连续射击5次后都未命
中目标，求其戴了眼镜的概率．
7．如图23—3，格线表示了允许小球滑落的通道．每一个小球在交点处有 的可能向左滑落，只有 的可能
向右滑落，如果从A点放一个小球让其落下，那么小球最终落到B点的概率有多大？
8．飞机上有100个座位，按顺序从1到100编号，有100个乘客，他们分别拿到了从1号到100号的座位，这
些乘客会按号码顺序登机并应当对号入座，如果他们发现对应号座位被别人坐了，就会在剩下空的座位随
便挑一个坐．现在假设l号乘客疯了（其他人没疯），他会在100个座位中随便选一个座位坐下．请问：第100
人正确坐到自己坐位的概率是多少？
