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相似三角形基本模型综合训练卷（一）
基础满分训练
1．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
△
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】解：如图，标注字母，
∵在Rt ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，
△
由正方形可得：
同理：
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE：PN=OM：PF，
∵EF=x，MO=3，PN=4，
结合正方形的性质可得：OE=x-3，PF=x-4，
∴（x-3）：4=3：（x-4），
∴（x-3）（x-4）=12，
即 ，
∴x=0（不符合题意，舍去）或x=7．
故选：C．2．如图，边长为10的等边 中，点 在边 上，且 ，将含30°角的直角三角板（ ）
绕直角顶点 旋转， 、 分别交边 、 于 、 ．连接 ，当 时， 长为（ ）
A．6 B． C．10 D．
【答案】B
【详解】解：过点 作 于 ，
在等边 中， ， ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠A=∠B=60°，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
已知
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而 ,
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 ．故选：B．
3．如图D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，△ABC的内角平分线AQ交DE于点P，过点P作直线
交AB、AC于R、S，若 ，则DE=________．
【答案】6
【详解】解：∵ ，且∠RAS=∠CAB，
∴△ARS∽△ACB，∴∠ARS=∠ACB，
又∵AQ为角平分线，∴∠BAP=CAQ，∴△ARP∽△ACQ，∴ ，
∵DE∥BC，∴ ，
∵BC=9，∴ ，
∴DE=6．
4．如图，在矩形 中，点 是边 上一点，连结 ，将 沿 对折，点 落在边 上点处， 与对角线 交于点 ，连结 ．若 ， ．则 ______．
【答案】
【详解】解： 四边形 是矩形，
∠ABC=∠BAD=90°，AB∥CD，
， FM∥AB，
∠BFM=∠ABF，
由折叠的性质可得：∠BCM=∠BFM，BC=BF=4，
∠ABF=∠ACB，
ABF∽△BCA，
△
，
，即 ，
，
；
故答案为 ．
5．如图，等边 的边长为6，点 在 上且 ，点 在 上，连接 交 于点 ，且
，若点 是射线 上一点，当以 、 、 为顶点的三角形与 相似时，则 的长为
_____．【答案】4或7．
【详解】解： 是等边三角形，
， ，
，
，
如图，当点 在 上时，作 ，
，
，
∴ ∥ ，
，
是等边三角形，
，
，
当点 在 的延长线上时，作 ，
， ，
，
，
△ ， ，
，
△
，
，
，
，
综上所述： 或7，
故答案为：4或7．6．已知 是等边三角形， ，点D，E，F点分别在边 上， ， 同时
平分 和 ，则 的长为_____．
【答案】
【详解】解：如图， 同时平分 和 ，
， ，
在 与 中， ，
，
， ， ，
是等边三角形， ，
， ，
， ， ，
， 设 ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ．
故答案为： ．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 在第一象限，点 在 轴上，点 在 轴上， 、分别是 、 的中点．过点 的双曲线 与 交于点 ．连结 ，点 在 上，
且 ，连结 、 ．若 的面积为 ，则 的值为__________．
【答案】
【详解】解：设矩形OABC中OA=2a，AB=2b，
∵D、E分别是AB，OA中点，∴点D（b，2a）、E（0，a），
如图，过点F作FP⊥BC于点P，延长PF交OA于点Q，
∵四边形OABC是矩形，∴∠QOC=∠OCP=∠CPQ=90°，
∴四边形OCPQ是矩形，∴OQ=PC，PQ=OC=2b，
∵FP⊥BC、AB⊥BC，∴FP∥DB，∴△CFP∽△CDB，
∴ ，即 ，可得CP= ，FP= ，
则EQ=EO-OQ=a- = ，FQ=PQ-PF=2b- = ，
∵△DEF的面积为6，∴S ADFQ-S ADE-S EFQ=6，
梯形
△ △即 •（b+ ）• - b- × • =6，可得ab= ，则k=2ab= ．
故答案为： ．
8．在等腰 中，顶角 ，点D在一腰 上，连接 ，线段 与底边 的长相等．若
．则 ________；若 ，则 ________．
【答案】 6
【详解】解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C=72°，
∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠ABD=72°-36°=36°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD，
∵BD=BC=6，
∴AD=6；
若AB=AC=6，设AD=x，则BD=BC=x，∴CD=6-x，
∵∠BDC=∠ABC=72°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，∴ ，即 ，
解得：x= 或 （负值舍去），
经检验：x= 是原方程的解，∴AD= ，
故答案为：6， ．9．如图，G为 ABC的重心，AG=12，则AD=__________．
【答案】18
【详解】解：如图，连接CG并延长交AB于点E，连接DE，
∵点G是△ABC的重心，∴点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE= AC，
∴△DEG∽△ACG，∴ ，
∵AG=12，∴DG=6，∴AD=AG+GD=18．
故答案为：18．
10．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与
点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________【答案】
【详解】解： ∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，
， ，
AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，
， 即
故答案为：
11．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若
BD : DE=2 : 3，则CF=____．
【答案】2.4
【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，
∴△BDE∽△CFD，
∴ ，即 ，
∵等边△ABC的边长为6 ，
∴ ，解得： ．
故答案为：2.4
12．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：EDEA=ECEB；
（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，C⋅D=5，A⋅B=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面
积．
【答案】（1）证明见详解；（2） ．
【详解】解：（1）证明：∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°，∴∠ABE＝∠CDE.
又∵∠AEB＝∠CED，∴△EAB∽△ECD，∴ ，
∴ ．
（2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H，
∵CD＝5，cos∠ADC＝ ，
∴DG＝3，CG＝4.∵S ＝6，
CED
△
∴ED＝3，
∴EG＝6.
∵AB＝12，∠ABC＝120°，则∠BAH＝30°，
∴BH＝6，AH＝ ，
由（1）得△ECG∽△EAH，
∴ ，
∴EH＝ ，
∴S ＝S －S －S ＝ ＝ ．
四边形ABCD AEH ECD ABH
△ △ △
13．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD
于点M，若∠AFG＝∠ACD．
（1）求证：① MFC∽△MCA；
△
②若AB＝5，AC＝8，求 的值．
（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，请直接写出EF长．
【答案】（1）①见解析；② ＝ ；（2）EF＝ ．
【详解】（1）①证明：∵∠AFG＝∠ACD，
∴∠FCA+∠FAC＝∠FCA+∠MCF，
∴∠FAC＝∠MCF，
∵∠FMC＝∠CMA，
∴△MFC∽△MCA．
②解：∵四边形AEFG，四边形ABCD都是矩形，∴FG∥AE，CD∥AB，
∴∠AFG＝∠FAE，∠ACD＝∠CAB，
∵∠AFG＝∠ACD，
∴∠FAE＝∠CAB，
∵∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠FAE＝∠CAB，
∴∠FAC＝∠EAB，
∴△FAC∽△EAB，
∴ ＝ ＝ ．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，
∵DM＝MC＝2，AD＝3，
∴CD＝4，AM＝ ＝ ＝ ，AC＝ ＝ ＝5，
∵△MFC∽△MCA，
∴ ＝ ，
∴FM＝ ＝ ，
∴AF＝AM﹣FM＝ ，
∵△AEF∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴EF＝ ．
14．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，
∴∠ADE=∠C．
又∵∠DAE=∠CAD，
∴△AED∽△ADC．
（2）∵△AED∽△ADC，
∴ ，即 ，
∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．
又∵AD＝AB，
∴AB＝2
15．如图，在矩形 中， 是 上一点， 于点 ，设 ．（1）若 ，求证： ；
（2）若 ，且 在同一直线上时，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）∵ ，∴ ，∴ ，
又∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 和 中，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图， 三点共线，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 和 中，
，
∴ ∽ ，
∴ ，
即
∴ ，
∴ ，
∴ ．
16．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，
．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的
交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合 ．【探究】求证： ．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1) 的值为______．
(2)若 ，则MN的长为______．
【答案】(1)8；(2)
【解析】(1)∵△ABC为等腰直角三角形， ，
∴ ，同理， ，
∵ ，
，
∴ ，∴ ；
(2)（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
故答案为：8；
（2）∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
