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微专题 7 零点问题
[考情分析] 在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以
及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，考查形式多样，难度中等偏上，若以压轴题出现，则
难度较大.
考点一 利用导数判断函数零点个数
1
例1 (2024·石家庄模拟)已知函数f(x)= x2-(a+1)x+aln x(a>0).
2
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=2时，若函数g(x)=f'(x)-x+ex-1，求函数g(x)的零点个数.
a x2-(a+1)x+a (x-1)(x-a)
解 (1)f'(x)=x-(a+1)+ = = ，x>0，a>0，
x x x
当00，f(x)在(0，a)，(1，+∞)上单调递增；
当x∈(a，1)时，f'(x)<0，f(x)在(a，1)上单调递减.
当a>1时，当x∈(0，1)∪(a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(0，1)，(a，+∞)上单调递增；
当x∈(1，a)时，f'(x)<0，f(x)在(1，a)上单调递减.
当a=1时，f'(x)≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增.
1
(2)当a=2时，f(x)= x2-3x+2ln x，x>0，
2
2
所以f'(x)=x-3+ ，x>0，
x
2
所以g(x)=ex-1-3+ ，x>0，
x
2
所以g'(x)=ex-1- ，
x2
显然g'(x)在区间(0，+∞)上单调递增，
1
因为g'(1)=-1<0，g'(2)=e- >0，
2
所以存在唯一x ∈(1，2)，使得g'(x )=0，
0 0
当x∈(0，x )时，g'(x)<0，当x∈(x ，+∞)时，g'(x)>0，
0 0
所以g(x)在区间(0，x )上单调递减，在(x ，+∞)上单调递增，其中x ∈(1，2)，
0 0 0
又g(1)=0，g(x )0，
0
所以g(x)在(0，x )上有唯一零点x=1，在(x ，2)上有唯一零点，
0 0
因此g(x)的零点个数为2.
[规律方法] 三步求解函数零点(方程根)的个数问题第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质；
第三步：结合图象求解.
跟踪演练1 (2024·郑州模拟)已知函数f(x)=eax-x.
(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的零点个数.
解 (1)若a=2，则f(x)=e2x-x，f'(x)=2e2x-1.
又f(1)=e2-1，切点为(1，e2-1)，
曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的斜率k=f'(1)=2e2-1，
故所求切线方程为y-(e2-1)=(2e2-1)(x-1)，
即y=(2e2-1)x-e2.
(2)由题意得f'(x)=aeax-1.
当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在R上单调递减，
又f(0)=1>0，f(1)=ea-1≤0，
此时f(x)有一个零点.
lna
当a>0时，令f'(x)<0得x<- ，
a
lna
令f'(x)>0得x>- ，
a
( lna) ( lna )
所以f(x)在 -∞，- 上单调递减，在 - ，+∞ 上单调递增.
a a
( lna) 1+lna
故f(x)的最小值为f - = .
a a
1
当a= 时，f(x)的最小值为0，此时f(x)有一个零点.
e
1
当a> 时，f(x)的最小值大于0，此时f(x)没有零点.
e
1
当00，
e
当x→+∞时，f(x)→+∞，此时f(x)有两个零点.
1
综上，当a≤0或a= 时，f(x)有一个零点；
e
1
当0 时，f(x)没有零点.
e
考点二 由零点个数求参数范围例2 (2024·北京丰台模拟)已知函数f(x)=a2x+2a√x-2ln x(a≠0).
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.
解 (1)当a=1时，f(x)=x+2√x-2ln x，x>0，
1 2
则f'(x)=1+ - ，
√x x
所以f'(1)=0，f(1)=3，
故曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=3.
a 2 a2x+a√x-2 (a√x+2)(a√x-1)
(2)f'(x)=a2+ - = = (a≠0，x>0)，
√x x x x
当a>0时，则a√x+2>0，
1
令f'(x)>0，则x> ，
a2
1
令f'(x)<0，则00，则x> ，
a2
4
令f'(x)<0，则01时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增，
故函数f(x)的单调递减区间是(-∞，1)，单调递增区间是(1，+∞).
(2)由h(x)=0，得f(x)=g(x)，
因此函数h(x)的零点个数等价于函数f(x)与g(x)的图象的交点个数，
因为g(x)=a(x2-2x)(a<0)，所以g(x)的图象关于直线x=1对称，
且单调递增区间是(-∞，1)，单调递减区间是(1，+∞)，
所以当x=1时，g(x)取最大值g(1)=-a，
由(1)可知，函数f(x)的单调递减区间是(-∞，1)，单调递增区间是(1，+∞).
当x=1时，f(x)取最小值f(1)=2，
又f(1-x)=f(1+x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，
故当-a>2，即a<-2时，函数h(x)有两个零点，
故a的取值范围是(-∞，-2).
专题强化练
(分值：50分)
1.(16分)(2024·天津模拟)已知函数f(x)=ln(x+2).
(1)求曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程；(7分)(2)函数h(x)=f(x)-a(x+2)有且只有两个零点，求a的取值范围.(9分)
1
解 (1)因为f'(x)= ，
x+2
1
所以曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率为f'(-1)= =1，
-1+2
又f(-1)=ln(-1+2)=0，所以切线方程为y=x+1，即x-y+1=0.
(2)h(x)=f(x)-a(x+2)=ln(x+2)-a(x+2)，x>-2，
由题知，ln(x+2)-a(x+2)=0有且只有两个不相等的实数根，
ln(x+2)
即 =a有且只有两个不相等的实数根，
x+2
ln(x+2)
令m(x)= ，x>-2，
x+2
1-ln(x+2)
则m'(x)= ，
(x+2) 2
当-20，m(x)在(-2，e-2)上单调递增；
当x>e-2时，m'(x)<0，m(x)在(e-2，+∞)上单调递减.
当x→-2时，m(x)→-∞，当x→+∞时，m(x)→0，
1
又m(e-2)= ，所以可得m(x)的大致图象如图所示，
e
1
由图可知，当00，
∴函数f(x)有且仅有一个零点；
②当-30，x x =- >0，
1 2 1 2 3
∴f'(x)=0有两个正根，不妨设00，
1 1 1
∴函数f(x)有且仅有一个零点；
③当c=0时，f(x)=x3-3x2，
令f(x)=x3-3x2=0，解得x=0或x=3，
∴f(x)有两个零点；
④当c>0时，设f'(x)=0的两个根分别为x ，x ，且x ≠x ，
3 4 3 4
c
则x +x =2，x x =- <0，
3 4 3 4 3
∴f'(x)=0有一个正根和一个负根，不妨设x <0，x >2，
3 4
∴函数f(x)在(-∞，x )上单调递增，在(x ，x )上单调递减，在(x ，+∞)上单调递增，
3 3 4 4
∵f(x )>f(0)=c>0，f(x )0时，函数f(x)有三个零点；
当c=0时，函数f(x)有两个零点；
当c<0时，函数f(x)有一个零点.1 3
3.(17分)(2024·安康模拟)已知函数f(x)= xsin x- .
2 4
7
(1)证明：当x∈[0，π]时，ex-x- ≥f(x)；(8分)
4
(2)证明：f(x)在区间[0，π]上有两个零点.(9分)
7 1
证明 (1)设g(x)=ex-x- -f(x)=ex-x-1- xsin x，
4 2
1
则g'(x)=ex-1- (sin x+xcos x).
2
1
设m(x)=g'(x)=ex-1- (sin x+xcos x)，
2
1 1
则m'(x)=ex+ (xsin x-2cos x)=ex-cos x+ xsin x，
2 2
1
因为x∈[0，π]，所以ex≥1，cos x≤1， xsin x≥0，
2
所以ex-cos x≥0，
所以m'(x)≥0，所以m(x)在[0，π]上单调递增，所以m(x)≥m(0)=0，即g'(x)≥0，
所以g(x)在[0，π]上单调递增，
所以g(x)≥g(0)=0，
7
所以当x∈[0，π]时，ex-x- ≥f(x).
4
1
(2)f'(x)= (sin x+xcos x)，
2
[ π]
当x∈ 0， 时，f'(x)≥0，
2
[ π]
所以f(x)在 0， 上单调递增，
2
3 (π) π-3
因为f(0)=- <0，f = >0，
4 2 4
[ π]
所以由零点存在定理知f(x)在 0， 上有且仅有一个零点.
2
[π ]
当x∈ ，π 时，
2
1
令h(x)=f'(x)= (sin x+xcos x)，
2
1
则h'(x)= (2cos x-xsin x)，
2[π ]
当x∈ ，π 时，有h'(x)<0，
2
[π ]
所以h(x)在 ，π 上单调递减，
2
(π) 1
又因为h = >0，
2 2
π
h(π)=- <0，
2
(π )
所以存在x ∈ ，π ，使得h(x )=0，
0 2 0
[π )
所以当x∈ ，x 时，h(x)>0，即f'(x)>0，
2 0
当x∈(x ，π]时，h(x)<0，即f'(x)<0，
0
[π )
所以f(x)在 ，x 上单调递增，在(x ，π]上单调递减，
2 0 0
(π) π-3 3
又f = >0，f(π)=- <0，
2 4 4
[π ]
所以f(x)在 ，π 上有且仅有一个零点.
2
综上所述，f(x)在[0，π]上有两个零点.
