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2.2 二次函数的图象与性质
第 3 课时 二次函数 y=a(x-h)2的图象与性质
1．掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2(a≠0)图象之间的联系；(重点)
2．能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点)
一、情境导入
二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象可以由y＝ax2(a≠0)的图象平移得到：
当c>0时，向上平移c个单位长度；
当c<0时，向下平移－c个单位长度．
问题：函数y＝ (x－2)2的图象，能否也可以由函数y＝ x2平移得到？本节课我们就一
起讨论．
二、合作探究
探究点：二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
【类型一】 二次函数 y ＝ a ( x － h ) 2 的图象
顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－x2的图象相同的抛物线的解析式
为( )
A．y＝(x－2)2 B．y＝(x＋2)2
C．y＝－(x＋2)2 D．y＝－(x－2)2
解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x－h)2(a≠0)，
而二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝－x2的图象相同，所以a＝－，而抛物线的顶点为(－
2，0)，所以h＝2，把a＝－，h＝2代入y＝a(x－h)2得y＝－(x＋2)2.故选C.
方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全
相同．
【类型二】 二次函数 y ＝ a ( x － h ) 2 的性质
若抛物线y＝3(x＋)2的图象上的三个点，A(－3，y)，B(－1，y)，C(0，y)，则
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y，y，y 的大小关系为________________．
1 2 3
解析：∵抛物线y＝3(x＋)2的对称轴为x＝－，a＝3＞0，∴x＜－时，y随x的增大而减
小；x＞－时，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3，y)，∴点A在抛物线上的对称点
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A′的坐标为(，y)．∵－1＜0＜，∴y＜y＜y.故答案为y＜y＜y.
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方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入
求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．
【类型三】 二次函数 y ＝ a ( x － h ) 2 的图象与 y ＝ a x 2 的图象的关系
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平
移的方法是( )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的
图象．故选C.
方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．
【类型四】 二次函数 y ＝ a ( x － h ) 2 与三角形的综合
如图，已知抛物线y＝(x－2)2的顶点为C，直线y＝2x＋4与抛物线交于A、B两
点，试求S .
△ABC
解析：根据抛物线的解析式，易求得点C的坐标；联立两函数的解析式，可求得A、B
的坐标．画出草图后，发现△ABC的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形
的面积求解．
解：抛物线y＝(x－2)2的顶点C的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得解得所以点
A的坐标为(6，16)，点B的坐标为(0，4)．
如图，过A作AD⊥x轴，垂足为D，则S ＝S －S －S ＝(OB＋AD)·OD
△ABC 梯形ABOD △ACD △BOC
－OC·OB－CD·AD＝(4＋16)×6－×2×4－×4×16＝24.
方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方
程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
【类型五】 二次函数 y ＝ a ( x － h ) 2 的探究性问题
某抛物线是由抛物线y＝－2x2向左平移2个单位得到．
(1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象；
(2)设抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B.
①求线段AB的长及直线AB的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出这样
的点C的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：(1)抛物线y＝－2x2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y＝－2(x＋2)2；
(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A和B点的坐标，然后根据A，B两
点的坐标即可求出直线AB的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．
解：(1)y＝－2(x＋2)2，图略；
(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y＝－2(x＋2)2，可得A点的坐标为(－2，0)，B点
的坐标为(0，－8)．因此在Rt△ABO中，根据勾股定理可得AB＝2.设直线AB的解析式为y
＝kx－8，已知直线AB过A点，则有0＝－2k－8，k＝－4，因此直线AB的解析式为y＝－4x－8；
②本题要分三种情况进行讨论：当AB＝AC时，此时C点的纵坐标的绝对值即为AB
的长，因此C点的坐标为C (－2，2)，C (－2，－2)；当AB＝BC时，B点位于AC的垂直
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平分线上，所以C点的纵坐标为B点的纵坐标的2倍，因此C点的坐标为C (－2，－16)；
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当AC＝BC时，此时C为AB垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B作BD垂直于抛物线
的对称轴于D，那么在直角三角形BDC中，BD＝2(A点横坐标的绝对值)，CD＝8－AC，
而BC＝AC，由此可根据勾股定理求出AC＝，因此这个C点的坐标为C (－2，)．
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综上所述，存在四个点，C (－2，2)，C (－2，－2 )，C (－2，－16)，C (－2，－)．
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方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及
分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．
三、板书设计
二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
1．二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
2．二次函数y＝a(x－h)2的图象与y＝ax2的图象的关系
3．二次函数y＝a(x－h)2的图象的应用
本节课采用启发式、讨论式结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学
生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和
解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从
真正意义上完成对知识的自我建构. 另外，在教学过程中，采用多媒体辅助教学，直观呈
现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率.
