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第 03 讲 类比归纳专题：求平行直角坐标系中的图形面积(3 类
热点题型讲练)
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【类型一 直接利用面积公式求图形的面积】................................................................................................1
【类型二 利用补形法或分割法求图形的面积】............................................................................................1
【类型三 与图形面积相关的点的存在性问题】............................................................................................1
【类型一 直接利用面积公式求图形的面积】
例题：（2023春·吉林松原·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 ，
，且 ， 满足 ，点 的坐标为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求 的面积．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得 ， 的值；
（2）根据 ， 的值可以确定点 、 的坐标，进而求得 ， 的距离，即可求得 的面积．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，∴ ， ，
（2）解：∵ ， ，
∴点 ，点 ，
又∵点 ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关
键是：根据绝对值、算术平方根的非负性求出 ， 的值．
【变式训练】
1．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）在直角坐标系中，三角形 的顶点 ， ，
．
(1)求三角形 的面积．
(2)若P是x轴上一动点，若三角形 的面积等于三角形 面积的一半，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）过点B作 轴于点H，由 得到 ，由 及 得到 ，利用
三角形面积公式即可得到三角形 的面积；
（2）设点P的坐标为 ，则 ，根据题意得到 ，解得 或
，即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：过点B作 轴于点H，∵ ，
∴ ，
∵三角形 的顶点 ， ．
∴ ，
∴三角形 的面积 ，
即三角形 的面积为 ；
（2）设点P的坐标为 ，
则 ，
∵三角形 的面积等于三角形 面积的一半，
∴ ，
解得 或 ，
∴点P的坐标为 或 ．
【点睛】此题主要考查了图形与坐标、绝对值方程、三角形面积公式等知识，数形结合和准确计算是解题
的关键．
2．（2023春·河南商丘·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形 的边 在 轴上，且
，顶点 的坐标为 ，顶点 的坐标为 ．
(1)画出所有符合条件的三角形 ，并写出点 的坐标；(2)求三角形 的面积．
【答案】(1)点 或 ，图见解析；
(2)
【分析】（1）根据题意设点 ，再根据数轴上两点之间的距离公式即可解答；
（2）根据点 的纵坐标为 ， 即可解答．
【详解】（1）解：∵三角形 的边 在 轴上
∴设点 ，
∵ ，顶点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 或 ，
∵顶点 的坐标为 ，
∴ 如图所示：
（2）解：∵顶点 的坐标为 ，
∴点 的纵坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
即 的面积为 ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，数轴上两点之间的距离公式，利用网格求三角形的
面积，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．3．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）如图在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，
其中a、b满足 ．
(1)求a、b的值；
(2)求 的面积；
(3)在x轴上求一点P，使得 的面积与 的面积相等．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可；
（2）由（1）可知点A、B的坐标，从而可求出 ，再根据三角形的面积公式计算即可；
（3）设 ，则 ，根据三角形的面积公式可求出 ，结合题意可列出关于x的
等式，解出x的值即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设 ，
∴ ，
∴ ．
∵ 的面积与 的面积相等，
∴ ，解得： 或 ，
∴点P的坐标为 或 ．
当点P的坐标为 时点B与点P重合，
∴点P的坐标为 ．
【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，绝对值方程的应用等知识．掌握绝对值和平方的非负性，
利用数形结合的思想是解题关键．
4．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，
， ．
(1)求三角形 的面积；
(2)设点 是 轴上一点，若 ，试求点 坐标；
(3)若点 在线段 上，求用含 的式子表示 ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可；
（2）根据三角形的面积公式和坐标特点得出方程解答即可；
（3）根据 ，进行计算即可解答．
【详解】（1）解： ， ， ，
， ，
；
（2）解：设点 是 轴上一点，坐标为 ，， ，
，
，
即 ，
解得： 或 ，
或 ；
（3）解：如图，连接 ，
，
， ，
， ，
，
， ，
，
点 在第三象限，
， ，
，
整理得： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
【类型二 利用补形法或分割法求图形的面积】
例题：（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）如图，已知点 ， ， ，求三角形
的面积．【答案】18
【分析】方法一：如图，作长方形 ，由 可得答案；
方法二：如图，过点B作 轴，并分别过点A和点C作 的垂线，垂足分别为点E，F，由
可得答案；
方法三：如图，过点A作 轴，并分别过点C和点B作 的垂线，垂足分别为点D，E，由
可得答案．
【详解】解：方法一：如图，作长方形 ，
则
．
方法二：如图，过点B作 轴，并分别过点A和点C作 的垂线，垂足分别为点E，F．
∴ ， ， ， ， ，
∴．
方法三：如图，过点A作 轴，并分别过点C和点B作 的垂线，垂足分别为点D，E．
∴ ， ， ， ， ，
∴
．
【点睛】本题考查的是网格三角形的面积，坐标与图形，熟练的构建与网格三角形面积相关的长方形与梯
形是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·湖北恩施·七年级校联考期中）如图，有一块不规则的四边形地皮 ，各个顶点的坐标分
别为 ， ， ， 图上一个单位长度表示 米 ，求这个四边形 的面积．
【答案】这个四边形 的面积为
【分析】过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图，先计算出相关线段的长，再根据
求解即可
【详解】解：过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图，
， ， ， ，
， ， ， ， ，， ，
．
答：这个四边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，正确得到相关线段的长度、掌握割补法求解的方法是关键．
2．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，每格代表 个单位，三角形的三
个顶点都在格点上．
(1)请写出 ， ， 的坐标．
(2)求出三角形 的面积．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）由图可得点 ， ， 的坐标；
（2）过 各顶点作 轴和 轴的平行线，构成矩形 ，利用矩形面积减去周围三角形面积即可求
的面积．
【详解】（1）解：由图可知： ， ， ；
（2）如图：过 各顶点作 轴和 轴的平行线，构成矩形 ，由图可知 ， ， ，
， ， ， ， ， ，
．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的坐标点，利用网格求三角形面积，本题的关键是正确构造出矩形
，求解三角形面积．
3．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期中）在如图所示的直角坐标系中，多边形 的各顶点的坐
标分别是 ， ，确定这个多边形的面积，你是怎样做的?
【答案】25，见解析
【分析】根据矩形、三角形和梯形面积公式以及
进行计算．
【详解】解：如图所示，多边形 的面积
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，一些不规则图形可以转化为一些易求面积的图形的和或差来计
算．
4．（2020秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中四边形 ．
(1)分别写出点A、B、C、D的坐标；
(2)求这个四边形 的周长；
(3)求这个四边形 的面积．
【答案】(1) ， ， ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A、B、C、D在平面直角坐标系中的位置可直接得出答案；（2）利用勾股定理求出 、 、 的长，然后可得答案；
（3）将四边形 分割成3个直角三角形和1个长方形进行计算即可．
【详解】（1）解：由平面直角坐标系可知： ， ， ， ；
（2）解：∵ ， ， ， ，
∴四边形 的周长 ；
（3）解：如图，点E、F、G均在格点上，
则四边形 的面积
．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，割补法求面积，二次根式的运算，熟练掌握坐标与图形性质
是解题的关键．
【类型三 与图形面积相关的点的存在性问题】
例题：（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，在坐标系中，已知 ， ， ，连
接 交 轴于点 ， ， ．
(1)请直接写出点 ， 的坐标， ______， ______；
(2)如图2， 、 分别表示三角形 、三角形 的面积，点 在 轴上，使 ，点若存在，求 点纵坐标、若不存在，说朋理由；
(3)如图3，若 是 轴上方一点，当三角形 的面积为20时，求出 的值．
【答案】(1) ， ；
(2)存在，12或 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）根据立方根的性质，算术平方根的性质可得a，b的值，即可求解；
（2）设P点纵坐标为 ，然后分两种情况讨论：当 在 上方时，当在 下方时，结合
，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当 在 右侧时，当 在 左侧时，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ；
故答案为： ，
（2）解：存在，
设P点纵坐标为 ．
当 在 上方时， ，
，
， ，
∴ ，解得： ；
当在 下方时， ，
，
，
， ，
∴ ，解得： ．
综上： 点纵坐标为12或 ．
（3）解：当 在 右侧时， ，
过 左 轴于 ，连接 ，∴
，
∵三角形 的面积为20，
∴ ，
；
当 在 左侧时， ，
过 左 轴于 ，连接 ，
，
∵三角形 的面积为20，
∴ ，
；
综上所述， 的值为12或 ．
【点睛】本题主要考查了立方根的性质，算术平方根的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）如图所示， ， ，点 在 轴上，且 ．
(1)求点 的坐标；
(2)求三角形 的面积；
(3)在 轴上是否存在点 ，使以 、 、 三点为顶点的三角形的面积为 ？若存在，请直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 或 ；
(2) ；
(3)存在， 或
【分析】（1）分点 在点 的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点 到轴的距离，然后分两种情况写出点 的坐标即可．
【详解】（1）如图，
当点 在点 的右边时， ，
当点 在点 的左边时， ，
所以 的坐标为 或 ；
（2） 的面积 ，
答： 的面积为 ；
（3）设点 到 轴的距离为 ，
则 ，解得 ，
当点 在 轴正半轴时， ，
当点 在 轴负半轴时， ，
综上所述，点 的坐标为 或
【点睛】本题考查了点的坐标的确定，三角形的面积公式，分类讨论，坐标轴上两点间的距离公式等有关
知识；能求出符合条件的点的坐标是解此题的关键．
2．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，其中 ， 满足 ，点 是第一象
限内的点， ， ．
(1)分别求出点 、 、 的坐标．
(2)如果在第二象限内有一点 ，是否存在点 ，使得 的面积等于 的面积？若存在，请求
出点 的坐标；若不存在，说明理由．
(3)在平面直角坐标系是否存在点 ，使 与 全等，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3) ， 或
【分析】（1）根据 可得 ， ，从而得到 ， ，
再根据 ， 构造全等三角形，即可得到点C的坐标；
（2）根据 三个顶点坐标可求 ，则 ，又因为
，即可求点P 的坐标；（3）根据三角形全等画出符合题意的图形，确定点E，由（1）求点C的坐标的方法可求出点 坐标，点
与点 关于点A对称，点C与点 关于点B对称，即可得到点E的三个坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
过点 作 轴于点 ，则
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在第一象限内，
∴ ．
（2）存在．过点 作 轴于点 ，则∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3） ， 或
理由：如图所示，
当 ，且点 在第一象限时，
由（1）同理得
当 ，且点 在第二象限时，
点 与点 关于点A对称
∴
当 ，且点 在第二象限时，
点C与点 关于点B对称
∴
综上所述， ， 或
故答案为： ， 或
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角坐标系中求三角形的面积以及点之间的对称问题，解
题的关键是熟悉掌握运用全等三角形的性质与判定．
