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2022-2023 学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 11 相似三角形的判定和性质
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022·衢州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于 的
长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径
画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【完整解答】解：由作图可知DE垂直平分AC，GH=GC，
∴AG=CG，AF=CF，故A不符合题意；
∴GF是△ACH的中位线，
∴FG∥AH，
∴AH⊥AC，
∴∠CAH=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=36°，
∴∠AHC=90°-36°=54°，
∵∠HAB=∠AHC-∠B
∴∠HAB=54°-36°=18°，∴∠B=2∠HAB，故B不符合题意；
∵AG=CG，
∴∠C=∠GAC=36°，
∴∠AGB=∠C+∠GAC=72°，
∵∠BAG=180°-2×36°-36°=72°，
∴∠AGB=∠BAG，
∴AB=BG，
∴△ABG是等腰三角形，△ACH是直角三角形，
∴△ABG和△ACH不可能全等，故C不符合题意；
∵∠GCA=∠ACB，∠CAG=∠B，
∴△CAG∽△CBA，
∴ ，
∴CA2=CG·CB，
∵AB=BG=AC，
∴BG2=CG·CB，故D不符合题意；
故答案为：C.
【思路引导】由作图可知DE垂直平分AC，GH=GC，利用垂直平分线的性质可证得AG=CG，AF=CF，可
对A作出判断；易证GF是△ACH的中位线，可得到FG∥AH，由此可求出∠CAH的度数，利用三角形的
内角和定理和等腰三角形的性质求出∠AHC的度数，利用三角形的外角的性质可求出∠HAB的度数，可
对B作出判断；再求出∠AGB和∠BAG的度数，可证得△ABG是等腰三角形，而△ACH是直角三角形，
可对C作出判断；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CAG∽△CBA，利用相似三角形
的对应边成比例及AB=BG=AC，可对D作出判断.
2．（2分）（2022八下·莱芜期末）如图，在 中，AD是BC边上的高，在 的内部，作一个
正方形PQRS，若 ， ，则正方形PQRS的边长为（ ）A． B． C．1 D．
【答案】A
【完整解答】解：如图：记AD与SR的交点为E，设正方形PQRS的边长为x，
∵AD是△ABC的高，四边形PQRS是正方形，
∴ ，AE是△ASR的高， 则AE=AD-ED=2-x，
∴△ASR∽△ABC，
解得： ，
∴正方形PQRS的边长为 ．
故答案为：A．
【思路引导】记AD与SR的交点为E，设正方形PQRS的边长为x，证明△ASR∽△ABC， 可得
，将数据代入可得 ，求出x的值即可。
3．（2分）（2022八下·东营期末）如图，点A在x轴正半轴上，点B在第二象限内，直线AB交y轴于点F， 轴，垂足是C，反比例函数 的图象分别交BC，AB于点 ，E，若
，则△ABC的面积为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
【答案】C
【完整解答】解：∵点D（-4，1）在反比例函数 的图象上，BC⊥x轴，
∴k=-4×1=-4，C（-4，0），
∴ ，OC=4，
过点E作EH⊥x轴于H，则EH∥BC∥y轴，
∴OA：OH：HC=AF：EF：BE，
∵ ，OC=4，
∴OA=OH=HC=2，即AC=6，
∴点E的横坐标为-2，又点E在反比例函数 的图象上，将x=-2代入 得y=2，∴EH=2，
∵EH∥BC，
∴∠AHE=∠ACB，又∠EAH=∠BAC，
∴△AHE∽△ACB，
∴ 即 ，
∴BC=3，
∴△ABC的面积为 ×3×6=9，
故答案为：C.
【思路引导】先求出AC=6，再求出△AHE∽△ACB，最后利用相似三角形的判定与性质求解即可。
4．（2分）（2022八下·莱芜期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，
其中对应点C和F的坐标分别为 ， ，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：由题意可知，点P为位似中心，
， ， ， ，
矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形即
故位似中心P的坐标为 ．
故答案为：B．
【思路引导】证明 可得 ，再将数据代入可得 ，求出PG的长即可。
5．（2分）（2022八下·泰安期末）如图， ， ， ，D为 上一点，且 ，
在 上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与 相似，则 等于（ ）
A． 或 B．10或
C． 或10 D．以上答案都不对
【答案】C
【完整解答】解：∵∠A=∠A，①当 时△ADE∽△ABC，
则 ，
得AE=10；
②当 时△ADE∽△ACB，
则 ，
得 ；
综上分析可知，AE 等于 或10，故C符合题意．
故答案为：C．
【思路引导】分两种情况，再根据相似三角形的性质分别列出等式求解即可。
6．（2分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y
轴上，AB交x轴于点E， 轴，垂足为F．若 ， ．以下结论正确的个数是（ ）① ；②AE平分 ；③点C的坐标为 ；④ ；⑤矩形ABCD的面
积为 ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【完整解答】解：∵AF⊥x轴，
∴∠AFE＝∠BOE＝90°，
∵∠OEB＝∠AEF，
∴△AEF∽△BEO，
∴ ，∠EAF＝∠OBE，
∴BO＝3AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO=BO＝DO，
∴AO＝3AF，∠OBA＝∠OAB，故①正确；
∴∠OAB＝∠EAF，
∴AE平分∠OAF，故②正确；
∵OE＝3，EF＝1，
∴OF＝4，∵OA2−AF2＝OF2，
∴8AF2＝16，
∴ （取正值），
∴点A坐标为 ，
∵点A，点C关于原点对称，
∴点C ，故③正确；
∵ ，OA＝3AF，
∴ ，
∴ ，故④错误；
∵
∴矩形ABCD的面积 ，故⑤正确；
∴正确的个数有4个.
故答案为：C.
【思路引导】利用垂直的定义和对顶角相等，可证得∠AFE＝∠BOE，∠OEB＝∠AEF，可得到
△AEF∽△BEO，利用相似三角形的性质可得到BO＝3AF，∠EAF＝∠OBE，利用矩形的性质可推出AO
＝CO=BO＝DO，可对①作出判断；同时利用等腰三角形的性质可知∠OBA＝∠OAB，可推出∠OAB＝
∠EAF，可对②作出判断；再利用勾股定理求出AF的长，可得到点A的坐标，利用关于原点对称点的坐
标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到点C的坐标，可对③作出判断；利用OA=3AF，可求出BD的长，
可对④作出判断；然后求出BD的长，利用三角形的面积公式求出△ABD的面积，即可求出矩形ABCD的
面积，可对⑤作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数7．（2分）（2022八下·济宁期末）如图，在菱形 中， ， 交BC的延长线
于点E．连接AE交BD于点F，交CD于点G、 于点H，连接CF．有下列结论：① ；
② ；③ ；④ ．其中正确结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【完整解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线BD所在直线是菱形ABCD的对称轴， A与C关于 对称，
， ， 故①符合题意，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， 故②符合题意，
菱形 中， ，
， ， ，设 ，
，
，
Rt 中， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
又 ，
，
，
，
， 故③符合题意，
Rt 中， ，
，Rt 中， ，
，
，
Rt 中， ，
Rt 中， ，
，
，
，
， 故④符合题意，
故正确的为∶ ①②③④．
故答案为：D
【思路引导】由菱形的对称性可得 ， ，即可判断①；证明 ，
可得 ，从而得出 ，即得 ，据此判断②；由菱形的性质可设，可得 ，∠DCE=60°，利用直角三角形的性质可得
，则 ，再证明 ，利用相似三角形的性质可得AF：EF=2：
3，设 ，则 ， ，由 求出 ，则
，从而求出FG：EG的值，即可判断③； 利用直角三角形的性质求出
， ，由 可证 ，利用相似三角形的性质可求
利用直角三角形的性质及勾股定理可求 ，AE= t，根据比例
求出EF，由③结论可求FG的长，从而求出FH：FG的值，即可判断④.
8．（2分）（2022·东营）如图，已知菱形 的边长为2，对角线 相交于点O，点M，N分
别是边 上的动点， ，连接 .以下四个结论正确的是（ ）
① 是等边三角形；② 的最小值是 ；③当 最小时 ；④当时， .
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【完整解答】解：如图：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD， ，OA=OC，
∵ ，
∴ ， 与 为等边三角形，
又 ，
，
∴ ，
在 与 中
{∠CAM=∠DAN
AC=AC
∠ACM=∠ADN
∴ ，
∴AM=AN，
即 为等边三角形，
故①符合题意；
∵ ，
当MN最小值时，即AM为最小值，当 时，AM值最小，
∵ ，
∴即 ，
故②符合题意；
当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
而菱形ABCD的面积为： ，
∴ ，
故③符合题意，
当 时，
{∠BOC=∠OMC=90°
∠OCM=∠BCO
∴
∴
∴
∴
故④符合题意；
故答案为：D．
【思路引导】利用菱形的性质，等边三角形的判定、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定和性
质逐项判断即可。9．（2分）（2022·龙东）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，
交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：① ；② ；
③ ；④若 ，则 ；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD
面积的 ．其中正确的结论是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
【答案】B
【完整解答】①∵四边形ABCD是正方形，O是对角线AC、BD的交点，
∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°
∵
∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°
∴∠DOF=∠EOC
在△DOF与△COE中∴
∴EC=FD
∵在△EAC与△FBD中
∴
∴∠EAC=∠FBD
又∵∠BQP=∠AQO
∴∠BPQ=∠AOQ=90°
∴AE⊥BF
所以①符合题意；
②∵∠AOB=∠APB=90°
∴点P、O在以AB为直径的圆上
∴AO是该圆的弦
∴
所以②符合题意；
③∵
∴
∴
∴∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
所以③符合题意；
④作EG⊥AC于点G，则EG BO，
∴
设正方形边长为5a，则BC=5a，OB=OC= ，
若 ，则 ，
∴∴
∴
∵EG⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°
∴CG=EG=
∴
所以④不符合题意；
⑤∵ ，S OECF=S COE+S COF
四边形
△ △
∴S OECF= S DOF+S COF= S COD
四边形
△ △ △
∵S COD=
△
∴S OECF=
四边形
所以⑤符合题意；
综上，①②③⑤符合题意，④不符合题意，
故答案为： B
【思路引导】利用全等三角形的判定和性质、正方形的性质和相似三角形的判定和性质逐项判断即可。
10．（2分）（2022·绥化）如图，在矩形 中，P是边 上的一个动点，连接 ， ，过点B
作射线，交线段 的延长线于点E，交边 于点M，且使得 ，如果 ，， ， ，其中 ．则下列结论中，正确的个数为（ ）
⑴y与x的关系式为 ；（2）当 时， ；（3）当 时，
．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【完整解答】解：（1）∵在矩形 中，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，故（1）符合题意；
（2）当 时， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故（2）符合题意；
（3）过点M作 垂足为F，
∴ ，
∵当 时，此时 ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴
故（3）不符合题意；
故答案为：C．
【思路引导】利用矩形的性质、相似三角形的判定和性质逐项判断即可。
二．填空题（共10小题，每题2分，满分20分）
11．（2分）（2022八下·本溪期末）如图，在 中， ， ， ，点P
为斜边 上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作 ， ，垂足分别为点D
和点E，连接 ， 交于点Q，连接 ，当 为直角三角形时， 的长是 ．
【答案】6或
【完整解答】解：在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°， △
∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴AC＝ ，
当∠APQ＝90°时，如图1，
在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠B△AC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝8，
∴AC＝ ，
∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，
∴△CAP∽△BAC，
∴ ，即 ，
∴AP＝6，
当∠AQP＝90°时，如图2，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ＝QP，∵∠AQP＝90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP＝AC＝ ，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是6或 ．
故答案为：6或 ．
【思路引导】利用勾股定理得出AC的值，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，当∠APQ
＝90°时，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60△°，BC＝2，当∠AQP＝90°时，得出四边形DPEC是矩形，
分别得出当△A△PQ为直角三角形时，AP的长即可。
12．（2分）（2022八下·宁安期末）如图，将长8cm，宽4cm的矩形ABCD纸片折叠，使点A与C重合，
则折痕EF的长为 cm．
【答案】
【完整解答】解：连接AC，与EF交于O点，
∵E点在AB上，F在CD上，因为A、C点重合，EF是折痕，
∴AO=CO，EF⊥AC，
∵AB=8，BC=4，
∴AC=4 ，∵AE=CE，
∴∠EAO=∠ECO，
∴△OEC∽△BCA，
∴OE：BC=OC：BA，
∴OE= ，
∵∠COF=∠AOE，∠CFO=∠AEO，CO=AO，
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴OF=OE，
∴EF=2OE=2 (cm)．
故答案为：2 ．
【思路引导】连接AC，结合线段垂直平分线的性质，得到△OEC∽△BCA，根据勾股定理，求出AC，
继而由相似比得到OE，求出EF的长即可。
13．（2分）（2022八下·环翠期末）如图，在平面直角坐标系中，等边 与等边 是以原点为
位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A、B、D在x轴上，若等边 的边长为12，则点C的坐标
为 ．
【答案】
【完整解答】解：作CF⊥AB于F，∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴ ，
∵△ABC与△BDE的相似比为 ，等边△BDE边长为12，
∴
解得，BC=4，OB=6，
∴OA=2，AB=BC=4，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=2，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2+2=4，
∴点C的坐标为
故答案为： ．
【思路引导】作CF⊥AB于F，根据位似图形的概念得出BC∥DE，证明△OBC∽△ODE，根据相似三角
形的性质求出OA，根据等边三角形的性质计算，即可得出答案。
14．（2分）（2022·安顺）已知正方形 的边长为4， 为 上一点，连接 并延长交 的延长线于点 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ， 为 的中点， 为 上一
动点，分别连接 ， ．若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【完整解答】解：如图，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A点与C点关于BD对称，
∴CM=AM，
∴MN+CM=MN+AM≥AN，
.当A、M、N三点共线时，MN + CM的值最小，
∵AD∥CF ，
∴∠DAE=∠F，
∵∠DAE+∠DEH=90°，
∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH=90°，
∴∠DAE=∠CDG，
∴∠CDG=∠F，
∴△DCG∽△FCE，
∵ ，
∴ ，
∵CD=4，
∴CF=12，
∵AD∥CF，
∴ ，
∴DE=1，CE=3，
在Rt CEF中， ，
△
∴ ，
∵N是EF的中点，
∴ ，
∴ ，∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【思路引导】根据正方形的性质，得出A点与C点关于BD对称，根据轴对称的性质和三角形的三边关
系得出MN+CM= MN+ AM≥AN，则知当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，再证明
ADCG∽△FCE，结合 ，得出 ，则可求出CF，再由平行线分线段成比例的性质求出
DE和CE长，根据勾股定理求出EF和AE长，则可得出EN长，从而求出AN长，即可解答.
15．（2分）（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中， 与 位似，位似中心是坐标原点
O．若点 ，点 ，则 与 周长的比值是 ．
【答案】2
【完整解答】解：∵点A（4，0），点C（2，0），
∴OA=4，OC=2，
∵ 与 位似，位似中心是坐标原点O，∴ 与 周长的比值是 .
故答案为：2.
【思路引导】利用点A，C的坐标可求出OA，OC的长；再利用位似三角形的性质，可知这两个三角形的
周长比等于相似比，可得答案.
16．（2分）（2022八下·建昌期末）如图，在矩形 中， 为 中点， 经过点 且
，交 于点 ，交 于点 ，点 为 的中点， ．则以下结论中：①
；② ；③ 是等边三角形；④ ，其中正确结论的序号为
．
【答案】①③④
【完整解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
点 是 中点，
，
，
，
，
，
在 中，点G是 中点，且 ，，
，
，
，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①符合题意；
，由题意知，点 与点 不重合，故②不符合题意；
，
，
，
∴△AEF是等边三角形，故③符合题意；
，
，，
∵ ，
，
，故④符合题意；
故答案为：①③④．
【思路引导】利用矩形的性质、相似三角形的判定及性质和等边三角形的判定方法逐项判断即可。
17．（2分）（2022八下·合阳期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF
交于点G．若 ，则CG的长是 ．
【答案】
【完整解答】解：∵ABCD是正方形，
∴CD=AD=BC=4，∠BCE=∠CDF=90°，
又∵DE=AF=1，
∴CE=DF=3，
∴△BCE≌CDF（SAS），∠CBE=∠DCF
对于Rt BCE，有 ，
△
∠CBE+∠BEC=90°，∴∠DCF+∠BEC=90°，
考虑三角形CEG，∠CGE=180°-（∠ECG+∠GEC）=180°-（∠DCF+∠BEC）=180°-90°=90°，∵∠CGE=∠BCE，∠CEG=∠BEC，∴△CGE∽△BCE，
∴ ，
故答案为： .
【思路引导】根据两边及其夹角分别对应相等证得BCE≌CDF，然后可得∠CGE=90°，然后可得
△CGE∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例即可求得CG.
18．（2分）（2022八下·惠山期末）如图，四边形OACB是平行四边形，OB在x轴上，反比例函数
（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F.若点F为BC的中点，△AOF的面积为6，
则 k的值为 .
【答案】8
【完整解答】解：如图，过点A、C、F分别作x轴的垂线，垂足分别为E、D、G，四边形OACB是平行四边形，OB在x轴上，
轴， ，
∴
，
若点F为BC的中点，△AOF的面积为6，
，
，
，
，
，
即 ，
，
即 ，
解得 .
故答案为：8.
【思路引导】过点A、C、F分别作x轴的垂线，垂足分别为E、D、G，根据平行四边形的性质可得AC∥x轴，AE=CD，OA=BC，证明△OAE≌△CBD，结合反比例函数系数k的几何意义可得S =S = ，
AOE CBD
△ △
易得S =S = S =3，证明△BFG∽△BCD，根据相似三角形的性质可得S = ，则
OFB AFC AOF BFG
△ △ △ △
S +S = ，据此求解.
OBF BGF
△ △
19．（2分）（2022·河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四
边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝ BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，
连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ .
【答案】
【完整解答】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴ ，
∴四边形ABEF是矩形，
由题意知，AD=2AB，∴AF=AB，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB=BE，∠ABE=∠BEF=90°，
∵BG=EH，
∴△ABG≌△BEH（SAS），
∴∠BAG=∠EBH，
∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，
∴∠AOB=90°，
∵BG＝EH＝ BE＝2，
∴BE=5，
∴AF=5，
∴ ，
∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，
∴△AOB∽△ABG，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°=∠AOB，
∴∠BOM=∠AON，
∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，
∴∠OBM=∠OAN，
∴△OBM～△OAN，
∴ ，
∵点N是AF的中点，∴ ，
∴ ，解得：BM=1，
∴AM=AB-BM=4，
∴ .
故答案为： .
【思路引导】易得AF= AD，BE= BC，由矩形的性质可得∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，则AF=BE=
AD，由题意知：AD=2AB，则AF=AB，推出矩形ABEF是正方形，证明△ABG≌△BEH，得到
∠BAG=∠EBH，进而得到∠AOB=90°，由已知条件可知BG＝EH＝ BE＝2，则BE=AF=5，利用勾股定
理求出AG，证明△AOB∽△ABG，根据相似三角形的性质可得OA、OB，由等角的余角相等可得
∠OBM=∠OAN，证明△OBM～△OAN，然后相似三角形的性质可得BM，由AM=AB-BM可得AM，然
后根据三角函数的概念进行计算.
20．（2分）（2022·贵阳）如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ， ，
.若 ，则 的面积是 ， 度.【答案】 ；112.5
【完整解答】解： ，
，
，
，
设 ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 或 ，
对角线AC，BD相交于点E，
，，
，
，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为： ，112.5.
【思路引导】根据对顶角的性质可得∠AED=∠BEC，证明△ADE∽△BCE，设AD=m，BE=2m，根据相
似三角形的性质可得AE，然后表示出CE，在Rt BCE中，由勾股定理可得m2的值，据此可得AE、CE，
然后根据三角形的面积公式求出S ，过点E作△EF⊥AB，垂足为F，根据等腰直角三角形的性质可得
ABE
△AE=AF= AE，证明△BCE≌△BFE，得到∠EBF=∠EBC=22.5°，然后根据∠AEB=∠ACB+∠EBC进行
计算.
三．解答题（共8题，满分60分）
21．（7分）（2022八下·东营期末）如图，在 中， ， ， ，
动点M从点B出发，在 边上以每秒 的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在 边
上以每秒 的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（ ），连接 ．
（1）（3分）若 ，求t的值；
（2）（4分）若△NBM∽△ABC，求t的值．
【答案】（1）解：在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，BC=
△
，由题意知：BM=2t，CN= ，∴BN= - ，∵BM=BN，∴ ，解得：
．
（2）解：当△NBM∽△ABC时， 即 解得： ，∴当 时，
△NBM∽△ABC．
【思路引导】（1）先求出 ∠B=30°， 再求出 BN= - ，最后计算求解即可；
（2）利用相似三角形的性质计算求解即可。22．（10分）（2022八下·钢城期末）如图，已知在 中， ， 平分 ，交边
于点D，E是 边上一点，且 ，过点A作 ，分别交 ， 于点F，G，连接 ．
（1）（3分）求证： ；
（2）（3分）求证：四边形 是菱形；
（3）（4分）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵ 平分 ，∴ ，在 和 中，
{
BA=BE
∠ABD=∠DBC ，∴ ，∴ ；
BF=BF
{
BA=BE
（2）证明：在 和 中， ∠ABD=∠DBC，∴ ，∴ ，
BD=BD
，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，又∵
， ，∴ ，∴四边形 是菱形．
（3）解：在菱形 中， ，∴ ，由（1）得 ，∴
，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，即，∴ ，∵ ，∴ 长为 ．
【思路引导】（1）利用“SAS”证明 可得AF=EF；
（2）证明出 ，即可得到四边形 是菱形；
（3）先证明 ，可得 ，将数据代入可得 ，再求出AB的长即可。
23．（5分）（2021·嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形
ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存
在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
【答案】[探究1]如图1，设BC=x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转°得到矩形AB'C'D'，点A，B，D'在同一直线上，∴AD'= AD=BC=x，D'C'=AB'= AB=1，
∴D'B=AD'- AB=x-1，
∴∠BAD=∠D'=90，D'C‘∥DA，
又∵点C'在DB延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴ ，即 ，
解得x= ，x= (不合题意，舍去)；
1 2
[探究2] D'M= DM，理由如下：
证明：如图2，连结DD'，
∵D'M∥AC'，∴∠AD'M=∠D'AC'，
∴AD'= AD，∠AD'C'=∠DAB=90°， D'C'= AB，
∴△AC'D'≌△DBA(SAS)，
∴∠D'AC'=∠ADB，∴∠ADB=∠AD'M，
∵ AD’=AD，∴∠ADD'=∠AD'D，
∴∠MDD'=∠MD'D，
∴D'M=DM；
[探究3]关系式为：MN2=PN·DN，理由如下：证明：如图3，连结AM，
∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，
∴△AD'M≌△ADM(SSS)，
∴∠MAD'=∠MAD，
∴∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN=∠NAM，
∴MN= AN，
在△NAP与△NDA中，
∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，
∴△NAP∽△NDA，
∴ ，
∴AN2=PN·DN，
∴MN2=PN·DN.
【思路引导】（1）设BC=x，根据旋转的性质和矩形的性质把有关线段用x表示出来，证明
△D'C'B∽△ADB，然后列比例式构建关于x的方程求解即可；
（2）连结DD'，利用边角边定理证明△AC'D'≌△DBA，得出∠D'AC'=∠ADB，再结合平行线的性质，得
出∠ADB=∠AD'M，最后利用旋转性质，根据角的和差关系推出∠MDD'=∠MD'D，则可得出D'M=DM；
（3）连接AM，根据旋转的性质和矩形的性质，利用边边边定理证明△AD'M≌△ADM，得出∠MAD'=∠MAD，再根据角的和差关系求出∠AMN=∠NAM，得出MN=AN，然后证明
△NAP∽△NDA，列比例式得出AN2=PN·DN，则可得出结论.
24．（6分）（2020九上·路南期末）如图（图形不全），等边三角形 中， ，点 在
直线 上，点 在直线 上，且 ，当 时，求 的长．
几位同学通过探究得出结论：此题有多种结果．有同学已经得出两个符合题意结论：①当点 在边
上、点 在边 上时， ；②当点 在边 上、点 在 的延长线上
时， ．
要求：请针对其它情况，继续求出 的长，并写出总的正确结论．
【答案】解：①当点 在 的延长线上，点 在 的延长线上时，如下图中，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②如下图中，当点 在 的延长线上，点 在边 上时．作 交 于 ，∵ 是等边三角形，∴ 是等边三角形．
设 ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
综上所述，满足条件的 的值为2或4或 或 ．
【思路引导】此题有四种情形题中给出了两种情形，因此还有两种情形①当点 在 的延长线上，
点 在 的延长线上时，通过已知条件可得出 对应边相等，等量代换可
得AE=4．
②当点 在 的延长线上，点 在边 上时，作 交 于 ，可得
，可得 ，可得EF的长度，因为 ，然后得出AE= ．
25．（6分）（2021九上·肥城期末）附加题：
如图，在 中， ， ，垂足为 ， 、 分别为 、
的中点， ，垂足为 ，求证： ．【答案】证明：连接 、 ，
∵AD⊥BC，DF⊥BE
∴∠BFD=∠DFE=∠BDE=90°，
∴∠BDF+∠FDE=∠FBD+∠BDF =90°，
∴∠FDE=∠FBD
∴ ，
∴∠BDF=∠DEF， ，
∴180°-∠BDF=180°-∠DEF
即∠FDC=∠FEA
∵E是AD的中点
∴AE=DE
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=CD
∴∴
∴
∴∠AFE=∠CFD
∴∠AFE+∠EFC=∠CFD+∠EFC
即∠AFC=∠EFD=90°，
又∵G是AC的中点，
∴在Rt AFC中，
△
在Rt ADC中，
△
∴ ．
【思路引导】先证明 ，再求出 ∠AFE=∠CFD ，最后计算求解即可。
26．（10分）（2022·南通）如图，矩形 中， ，点E在折线 上运动，将
绕点A顺时针旋转得到 ，旋转角等于 ，连接 ．
（1）（3分）当点E在 上时，作 ，垂足为M，求证 ；
（2）（3分）当 时，求 的长；
（3）（4分）连接 ，点E从点B运动到点D的过程中，试探究 的最小值．
【答案】（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵FM⊥AC，
∴∠B＝∠AMF＝90°，
∵旋转角等于∠BAC，
∴∠BAC＝∠EAF，AE=AF
∴∠BAE＝∠MAF，
在△ABE和△AMF中，
{ ∠B＝∠AMF
∠BAE＝∠MAF∴△ABE≌△AMF（AAS），
AE＝AF
∴AB＝AM；
（2）解： 解：当点E在BC上，在Rt ABE中，
△
AB＝4，AE＝ ，
∴ ，∵△ABE≌△AMF，
∴AB＝AM＝4， ，
在Rt ABC中，AB＝4，BC＝3，
△
∴ ，
∴CM＝AC−AM＝5−4＝1，
∵∠CMF＝90°，
∴ ．
当点E在CD上时，过点F作FN⊥AC于点N，
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠FAN，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠AED=∠FAN，
在△ADE和△ANF中，
{
∠D=∠ANF
∠AED=∠FAN∴△ADE≌△ANF（AAS），
AE=AF∴AD=NF=3，AN=DE
在Rt ADE中
△
，
∴CN=AC-AN=5-3=2
在Rt CNF中
△
；
∴CF的值为 或 .
（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H，
∵△ABE≌△AMF，
∴AM＝AB＝4，
∵∠AMF＝90°，
∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DH的值最小，
∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，
∴△CMJ∽△CDA，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，
∴△CMJ∽△DHJ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴DF的最小值为 ；
当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连
接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K，∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠RAF，
在△ADE和△ARF中
{ AE＝AF
∠DAE＝∠RAF∴△ADE≌△ARF（SAS），
AD＝AR
∴∠ADE＝∠ARF＝90°，
∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，
∵DQ⊥AR，DK⊥RF，
∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，
∴四边形DKRQ是矩形，
∴DK＝QR，
∴ ，
∵AR＝AD＝3，
∴ ，
∴DF的最小值为 ，∵ ，
∴DF的最小值为 .
【思路引导】（1）作FM⊥AC，垂足为M，利用矩形的性质和垂直的定义可证得∠B＝∠AMF＝90°，利
用旋转角等于∠BAC，可证得∠BAE＝∠MAF，AE=AF，利用AAS证明△ABE≌△AMF，利用全等三角
形的性质可证得结论.
（2）分情况讨论：当点E在BC上，在Rt ABE中，利用勾股定理求出BE的长，利用全等三角形的性
质可得到AB，FM的长；在Rt ABC中，利△用勾股定理求出AC的长，即可求出CM的长，利用勾股定理
求出CF的长；当点E在CD上△时，过点F作FN⊥AC于点N，易证∠BAE=∠AED=∠FAN，利用AAS证
明△ADE≌△ANF，利用全等三角形的性质可证得AD=NF=3，AN=DE，利用勾股定理求出AN的长，即
可得到CN的长；然后在Rt CNF中，利用勾股定理求出CF的长，综上所述可得到CF的值.
（3）分情况讨论：当点E△在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H，利用全等三角形的性质可
得到AM的长，同时可得到点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DH的值最小，利用有两组对应
角分别相等的两三角形相似，可证得△CMJ∽△CDA，利用相似三角形的对应边成比例可求出MJ，CJ的
长，由此可求出DJ；再证明△CMJ∽△DHJ，利用相似三角形的性质可求出DH的长；当点E在线段CD
上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作
DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K，利用SAS证明△ADE≌△ARF，可得到∠ADE＝∠ARF＝90°，即可证
得点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小；易证四边形DKRQ是矩形，利用矩形的性
质可证得DK=QR，利用解直角三角形求出AQ的长，同时可求出DK的长，由此可得到DF的最小值，比
较大小可求出DF的最小值.
27．（7分）（2020·天津）在 中，弦 与直径 相交于点P， ．（1）（3分）如图①，若 ，求 和 的大小；
（2）（4分）如图②，若 ，过点D作 的切线，与 的延长线相交于点E，求
的大小．
【答案】（1）解： 是 的一个外角， ， ，
．
在 中， ，
．
为 的直径，
．
在 中， ，
又 ，
．
（2）如下图所示，连接OD，
，
．
．
在 中，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：
，
∴ ，
是 的切线，．即 ，
，
．
故答案为： ．
【思路引导】(1)先由△CPB中外角定理求出∠C的大小，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠BAD的
值；且∠ADC=∠ABC，再由直径AB所对的圆周角等于90°求出∠ADB=90°，最后∠ADB-∠ADC即可得
到∠CDB的值；(2)连接OD，由CD⊥AB先求出∠DCB，再由圆周角定理求出∠BOD，最后由切线的性质
可知∠ODE=90°，进而求出∠E的度数．
28．（9分）（2022八下·莱芜期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：
（1）（1分）问题发现：如图1， 中， ， ．点P是底边BC上一点，连
接AP，以AP为腰作等腰 ，且 ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是 ；
（2）（4分）变式探究：如图2， 中， ， ．点P是腰AB上一点，连接
CP，以CP为底边作等腰 ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
（3）（4分）问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形
DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 ， ，
求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）
（2）解：判断 ，理由如下：∵ 是等腰直角三角形， 中， ，，∴ ， ．∵
，∴ ，∴ ，∴
，∴ ；
（3）解：连接BD，如图所示，
∵四边形 与四边形 是正方形，DE与PF交于点Q，∴ 和 都是等腰直角三角
形，∴ ， ．∵ ，∴
，∴ ，∴ ．∵ ，∴ ．
在 中， ，设 ，则 ，又∵正方形 的边长为 ，
∴ ，∴ ，解得 （舍去）， ．∴正方形 的边长为
3．
【完整解答】解：（1）∵ 是等腰直角三角形， ，在 中， ，，∴ ， ，∴ ．在 和
{
AB=AC
中， ∠BAP=∠CAQ ，∴ ，∴ ；
AP=AQ
【思路引导】（1）先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论；
（2）先判断出 ，进而判断出 ，证出 ，即可得出
结论；
（3）连接BD，根据四边形 与四边形 是正方形，DE与PF交于点Q，得出 和
都是等腰直角三角形，证出 ，得出 ， ，
在 中， ，设 ，则 ，代入求解即可。
