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微专题 7 零点问题
[考情分析] 在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以
及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，考查形式多样，难度中等偏上，若以压轴题出现，则
难度较大.
考点一 利用导数判断函数零点个数
1
例1 (2024·石家庄模拟)已知函数f(x)= x2-(a+1)x+aln x(a>0).
2
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=2时，若函数g(x)=f'(x)-x+ex-1，求函数g(x)的零点个数.
[规律方法] 三步求解函数零点(方程根)的个数问题
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质；
第三步：结合图象求解.
跟踪演练1 (2024·郑州模拟)已知函数f(x)=eax-x.
(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的零点个数.
考点二 由零点个数求参数范围
例2 (2024·北京丰台模拟)已知函数f(x)=a2x+2a√x-2ln x(a≠0).
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.
[规律方法] 已知零点求参数的取值范围
(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；
(2)依据零点确定极值的范围；
(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.
跟踪演练2 已知函数f(x)=ex-1+e-x+1，g(x)=a(x2-2x)(a<0).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)有两个零点，求a的取值范围.答案精析
a
例1 解 (1)f'(x)=x-(a+1)+
x
x2-(a+1)x+a
=
x
(x-1)(x-a)
= ，x>0，a>0，
x
当00，f(x)在(0，a)，(1，+∞)上单调递增；
当x∈(a，1)时，f'(x)<0，f(x)在(a，1)上单调递减.
当a>1时，当x∈(0，1)∪(a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(0，1)，(a，+∞)上单调递增；
当x∈(1，a)时，f'(x)<0，f(x)在(1，a)上单调递减.
当a=1时，f'(x)≥0，
f(x)在(0，+∞)上单调递增.
(2)当a=2时，
1
f(x)= x2-3x+2ln x，x>0，
2
2
所以f'(x)=x-3+ ，x>0，
x
2
所以g(x)=ex-1-3+ ，x>0，
x
2
所以g'(x)=ex-1- ，显然g'(x)在区间(0，+∞)上单调递增，
x2
因为g'(1)=-1<0，
1
g'(2)=e- >0，
2
所以存在唯一x ∈(1，2)，
0
使得g'(x )=0，
0
当x∈(0，x )时，g'(x)<0，
0
当x∈(x ，+∞)时，g'(x)>0，
0
所以g(x)在区间(0，x )上单调递减，在(x ，+∞)上单调递增，其中x ∈(1，2)，
0 0 0
又g(1)=0，g(x )0，
所以g(x)在(0，x )上有唯一零点x=1，在(x ，2)上有唯一零点，
0 0
因此g(x)的零点个数为2.跟踪演练1 解 (1)若a=2，
则f(x)=e2x-x，f'(x)=2e2x-1.
又f(1)=e2-1，切点为(1，e2-1)，
曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的斜率k=f'(1)=2e2-1，
故所求切线方程为y-(e2-1)= (2e2-1)(x-1)，
即y=(2e2-1)x-e2.
(2)由题意得f'(x)=aeax-1.
当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在R上单调递减，
又f(0)=1>0，f(1)=ea-1≤0，
此时f(x)有一个零点.
当a>0时，
lna
令f'(x)<0得x<- ，
a
lna
令f'(x)>0得x>- ，
a
( lna) ( lna )
所以f(x)在 -∞，- 上单调递减，在 - ，+∞ 上单调递增.
a a
( lna) 1+lna
故f(x)的最小值为f - = .
a a
1
当a= 时，f(x)的最小值为0，此时f(x)有一个零点.
e
1
当a> 时，f(x)的最小值大于0，
e
此时f(x)没有零点.
1
当00，
当x→+∞时，f(x)→+∞，
此时f(x)有两个零点.
1
综上，当a≤0或a= 时，f(x)有一个零点；
e
1
当0 时，f(x)没有零点.
e
例2 解 (1)当a=1时，f(x)=x+2√x-2ln x，x>0，
1 2
则f'(x)=1+ - ，
√x x
所以f'(1)=0，f(1)=3，
故曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=3.
a 2
(2)f'(x)=a2+ -
√x x
a2x+a√x-2
=
x
(a√x+2)(a√x-1)
= (a≠0，x>0)，
x
当a>0时，则a√x+2>0，
1
令f'(x)>0，则x> ，
a2
1
令f'(x)<0，则00，则x> ，
a2
4
令f'(x)<0，则01时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增，
故函数f(x)的单调递减区间是(-∞，1)，单调递增区间是(1，+∞).
(2)由h(x)=0，得f(x)=g(x)，
因此函数h(x)的零点个数等价于函数f(x)与g(x)的图象的交点个数，
因为g(x)=a(x2-2x)(a<0)，所以g(x)的图象关于直线x=1对称，
且单调递增区间是(-∞，1)，单调递减区间是(1，+∞)，所以当x=1时，
g(x)取最大值g(1)=-a，
由(1)可知，函数f(x)的单调递减区间是(-∞，1)，单调递增区间是(1，+∞).
当x=1时，f(x)取最小值f(1)=2，
又f(1-x)=f(1+x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，故当-a>2，即a<-2时，函数h(x)有两个零点，故a的
取值范围是(-∞，-2).
