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专题一 微专题 7 零点问题
(分值：50分)
1.(16分)(2024·天津模拟)已知函数f(x)=ln(x+2).
(1)求曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程；(7分)
(2)函数h(x)=f(x)-a(x+2)有且只有两个零点，求a的取值范围.(9分)
2.(17分)(2024·湖南省九校联盟联考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a，b，c∈R)，其图象的对称中心为(1，-2).
(1)求a-b-c的值；(8分)
(2)判断函数f(x)的零点个数.(9分)
1 3
3.(17分)(2024·安康模拟)已知函数f(x)= xsin x- .
2 4
7
(1)证明：当x∈[0，π]时，ex-x- ≥f(x)；(8分)
4
(2)证明：f(x)在区间[0，π]上有两个零点.(9分)答案精析
1
1.解 (1)因为f'(x)= ，
x+2
1
所以曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率为f'(-1)= =1，
-1+2
又f(-1)=ln(-1+2)=0，所以切线方程为y=x+1，即x-y+1=0.
(2)h(x)=f(x)-a(x+2)
=ln(x+2)-a(x+2)，x>-2，
由题知，ln(x+2)-a(x+2)=0有且只有两个不相等的实数根，
ln(x+2)
即 =a有且只有两个不相等的实数根，
x+2
ln(x+2)
令m(x)= ，x>-2，
x+2
1-ln(x+2)
则m'(x)= ，
(x+2) 2
当-20，
m(x)在(-2，e-2)上单调递增；
当x>e-2时，m'(x)<0，m(x)在(e-2，+∞)上单调递减.
当x→-2时，m(x)→-∞，
当x→+∞时，m(x)→0，
1
又m(e-2)= ，所以可得m(x)的大致图象如图所示，
e
1
由图可知，当00，
∴函数f(x)有且仅有一个零点；
②当-30，x x =- >0，
1 2 1 2 3
∴f'(x)=0有两个正根，不妨设00，
∴函数f(x)有且仅有一个零点；
③当c=0时，f(x)=x3-3x2，
令f(x)=x3-3x2=0，
解得x=0或x=3，
∴f(x)有两个零点；
④当c>0时，设f'(x)=0的两个根分别为x ，x ，且x ≠x ，
3 4 3 4
c
则x +x =2，x x =- <0，
3 4 3 4 3
∴f'(x)=0有一个正根和一个负根，不妨设x <0，x >2，
3 4∴函数f(x)在(-∞，x )上单调递增，在(x ，x )上单调递减，
3 3 4
在(x ，+∞)上单调递增，
4
∵f(x )>f(0)=c>0，
3
f(x )0时，函数f(x)有三个零点；
当c=0时，函数f(x)有两个零点；
当c<0时，函数f(x)有一个零点.
7 1
3.证明 (1)设g(x)=ex-x- -f(x)=ex-x-1- xsin x，
4 2
1
则g'(x)=ex-1- (sin x+xcos x).
2
1
设m(x)=g'(x)=ex-1- (sin x+xcos x)，
2
1 1
则m'(x)=ex+ (xsin x-2cos x)=ex-cos x+ xsin x，
2 2
因为x∈[0，π]，
1
所以ex≥1，cos x≤1， xsin x≥0，
2
所以ex-cos x≥0，
所以m'(x)≥0，所以m(x)在[0，π]上单调递增，所以m(x)≥m(0)=0，即g'(x)≥0，
所以g(x)在[0，π]上单调递增，
所以g(x)≥g(0)=0，
所以当x∈[0，π]时，
7
ex-x- ≥f(x).
4
1
(2)f'(x)= (sin x+xcos x)，
2
[ π]
当x∈ 0， 时，f'(x)≥0，
2
[ π]
所以f(x)在 0， 上单调递增，
2
3
因为f(0)=- <0，
4
(π) π-3
f = >0，
2 4[ π]
所以由零点存在定理知f(x)在 0， 上有且仅有一个零点.
2
[π ]
当x∈ ，π 时，
2
1
令h(x)=f'(x)= (sin x+xcos x)，
2
1
则h'(x)= (2cos x-xsin x)，
2
[π ]
当x∈ ，π 时，有h'(x)<0，
2
[π ]
所以h(x)在 ，π 上单调递减，
2
(π) 1
又因为h = >0，
2 2
π
h(π)=- <0，
2
(π )
所以存在x ∈ ，π ，
0 2
使得h(x )=0，
0
[π )
所以当x∈ ，x 时，h(x)>0，
2 0
即f'(x)>0，
当x∈(x ，π]时，h(x)<0，
0
即f'(x)<0，
[π )
所以f(x)在 ，x 上单调递增，在(x ，π]上单调递减，
2 0 0
(π) π-3 3
又f = >0，f(π)=- <0，
2 4 4
[π ]
所以f(x)在 ，π 上有且仅有一个零点.
2
综上所述，f(x)在[0，π]上有两个零点.
